新试卷2019年中考数学真题分类训练——专题十九：二次函数综合题

1、2019年中考数学真题分类训练专题十九：二次函数综合题1（2019广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于点a、b（点a在点b右侧），点d为抛物线的顶点，点c在y轴的正半轴上，cd交x轴于点f，cad绕点c顺时针旋转得到cfe，点a恰好旋转到点f，连接be（1）求点a、b、d的坐标；（2）求证：四边形bfce是平行四边形；（3）如图2，过顶点d作dd1x轴于点d1，点p是抛物线上一动点，过点p作pmx轴，点m为垂足，使得pam与dd1a相似（不含全等）求出一个满足以上条件的点p的横坐标；直接回答这样的点p共有几个？解：（1）令=0，解得x1=1，x2=7a（1，0），b（7，0）

2、由y=得，d（3，2）；（2）dd1x轴于点d1，cof=dd1f=90°，d1fd=cfo，dd1fcof，d（3，2），d1d=2，od=3，ac=cf，coaf，of=oa=1，d1f=d1oof=31=2，oc=，ca=cf=fa=2，acf是等边三角形，afc=acf，cad绕点c顺时针旋转得到cfe，ecf=afc=60°，ecbf，ec=dc=6，bf=6，ec=bf，四边形bfce是平行四边形；（3）点p是抛物线上一动点，设p点（x，），当点p在b点的左侧时，pam与dd1a相似，或，或，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=11或x1=1（不合题意舍去）x

3、2=；当点p在a点的右侧时，pam与dd1a相似，或，或，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=（不合题意舍去）；当点p在ab之间时，pam与dd1a相似，=或=，或，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=；综上所述，点p的横坐标为11或或；由得，这样的点p共有3个2（2019深圳）如图，抛物线经y=ax2+bx+c过点a（-1，0），点c（0，3），且ob=oc（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点d、e在直线x=1上的两个动点，且de=1，点d在点e的上方，求四边形acde的周长的最

4、小值（3）点p为抛物线上一点，连接cp，直线cp把四边形cbpa的面积分为35两部分，求点p的坐标解：（1）ob=oc，点b（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，故-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3，对称轴为x=1（2）acde的周长=ac+de+cd+ae，其中ac、de=1是常数，故cd+ae最小时，周长最小，取点c关于函数对称点c（2，3），则cd=cd，取点a（-1，1），则ad=ae，故：cd+ae=ad+dc，则当a、d、c三点共线时，cd+ae=ad+dc最小，周长也最小，四边形a

5、cde的周长的最小值=ac+de+cd+aead+dcac（3）如图，设直线cp交x轴于点e，直线cp把四边形cbpa的面积分为35两部分，又spcbspcaeb×（yc-yp）ae×（yc-yp）=beae，则beae=35或53，则ae或，即：点e的坐标为（，0）或（，0），将点e、c的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线cp的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3，联立并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），故点p的坐标为（4，-5）或（8，-45）3.（2019雅安） 已知二次函数y=ax2(a0)的图象过点（2，-1），点p（p与o

6、不重合）是图象上的一点，直线l过点（0，1）且平行于x轴。pml于点m，点f（0，-1）（1）求二次函数的解析式；（2）求证：点p在线段mf的中垂线上；（3）设直线 pf交二次函数的图象于另一点q，qnl于点n，线段mf的中垂线交l于点r，求的值； （4）试判断点r与以线段pq为直径的圆的位置关系 解：（1）y=ax2(a0)的图象过点（2，-1），-1=a×22，即a=，；（2）设的图象上的点p（x1,y1）,则m(x1，1)，即x12=-4y1，pm=1-y1，又pf=y1-1=pm，即pf=pm，点p在线段mf的中垂线上；（3）连接rf，r在线段mf的中垂线上，mr=fr，又p

7、m=pf，pr=pr，pmrpfr，pfr=pmr=90°，rfpf，连接rq，又在rtrfq和rtrnq中，q 在的图象上，由（2）结论知qf=qn，rq=rq，rtrfq rtrnq，即rn=fr，即mr=fr=rn，；（4）在pqr中，由（3）知pr平分mrf，qr平分frn，prq=（mrf+frn）=90°，点r在以线段pq为直径的圆上4（2019南宁）如果抛物线c1的顶点在拋物线c2上，抛物线c2的顶点也在拋物线c1上时，那么我们称抛物线c1与c2“互为关联”的抛物线如图1，已知抛物线c1：y1=x2+x与c2：y2=ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点a，

