动点问题题型方法归纳

1、学习资料收集于网络，仅供参考动点问题题型方法归纳动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点， 近几年考查探究运动中的特殊性： 等腰三角形、 直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点1、（ 2009 年齐齐哈尔市） 直线 y3 x6 与坐标轴分别交于 A、B 两点， 动点 P、 Q 同时4从 O 点出发，同时到达A 点，运动停止点Q 沿线段

2、OA 运动，速度为每秒1 个单位长度，点 P沿路线 OB A运动（ 1）直接写出 A、B 两点的坐标；（ 2）设点 Q 的运动时间为 t 秒， OPQ 的面积为 S ，求出 S 与 t 之间的函数关系式；（3）当 S48O、 P、 Q 为顶点的平行四边形的第时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点5四个顶点 M 的坐标yBPOQAx提示：第（ 2 ）问按点P 到拐点 B 所有时间分段分类；第（ 3 ）问是分类讨论：已知三定点O 、 P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已学习资料学习资料收集于网络，仅供参考知线段身份不同分类-OP 为边、 OQ 为边， OP 为边、 OQ 为对角线， OP为对角

3、线、 OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。2、（ 2009 年衡阳市 ）如图， AB 是 O 的直径，弦BC=2cm ， ABC=60 o（ 1）求 O 的直径；（ 2）若 D 是 AB 延长线上一点，连结 CD，当 BD 长为多少时， CD 与 O 相切；（ 3）若动点E 以 2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以 1cm/s 的速度从 B 点出发沿BC 方向运动， 设运动时间为t( s)( 0t2) ，连结 EF，当 t 为何值时， BEF为直角三角形注意：第（ 3 ）问按直角位置分类讨论CCCFFAAEBABOBDOOE图（ 1）图（ 2）图

4、（ 3）学习资料学习资料收集于网络，仅供参考3、（ 2009 重庆綦江） 如图，已知抛物线ya( x1)23 3( a0) 经过点 A( 2， 0) ，抛物线的顶点为D ，过 O 作射线 OM AD 过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线C ， B 在 x 轴正半轴上，连结BC （ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒1 个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点OM 于点P 运动的时间为 t( s) 问当 t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（ 3）若 OCOB ，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒1

5、个长度单位和 2 个长度单位的速度沿OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动 设它们的运动的时间为t (s) ，连接 PQ ，当 t 为何值时， 四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长注意：发现并充分运用特殊角DAB=60 °当OPQ面 yDMBCPQ 的面积最小。积最大时，四边形CPAOQB x二、特殊四边形边上动点4、（ 2009 年吉林省） 如图所示，菱形ABCD的边长为 6 厘米，B60°从初始时刻开始，点 P 、 Q 同时从 A 点出发，点 P 以 1 厘米 /秒的速度沿 ACB 的方向运动，点 Q以 2 厘米/秒的速

6、度沿 A BCD 的方向运动，当点 Q 运动到 D 点时， P 、 Q 两点同时停止运动，设 P 、 Q 运动的时间为x 秒时， APQ 与 ABC 重叠部分 的面积为 y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题：（ 1）点 P 、 Q 从出发到相遇所用时间是秒；（ 2）点P、 从开始运动到停止的过程中， 当 APQ是等边三角形时x 的值是秒；Q（ 3）求 y 与 x 之间的函数关系式学习资料学习资料收集于网络，仅供参考DCPBA Q提示：第 (3) 问按点 Q 到拐点时间B、 C 所有时间分段分类；提醒 -高相等的两个三角形面积比等于底边的比。5、（ 2009 年哈

7、尔滨） 如图 1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（3， 4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y轴于点 H（ 1）求直线 AC 的解析式；（ 2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动，设 PMB的面积为 S（ S 0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（ 3）在（ 2）的条件下，当t 为何值时， MPB 与 BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线 AC 所夹锐角的正切

8、值yAH ByMAHBOCxMOCx图（ 1）图（ 2）注意：第（2 ）问按点 P 到拐点 B 所用时间分段分类；第（ 3 ）问发现 MBC=90°，BCO 与ABM 互余，画出点P 运动过程中，MPB= ABM 的两种情况，求出t 值。利用 OB AC, 再求 OP 与 AC 夹角正切值 .学习资料学习资料收集于网络，仅供参考6、 (2009 年温州 )如图，在平面直角坐标系中，点A( 3 ，0) ，B(33 ， 2) ，C（ 0，2)动点 D 以每秒 1 个单位的速度从点 0 出发沿 OC向终点 C 运动，同时动点 E 以每秒 2 个单位的速度从点 A 出发沿 AB向终点 B 运

