高中数学函数的对称性和周期性知识点精析新人教B版必修1（精编版）

1、函数的对称性和周期性知识点精析1. 周期函数的定义周期函数的定义：对于f (x)定义域内的每一个x ，都存在非零常数t ，使得f ( xt )f (x) 恒成立，则称函数f ( x)具有周期性，t 叫做f ( x) 的一个周期，则 kt （ kz , k0 ）也是f ( x) 的周期，所有周期中的最小正数叫f ( x)的最小正周期.2. 函数的轴对称：定理 1：如果函数yf (x) 满足f (ax)f ( ax)，则函数yf (x) 的图象关于直线xa 对称 .定理 2：如果函数于直线 xa 对称 .定理 3：如果函数关于直线xa 对称 .yf (x) 满足yf (x) 满足fxffxf2ax

2、 ，则函数2ax，则函数yf (x) 的图象关yf (x) 的图象定理 4：如果函数yf ( x) 满足f (ax)f (bx) ，则函数yf ( x)的图象关于直线 xab 对称 .2定理 5：如果函数yf线 x0 （ y 轴）对称 .(x) 满足f ( x)f (x) ，则函数yf (x) 的图象关于直3. 函数的点对称：定理 1：如果函数yf (x) 满足f (ax)f ( ax)2b ，则函数yf (x) 的图象关于点( a, b)对称 .定理 2：如果函数yf ( x) 满足fxf2ax2b ，则函数yf ( x) 的图象关于点(a, b) 对称 .定理 3：如果函数yf (x) 满

3、足fxf2ax2b ，则函数yf ( x) 的图象关于点( a, b)对称 .定理 4：如果函数yf ( x) 满足f (ax)f (ax)0 ，则函数yf ( x) 的图象关于点(a,0)对称 .定理 5：如果函数yf ( x) 满足f ( x)f (x)0 ，则函数yf ( x) 的图象关于原点 (0,0) 对称 .4. 函数的对称性与周期性的联系定理 3：若函数yf ( x) 在 r上满足f (ax)f (ax) ，且f (bx)f (bx)（其中 ab ），则函数yf ( x) 以 2(ab) 为周期 .定理 4：若函数yf ( x) 在 r 上满足f (ax)f ( ax) ，且f

4、(bx)f (bx)（其中 ab），则函数yf ( x)以 2( ab)为周期 .定理 5：若函数yf ( x) 在 r 上满足f (ax)f (ax) ，且f (bx)f (bx)（其中 ab），则函数yf ( x)以 4( ab)为周期 .以上几类情形具有一定的迷惑性, 但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾, 马到成功 . 下面以例题来分析.5. 几种特殊抽象函数的周期：函数 yfx满足对定义域内任一实数x （其中 a 为常数） ,fxfxa ，则 yfx 是以 ta 为周期的周期函数； fxafx ，则 fx是以 t2 a 为周期的周期函数； fxa1，

5、则ffxx 是 以 t2a 为周期的周期函数； fxafxa，则 fx 是以 t2 a 为周期的周期函数； f (xa)1f ( x)，则fx 是以 t2a 为周期的周期函数.1f ( x) f (xa)1f ( x)，则f1f ( x)x 是 以 t4a 为周期的周期函数. f (xa)1f ( x)，则fx 是以 t4a 为周期的周期函数.1f ( x)函数为 tyf4a ，( x) 满足f (ax)f (ax) （ a0 ），若f ( x)为奇函数，则其周期若 f (x)为偶函数，则其周期为t2a .函数yf ( x)xr 的图象关于直线xa 和 xbab 都对称，则函数f (x) 是以2 ba 为周期的周期函数；函数yf ( x)xr 的图象关于两点a a, y0、 b b, y0ab 都对称，则函数 f (x) 是 以 2 ba 为周期的周期函数；函数yf ( x)xr 的图象关于a a, y0和直线xbab都对称，则函数f (x) 是以 4 ba 为周期的周期函数；6判断一个函数是否是周期函数的主要方法1. 判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x 恒有f (xt )f (x) ;二是能找到适合这一等式