8、b分别是抛物线c1，c2的顶点，抛物线c2经过点d（6，1）（1）直接写出a，b的坐标和抛物线c2的解析式；（2）抛物线c2上是否存在点e，使得abe是直角三角形？如果存在，请求出点e的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点f（6，3）在抛物线c1上，点m，n分别是抛物线c1，c2上的动点，且点m，n的横坐标相同，记afm面积为s1（当点m与点a，f重合时s1=0），abn的面积为s2（当点n与点a，b重合时，s2=0），令s=s1+s2，观察图象，当y1y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内s的最大值解：（1）c1顶点在c2上，c2顶点也在c1上，由抛物线c1：y1=x2+x可得

9、a（2，1），将a（2，1），d（6，1）代入y2=ax2+x+c得，解得 ，y2=x2+x+2，b（2，3）；（2）易得直线ab的解析式：y=x+1，若b为直角的顶点，beab，kbekab=1，kbe=1，则直线be的解析式为y=x+5联立，解得或，此时e（6，1）；若a为直角顶点，aeab，kaekab=1，kae=1，则直线ae的解析式为y=x3，联立，解得或，此时e（10，13）；若e为直角顶点，设e（m，m2+m+2）由aebe得kbekae=1，即，解得m=2或2（不符合题意均舍去），存在，e（6，1）或e（10，13）；（3）y1y2，观察图形可得：x的取值范围为2x2，设m（

10、t，t2+t），n（t，t2+t+2），且2t2，易求直线af的解析式：y=x3，过m作x轴的平行线mq交af于q，由yq=ym，得q（t2t3，t2+t），s1=|qm|yfya|=t2+4t+6，设ab交mn于点p，易知p坐标为（t，t+1），s2=|pn|xaxb|=2t2，s=s1+s2=4t+8，当t=2时，s的最大值为165（2019广州）已知抛物线g：y=mx2-2mx-3有最低点（1）求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线g向右平移m个单位得到抛物线g1经过探究发现，随着m的变化，抛物线g1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这

11、个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为h，抛物线g与函数h的图象交于点p，结合图象，求点p的纵坐标的取值范围解：（1）y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3（2）抛物线g：y=m（x-1）2-m-3，平移后的抛物线g1：y=m（x-1-m）2-m-3，抛物线g1顶点坐标为（m+1，-m-3），x=m+1，y=-m-3，x+y=m+1-m-3=-2，即x+y=-2，变形得y=-x-2，m>0，m=x-1，x-1>0，x>1，y与x的函数关系式为y=-x-2（x>1）（3）

12、法一：如图，函数h：y=-x-2（x>1）图象为射线，x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4，函数h的图象恒过点b（2，-4），抛物线g：y=m（x-1）2-m-3，x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3，抛物线g恒过点a（2，-3），由图象可知，若抛物线与函数h的图象有交点p，则yb<yp<ya，点p纵坐标的取值范围为-4<yp<-3法二：，整理的：m（x2-2x）=1-x，x>1，且x=2时，方程为0=-1不成立，x2，即x2-2x=x（x-2）0，m0，x>1，1-x<0，x（x-2）<0，x-2&

13、lt;0，x<2，即1<x<2，yp=-x-2，-4<yp<-3，6（2019海南）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过a（5，0），b（4，3）两点，与x轴的另一个交点为c，顶点为d，连结cd（1）求该抛物线的表达式；（2）点p为该抛物线上一动点（与点b、c不重合），设点p的横坐标为t当点p在直线bc的下方运动时，求pbc的面积的最大值；该抛物线上是否存在点p，使得pbc=bcd？若存在，求出所有点p的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）将点a、b坐标代入二次函数表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5（2）如图1，过点p作pex轴于点e，交