9、动过点 E 作 EF上 AB，交 BC于点 F，连结 DA、 DF设运动时间为 t 秒(1) 求 ABC的度数；(2) 当 t 为何值时， ABDF；(3) 设四边形 AEFD的面积为 S求 S 关于 t 的函数关系式；若一抛物线y=x 2+mx经过动点E，当 S<23 时，求 m的取值范围 ( 写出答案即可 ) 注意：发现特殊性， DE OA7 、（ 07 黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是菱形，且 AOC=60°，点 B 的坐标是 (0,83) ，点 P 从点 C 开始以每秒1 个单位长度的速度在线段CB 上向点 B 移动，同时，点Q 从点 O 开始以

10、每秒a（1 a 3 ）个单位长度的速度沿射线OA 方向移动，设t (0t8) 秒后，直线PQ 交 OB 于点 D.（ 1）求 AOB 的度数及线段 OA 的长；（ 2 ）求经过 A ，B，C 三点的抛物线的解析式；（ 3）当 a 3,OD43 时，求 t 的值及此时直线 PQ 的解析式；3OAB 相似？当 a 为何值时，以（ 4）当 a 为何值时，以O ， P， Q ， D 为顶点的三角形与O ， P， Q ， D 为顶点的三角形与OAB 不相似？请给出你的结论，并加以证明.学习资料学习资料收集于网络，仅供参考yBPCDAQxO8 、（ 08 黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB 中， OC

11、AB ，以 O 为原点建立平面直角坐标系， A， B，C 三点的坐标分别为A(8，0)， B(810)， C (0，4) ，点 D 为线段 BC 的中点，动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度， 沿折线 OABD 的路线移动， 移动的时间为t 秒（ 1）求直线 BC 的解析式；（ 2 ）若动点 P 在线段 OA 上移动， 当 t 为何值时， 四边形 OPDC 的面积是梯形 COAB 面积的 2 ？7（ 3 ）动点 P 从点 O 出发，沿折线 OABD 的路线移动过程中，设 OPD 的面积为 S ，请直接写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量 t 的取值范围；（ 4 ）当动点

12、P 在线段 AB 上移动时， 能否在线段OA 上找到一点 Q ，使四边形 CQPD 为矩形？请求出此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由BByyDDCCOPAx OAx（此题备用）学习资料学习资料收集于网络，仅供参考9 、 (09 年黄冈市 )如图 ,在平面直角坐标系xoy中 , 抛物线 y1 x24 x10 与 x 轴的交点为189Bx点 A, 与 y 轴的交点为点.过点作轴的平B行线 BC,交抛物线于点C,连结 AC现有两动点P,Q 分别从 O ,C 两点同时出发 ,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿OA 向终点 A移动,点Q 以每秒 1个单位的速度沿CB 向点 B 移动 ,点 P 停止运

13、动时 , 点 Q 也同时停止运动,线段 OC, PQ 相交于点D,过点 D 作 DEOA ,交 CA 于点 E,射线 QE 交 x轴于点 F设动点 P,Q 移动的时间为t(单位 :秒)(1) 求 A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2) 当 t 为何值时 , 四边形 PQCA 为平行四边形 ?请写出计算过程 ;(3) 当 0 t 9 时 ,PQF 的面积是否总为定值?若是 ,求出此定值 ,若不是 ,请说明理由 ;2(4) 当 t 为何值时 , PQF 为等腰三角形 ?请写出解答过程提示：第（ 3）问用相似比的代换，得 PF=OA（定值）。第（ 4）问按哪两边相等分类讨论 PQ=PF,

14、PQ=FQ,QF=PF.三、直线上动点8、（2009年湖南长沙） 如图，二次函数 yax2bx c（ a0 ）的图象与 x 轴交于 A、 B两点，与y轴相交于点连结、， 、两点的坐标分别为 A( 3，0) 、 C (0， 3) ，CACBCAC且当 x4 和 x2 时二次函数的函数值y 相等学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（ 1）求实数 a， b， c的值；（ 2）若点 M 、N 同时从 B 点出发， 均以每秒1 个单位长度的速度分别沿BA、 BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t 秒时，连结MN ，将 BMN 沿 MN 翻折， B点恰好落在 AC 边上的