14、直线bc于点f.在抛物线y=x2+6x+5中，令y=0，则x2+6x+5=0，解得x=5，x=1，点c的坐标为（1，0）.由点b（4，3）和c（1，0），可得直线bc的表达式为y=x+1.设点p的坐标为（t，t2+6t+5），由题知4<t<1，则点f（t，t+1），fp=（t+1）（t2+6t+5）=t25t4，spbc=sfpb+sfpc=·fp·3=.4<<1，当t=时，pbc的面积的最大值为存在y=x2+6r+5=（x+3）24，抛物线的顶点d的坐标为（3，4）.由点c（l，0）和d（3，4），可得直线cd的表达式为y=2x+2.分两种情况讨论

15、：（i）当点p在直线bc上方时，有pbc=bcd，如图2.若pbc=bcd，则pbcd，设直线pb的表达式为y=2x+b.把b（4，3）代入y=2x+b，得b=5，直线pb的表达式为y=2x+5.由x2+6x+5=2x+5，解得x1=0，x2=4（舍去），点p的坐标为（0，5）.（ii）当点p在直线bc下方时，有pbc=bcd，如图3.设直线bp与cd交于点m，则mb=mc.过点b作bnx轴于点n，则点n（4，0），nb=nc=3，mn垂直平分线段bc.设直线mn与bc交于点g，则线段bc的中点g的坐标为，由点n（4，0）和g，得直线ng的表达式为y=x4.直线cd:y=2x+2与直线ng:y

16、=x4交于点m，由2x+2=x4，解得x=2，点m的坐标为（2，2）.由b（4，3）和m（2.2），得直线bm的表达式为y=由x2+6x+5=，解得x1=，x2=4（含去），点p的坐标为（，）.综上所述，存在满足条件的点p的坐标为（0，5）和（，）.7. （2019镇江）如图，二次函数图象的顶点为，对称轴是直线1，一次函数的图象与轴交于点，且与直线关于的对称直线交于点（1）点的坐标是；（2）直线与直线交于点，是线段上一点（不与点、重合），点的纵坐标为过点作直线与线段、分别交于点、，使得与相似当时，求的长；若对于每一个确定的的值，有且只有一个与相似，请直接写出的取值范围解：（1）顶点为；故答案为

17、；（2）对称轴，由已知可求，点关于对称点为，则关于对称的直线为，当时，当时，；当与不平行时，；综上所述，；当，时，有且只有一个与相似时，；故答案为；8（2019陕西）在平面直角坐标系中，已知抛物线l：y=ax2+（ca）x+c经过点a（3，0）和点b（0，6），l关于原点o对称的抛物线为l（1）求抛物线l的表达式；（2）点p在抛物线l上，且位于第一象限，过点p作pdy轴，垂足为d若pod与aob相似，求符合条件的点p的坐标解：（1）将点a、b的坐标代入抛物线表达式得：，解得，l：y=x25x6（2）点a、b在l上的对应点分别为a（3，0）、b（0，6），设抛物线l的表达式y=x2+bx+6，将

18、a（3，0）代入y=x2+bx+6，得b=5，抛物线l的表达式为y=x25x+6，a（3，0），b（0，6），ao=3，ob=6，设：p（m，m25m+6）（m0），pdy轴，点d的坐标为（0，m25m+6），pd=m，od=m25m+6，rtpod与rtaob相似.pdoboa时，=，即m=2（m25m+6），解得：m=或4；当odpaob时，同理可得：m=1或6；p1、p2、p3、p4均在第一象限，符合条件的点p的坐标为（1，2）或（6，12）或（，）或（4，2）9. （2019常州）如图，二次函数yx2+bx+3的图象与x轴交于点a、b，与y轴交于点c，点a的坐标为（1，0），点d为oc

19、的中点，点p在抛物线上（1）b ；（2）若点p在第一象限，过点p作phx轴，垂足为h，ph与bc、bd分别交于点m、n是否存在这样的点p，使得pmmnnh？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点p的横坐标小于3，过点p作pqbd，垂足为q，直线pq与x轴交于点r，且spqb2sqrb，求点p的坐标解：（1）二次函数yx2+bx+3的图象与x轴交于点a（1，0）1b+3解得：b2故答案为：2（2）存在满足条件呢的点p，使得pmmnnh二次函数解析式为yx2+2x+3当x0时y3，c（0，3）当y0时，x2+2x+30解得：x11，x23a（1，0），b（3，0）直线bc的解析式

20、为yx+3点d为oc的中点，d（0，32）直线bd的解析式为y=-12x+32，设p（t，t2+2t+3）（0t3），则m（t，t+3），n（t，-12t+32），h（t，0）pmt2+2t+3（t+3）t2+3t，mnt+3（-12x+32）=-12t+32，nh=-12t+32mnnhpmmnt2+3t=-12t+32解得：t1=12，t23（舍去）p（12，154）p的坐标为（12，154），使得pmmnnh（3）过点p作pfx轴于f，交直线bd于eob3，od=32，bod90°bd=ob2+od2=352cosobd=obbd=3352=255pqbd于点q，pfx轴于点f

21、pqebqrpfr90°prf+obdprf+epq90°epqobd，即cosepqcosobd=255在rtpqe中，cosepq=pqpe=255pq=255pe在rtpfr中，cosrpf=pfpr=255pr=pf255=52pfspqb2sqrb，spqb=12bqpq，sqrb=12bqqrpq2qr设直线bd与抛物线交于点g-12x+32=-x2+2x+3，解得：x13（即点b横坐标），x2=-12点g横坐标为-12设p（t，t2+2t+3）（t3），则e（t，-12t+32）pf|t2+2t+3|，pe|t2+2t+3（-12t+32）|t2+52t+32

22、|若-12t3，则点p在直线bd上方，如图2，pft2+2t+3，pet2+52t+32pq2qrpq=23pr255pe=2352pf，即6pe5pf6（t2+52t+32）5（t2+2t+3）解得：t12，t23（舍去）p（2，3）若1t-12，则点p在x轴上方、直线bd下方，如图3，此时，pqqr，即spqb2sqrb不成立若t1，则点p在x轴下方，如图4，pf（t2+2t+3）t22t3，pe=-12t+32-（t2+2t+3）t2-52t-32pq2qrpq2pr255pe252pf，即2pe5pf2（t2-52t-32）5（t22t3）解得：t1=-43，t23（舍去）p（-43，

23、-139）综上所述，点p坐标为（2，3）或（-43，-139）10（2019河北）如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点a；直线a：y=xb与y轴交于点b；抛物线l：y=x2+bx的顶点为c，且l与x轴右交点为d（1）若ab=8，求b的值，并求此时l的对称轴与a的交点坐标；（2）当点c在l下方时，求点c与l距离的最大值；（3）设x00，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和l上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点d间的距离；（4）在l和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点

24、”的个数解：（1）当x=0吋，y=xb=b，b（0，b），ab=8，而a（0，b），b（b）=8，b=4l：y=x2+4x，l的对称轴x=2，当x=2时，y=x4=2，l的对称轴与a的交点为（2，2）；（2）y=（x）2+，l的顶点c（，），点c在l下方，c与l的距离为b=（b2）2+11，点c与l距离的最大值为1；（3）由題意得，即y1+y2=2y3，得b+x0b=2（x02+bx0），解得x0=0或x0=b但x00，取x0=b，对于l，当y=0时，0=x2+bx，即0=x（xb），解得x1=0，x2=b，b0，右交点d（b，0）点（x0，0）与点d间的距离为b（b）=.（4）当b=2019

25、时，抛物线解析式l：y=x2+2019x，直线解析式a：y=x2019，联立上述两个解析式可得：x1=1，x2=2019，可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值，且1和2019之间（包括1和2019），共有2021个整数；另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，线段和抛物线上各有2021个整数点，总计4042个点，这两段图象交点有2个点重复重复，美点”的个数：40422=4040（个）；当b=2019.5时，抛物线解析式l：y=x2+2019.5x，直线解析式a：y=x2019.5，联立上述两个解析式可得：x1=1，x2=2019.5，当x取整数时，在一次函数y=x2019.

26、5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y=x+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知1到2019.5之间有1009个偶数，并且在1和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合，条件，因此“美点”共有1010个故b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个11. （2019邵阳）如图，二次函数的图象过原点，与轴的另一个交点为（1）求该二次函数的解析式；（2）在轴上方作轴的平行线，交二次函数图象于、两点，过、两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点当矩形为正方形时，求的值；（3）在（2）的条件下，动点从点出发沿射线

27、以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当动点返回到点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，问：以、四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形若能，请求出的值；若不能，请说明理由解：（1）将，代入，得：，解得：，该二次函数的解析式为（2）当时，解得：，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，矩形为正方形，解得：（舍去），当矩形为正方形时，的值为4（3）以、四点为顶点构成的四边形能为平行四边形由（2）可知：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线

28、的解析式为当时，点的坐标为，点的坐标为以、四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且，分三种情况考虑：当时，如图1所示，解得：（舍去），；当时，如图2所示，解得：（舍去），；当时，解得：（舍去），（舍去）综上所述：当以、四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，的值为4或612（2019河南）如图，抛物线y=ax2+x+c交x轴于a，b两点，交y轴于点c直线y=x2经过点a，c（1）求抛物线的解析式；（2）点p是抛物线上一动点，过点p作x轴的垂线，交直线ac于点m，设点p的横坐标为m当pcm是直角三角形时，求点p的坐标；作点b关于点c的对称点b，则平面内存在直线l，使点m，b，b到该直线的距离都相等当

29、点p在y轴右侧的抛物线上，且与点b不重合时，请直接写出直线l：y=kx+b的解析式（k，b可用含m的式子表示）解：（1）直线y=x2交x轴于点a，交y轴于点c，a（-4，0），c（0，-2）.抛物线y=ax2+x+c经过点a，c， 抛物线的解析式为y=x2+x2（2）点p的横坐标为m，点p的坐标为（m，m2+m2）.当pcm是直角三角形时，有以下两种情况：（i）当cpm=90°时，pcx轴，x2+x2=-2.解得m1=0（舍去），m2=-2.当m=-2时，m2+m2=-2.点p的坐标为（-2，-2）.（ii）当pcm=90°时，过点p作pny轴于点n，cnp=aoc=90&

30、#176;. ncp+aco=oac+aco=90°，：ncp=oac，gnpaoc，c（0，-2），n（0，m2+m2），cn=，pn=m.即，解得a3=0（含去），m4=6.当m=6时，m2+m2=10，点p的坐标为（6，10）.综上所述，点p的坐标为（-2，-2）或（6，10）.当y=0时，x2+x2=0，解得x1=4，x2=2，点b的坐标为（2，0）点c的坐标为（0，2），点b，b关于点c对称，点b的坐标为（2，4）点p的横坐标为m（m0且m2），点m的坐标为（m，m2）利用待定系数法可求出：直线bm的解析式为y=x+，直线bm的解析式为y=x，直线bb的解析式为y=x2分三

31、种情况考虑，如图2所示：当直线lbm且过点c时，直线l的解析式为y=x2；当直线lbm且过点c时，直线l的解析式为y=x2；当直线lbb且过线段cm的中点n（m，m2）时，直线l的解析式为y=xm2综上所述：直线l的解析式为y=x2，y=x2或y=xm213. （2019荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形oabc的顶点a，c的坐标分别为（6，0），（4，3），经过b，c两点的抛物线与x轴的一个交点d的坐标为（1，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若aoc的平分线交bc于点e，交抛物线的对称轴于点f，点p是x轴上一动点，当pe+pf的值最小时，求点p的坐标；（3）在（2）的条件下，过点

32、a作oe的垂线交bc于点h，点m，n分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点m，n，使得以点m，n，h，e为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点m的坐标，若不存在，说明理由解：（1）平行四边形oabc中，a（6，0），c（4，3）bcoa6，bcx轴xbxc+610，ybyc3，即b（10，3）设抛物线yax2+bx+c经过点b、c、d（1，0）100a+10b+c=316a+4b+c=3a+b+c=0 解得：a=-19b=149c=-139抛物线解析式为y=-19x2+149x-139（2）如图1，作点e关于x轴的对称点e'，连接e'f交x轴于点pc（4，3）

33、oc=42+32=5bcoaoecaoeoe平分aocaoecoeoeccoeceoc5xexc+59，即e（9，3）直线oe解析式为y=13x直线oe交抛物线对称轴于点f，对称轴为直线：x=-1492×(-19)7f（7，73）点e与点e'关于x轴对称，点p在x轴上e'（9，3），pepe'当点f、p、e'在同一直线上时，pe+pfpe'+pffe'最小设直线e'f解析式为ykx+h9k+h=-37k+h=73 解得：k=-83h=21直线e'f：y=-83x+21当-83x+210时，解得：x=638当pe+pf的值

34、最小时，点p坐标为（638，0）（3）存在满足条件的点m，n，使得以点m，n，h，e为顶点的四边形为平行四边形设ah与oe相交于点g（t，13t），如图2，ahoe于点g，a（6，0）ago90°ag2+og2oa2（6t）2+（13t）2+t2+（13t）262解得：t10（舍去），t2=275g（275，95）设直线ag解析式为ydx+e6d+e=0275d+e=95 解得：d=-3e=18直线ag：y3x+18当y3时，3x+183，解得：x5h（5，3）he954，点h、e关于直线x7对称当he为以点m，n，h，e为顶点的平行四边形的边时，如图2则hemn，mnhe4点n在抛

35、物线对称轴：直线x7上xm7+4或74，即xm11或3当x3时，ym=-19×9+149×9-139=209m（3，209）或（11，209）当he为以点m，n，h，e为顶点的平行四边形的对角线时，如图3则he、mn互相平分直线x7平分he，点f在直线x7上点m在直线x7上，即m为抛物线顶点ym=-19×49+149×7-139=4m（7，4）综上所述，点m坐标为（3，209）、（11，209）或（7，4）14. （2019梧州）如图，已知的圆心为点，抛物线过点，与交于、两点，连接、，且，、两点的纵坐标分别是2、1（1）请直接写出点的坐标，并求、的值；（

36、2）直线经过点，与轴交于点点（与点不重合）在该直线上，且，请判断点是否在此抛物线上，并说明理由；（3）如果直线与相切，请直接写出满足此条件的直线解析式解：（1）过点、分别作轴的垂线交于点、，又，故点、的坐标分别为、，将点、坐标代入抛物线并解得：，故抛物线的表达式为：；（2）将点坐标代入并解得：，则点，点、的坐标分别为、，则，点在直线上，则设的坐标为，则，解得：或6（舍去，故点，把代入，故点在抛物线上；（3）当切点在轴下方时，设直线与相切于点，直线与轴、轴分别交于点、，连接，即：，解得：或（舍去，故点，把点、坐标代入并解得：直线的表达式为：；当切点在轴上方时，直线的表达式为：；故满足条件的直线解

37、析式为：或15.（2019本溪）抛物线与x轴交于a（-1，0），b（5，0）两点，顶点为c，对称轴交x轴于点d，点p为抛物线对称轴cd上的一动点（点p不与c，d重合），过点c作直线pb的垂线交pb于点e，交x轴于点f.（1）求抛物线的解析式；（2）当pcf的面积为5时，求点p的坐标；（3）当pcf为等腰三角形时，请直接写出点p的坐标.解：（1）函数的表达式为：y=(x+1)(x-5)=-x2+x+；（2）抛物线的对称轴为x=1，则点c（2，2），设点p（2，m），将点p、b的坐标代入一次函数表达式：y=sx+t并解得：函数pb的表达式为：y=-mx+，cepe，故直线ce表达式中的k值为，将点

38、c的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线ce的表达式为：y=x+(2)，联立并解得：x=2-，故点f（2-，0），spcf=×pc×df=(2-m)(2-2)=5，解得：m=5或-3（舍去5），故点p（2，-3）；（3）由（2）确定的点f的坐标得：cp2=(2-m)2，cf2=()2+4，pf2=()2+m2，当cp=cf时，即：(2-m)2=()2+4，解得：m=0或（均舍去），当cp=pf时，(2-m)2=()2+m2，解得：m=或3（舍去3），当cf=pf时，同理可得：m=±2（舍去2），故点p（2，）或（2，-2）16. （2019湘西）如图，抛物线yax

39、2+bx（a0）过点e（8，0），矩形abcd的边ab在线段oe上（点a在点b的左侧），点c、d在抛物线上，bad的平分线am交bc于点m，点n是cd的中点，已知oa2，且oa：ad1：3（1）求抛物线的解析式；（2）f、g分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接m、n、g、f构成四边形mngf，求四边形mngf周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点p，使odp中od边上的高为6105？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形abcd不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点k、l，且直线kl平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离解：（1）点a在线段oe

40、上，e（8，0），oa2a（2，0）oa：ad1：3ad3oa6四边形abcd是矩形adabd（2，6）抛物线yax2+bx经过点d、e4a+2b=-664a+8b=0 解得：a=12b=-4抛物线的解析式为y=12x24x（2）如图1，作点m关于x轴的对称点点m'，作点n关于y轴的对称点点n'，连接fm'、gn'、m'n'y=12x24x=12（x4）28抛物线对称轴为直线x4点c、d在抛物线上，且cdx轴，d（2，6）ycyd6，即点c、d关于直线x4对称xc4+（4xd）4+426，即c（6，6）abcd4，b（6，0）am平分bad，ba

41、dabm90°bam45°bmab4m（6，4）点m、m'关于x轴对称，点f在x轴上m'（6，4），fmfm'n为cd中点n（4，6）点n、n'关于y轴对称，点g在y轴上n'（4，6），gngn'c四边形mngfmn+ng+gf+fmmn+n'g+gf+fm'当m'、f、g、n'在同一直线上时，n'g+gf+fm'm'n'最小c四边形mngfmn+m'n'=(6-4)2+(-4+6)2+(6+4)2+(4+6)2=22+102=122四边形mngf

42、周长最小值为122（3）存在点p，使odp中od边上的高为6105过点p作pey轴交直线od于点ed（2，6）od=22+62=210，直线od解析式为y3x设点p坐标为（t，12t24t）（0t8），则点e（t，3t）如图2，当0t2时，点p在点d左侧peyeyp3t（12t24t）=-12t2+tsodpsope+sdpe=12pexp+12pe（xdxp）=12pe（xp+xdxp）=12pexdpe=-12t2+todp中od边上的高h=6105，sodp=12odh-12t2+t=12×210×6105方程无解如图3，当2t8时，点p在点d右侧peypye=12t

43、24t（3t）=12t2tsodpsopesdpe=12pexp-12pe（xpxd）=12pe（xpxp+xd）=12pexdpe=12t2t12t2t=12×210×6105解得：t14（舍去），t26p（6，6）综上所述，点p坐标为（6，6）满足使odp中od边上的高为6105（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形abcd有交点k、lkl平分矩形abcd的面积k在线段ab上，l在线段cd上，如图4k（m，0），l（2+m，0）连接ac，交kl于点hsacds四边形adlk=12s矩形abcdsahkschlaklcahkchlsahkschl=(ahch)2=1a

44、hch，即点h为ac中点h（4，3）也是kl中点m+2+m2=4m3抛物线平移的距离为3个单位长度17. （2019郴州）已知抛物线yax2+bx+3与x轴分别交于a（3，0），b（1，0）两点，与y轴交于点 c（1）求抛物线的表达式及顶点d的坐标；（2）点f是线段ad上一个动点如图1，设k=afad，当k为何值时，cf=12ad？如图2，以a，f，o为顶点的三角形是否与abc相似？若相似，求出点f的坐标；若不相似，请说明理由解：（1）抛物线yax2+bx+3过点a（3，0），b（1，0），9a-3b+3=0a+b+3=0，解得：a=-1b=-2，抛物线解析式为yx22x+3；yx22x+3（

45、x+1）2+4顶点d的坐标为（1，4）；（2）在rtaoc中，oa3，oc3，ac2oa2+oc218，d（1，4），c（0，3），a（3，0），cd212+122ad222+4220ac2+cd2ad2acd为直角三角形，且acd90°cf=12ad，f为ad的中点，afad=12，k=12在rtacd中，tanacd=dcac=232=13，在rtobc中，tanocb=oboc=13，acdocb，oaoc，oacoca45°，faoacb，若以a，f，o为顶点的三角形与abc相似，则可分两种情况考虑：当aofabc时，aofcba，ofbc，设直线bc的解析式为yk

46、x+b，k+b=0b=3，解得：k=-3b=3，直线bc的解析式为y3x+3，直线of的解析式为y3x，设直线ad的解析式为ymx+n，-k+b=4-3k+b=0，解得：k=2b=6，直线ad的解析式为y2x+6，y=2x+6y=-3x，解得：x=-65y=185，f（-65，185）当aofcab45°时，aofcab，cab45°，ofac，直线of的解析式为yx，y=-xy=2x+6，解得：x=-2y=2，f（2，2）综合以上可得f点的坐标为（-65，185）或（2，2）18.（2019孝感）如图1，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线yax22ax8a与x轴相交于a

47、、b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于点c（0，4）（1）点a的坐标为 ，点b的坐标为 ，线段ac的长为 ，抛物线的解析式为 （2）点p是线段bc下方抛物线上的一个动点如果在x轴上存在点q，使得以点b、c、p、q为顶点的四边形是平行四边形求点q的坐标如图2，过点p作peca交线段bc于点e，过点p作直线xt交bc于点f，交x轴于点g，记pef，求f关于t的函数解析式；当t取m和4-12m（0m2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小解：（1）由题意得：8a4，故a=12，故抛物线的表达式为：y=12x2x4，令y0，则x4或2，即点a、b的坐标分别为（2，0）、（4，0），则ac25，故

48、答案为：（2，0）、（4，0）、25、y=12x2x4；（2）当bc是平行四边形的一条边时，如图所示，点c向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点b，设：点p（n，12n2n4），点q（m，0），则点p向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点q，即：n+4m，12n2n4+40，解得：m4或6（舍去4），即点q（6，0）；当bc是平行四边形的对角线时，设点p（m，n）、点q（s，0），其中n=12m2m4，由中心公式可得：m+s2，n+04，解得：s2或4（舍去4），故点q（2，0）；故点q的坐标为（2，0）或（6，0）；（3）如图2，过点p作phx轴交bc于点h，gpy轴，hepacb，ph

49、x轴，phoaoc，ephcao，epac=phab，即：ep25=ph6，则ep=53ph，设点p（t，yp），点h（xh，yp），则12t2t4xh4，则xh=12t2t，f=53pht（12t2t）=-56（t24t），当tm时，f1=56（m24m），当t4-12m时，f2=-56（34m22m），则f1f2=-58m（m-83），则0m2，f1f20，f1f219. （2019咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴交于点a，与y轴交于点b，抛物线y=-12x2+bx+c经过a，b两点且与x轴的负半轴交于点c（1）求该抛物线的解析式；（2）若点d为直线ab上方抛物线上的一个

50、动点，当abd2bac时，求点d的坐标；（3）已知e，f分别是直线ab和抛物线上的动点，当b，o，e，f为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的e点的坐标解：（1）在y=-12x+2中，令y0，得x4，令x0，得y2a（4，0），b（0，2）把a（4，0），b（0，2），代入y=-12x2+bx+c，得c=2-12×16+4b+c=0，解得b=32c=2 抛物线得解析式为y=-12x2+32x+2（2）如图，过点b作x轴得平行线交抛物线于点e，过点d作be得垂线，垂足为fbex轴，bacabeabd2bac，abd2abe即dbe+abe2abedbeabedbebac设

51、d点的坐标为（x，-12x2+32x+2），则bfx，df=-12x2+32xtandbe=dfbf，tanbac=boaodfbf=boao，即-12x2+32xx=24解得x10（舍去），x22当x2时，-12x2+32x+2=3点d的坐标为（2，3）（3）当bo为边时，obef，obef设e（m，-12m+2），f（m，-12m2+32m+2）ef|（-12m+2）（-12m2+32m+2）|2解得m12，m2=2-22，m3=2+22当bo为对角线时，ob与ef互相平分过点o作ofab，直线ofy=-12x交抛物线于点f（2+22，-1-2）和（2-22，-1+2）求得直线ef解析式为y=-22x+1或y=22x+1直线ef与ab的交点为e，点e的横坐标为-22-2或22-2e点的坐标为（2，1）或（2