15、P 处，求 t 的值及点 P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以 B， N， Q 为项点的三角形与 ABC 相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由yCPNAM OBx提示：第（ 2 ）问发现特殊角 CAB=30 °,CBA=60 °特殊图形四边形BNPM为菱形；第 (3) 问注意到 ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出 与ABC 相似的BNQ，再判断是否在对称轴上。9 、（ 2009眉山） 如图，已知直线1yx1与y轴交于点Ax 轴交于点D2，与，抛物线yxbx c与直线交于A EB C两点，且

16、B点坐标为(1，0)。12、两点，与 x 轴交于、2求该抛物线的解析式；动点 P 在 x 轴上移动，当 PAE是直角三角形时，求点P 的坐标 P。在抛物线的对称轴上找一点M，使 | AMMC |的值最大，求出点M的坐标。学习资料学习资料收集于网络，仅供参考提示：第（ 2 ）问按直角位置分类讨论后画出图形 - P 为直角顶点AE 为斜边时，以AE为直径画圆与x 轴交点即为所求点P，A 为直角顶点时， 过点 A 作 AE 垂线交 x 轴于点 P， E 为直角顶点时，作法同；第（ 3 ）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。10、（2009 年兰州） 如图，正方形 ABCD中，点

17、A、B 的坐标分别为（ 0，10），（ 8，4）， 点C在第一象限 动点 P 在正方形 ABCD的边上， 从点 A 出发沿 A B CD匀速运动， 同时动点 Q以相同速度在 x 轴正半轴上运动， 当 P 点到达 D点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为 t 秒(1) 当 P 点在边 AB上运动时，点Q的横坐标 x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图所示，请写出点开始运动时的坐标及点P运动速度；Q(2) 求正方形边长及顶点 C的坐标；(3) 在（ 1）中当 t 为何值时， OPQ的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4) 如果点 P、 Q保持原速度不变，当点 P 沿 A B C D

18、匀速运动时， OP与 PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的 t 的值；若不能，请说明理由学习资料学习资料收集于网络，仅供参考注意：第（ 4 ）问按点P 分别在AB 、BC 、CD 边上分类讨论；求t 值时，灵活运用等腰三角形“三线合一” 。11、（2009 年北京市） 如图，在平面直角坐标系xOy 中， ABC三个顶点的坐标分别为A 6,0 ， B 6,0 ， C 0,4 3 ，延长 AC 到点 D,使 CD=1 AC,过点 D 作 DEAB 交2BC 的延长线于点 E.（ 1）求 D 点的坐标；（ 2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF 、 EF，若过 B 点的直线 y

19、kx b 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（ 3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 ykxb 与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。 （要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明）提示：第（）问，平分周长时，直线过菱形的中心；第（）问，转化为点到的距离加到（）中直线的距离和最小；发现（）中直线与轴夹角为°. 见“最短路线问题”专题。12、 (2009 年上海市 )AD

20、ADADPPP已知 ABC=90°，QAB=2，BC=3，ADCBC BC，P为线BC（ Q）图 1B图 2图 3Q学习资料学习资料收集于网络，仅供参考段 BD上的动点，点Q在射线 AB上，且满足 PQAD （如图1 所示）PCAB（ 1）当 AD=2，且点 Q 与点 B 重合时（如图2 所示），求线段 PC 的长；（ 2）在图 8 中，联结当AD3QABB、QAP，且点在线段上时，设点之间的距离为 x ，2SAPQy，其中S表示 APQ的面积，表示PBC的面积，求y关于 x 的函数SPBCAPQS PBC解析式，并写出函数定义域；（ 3）当 ADAB ，且点 Q 在线段 AB 的延

21、长线上时（如图 3 所示），求QPC 的大小注意：第（ 2 ）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作 找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当PC BD 时，点 Q 、B 重合， x 获得最小值；当 P 与 D 重合时， x 获得最大值。第（ 3 ）问，灵活运用SSA 判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用 SSA 来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证BQP BCP，得 B、 Q 、 C、P 四点共圆也可求解。13、（08 宜昌）如图，在 RtABC中， ABAC，P 是边 AB（含端点）上的动点过 P 作 BC 的垂线

22、 PR，R为垂足， PRB的平分线与 AB 相交于点 S，在线段 RS上存在一点 T，若以线段 PT为一边作正方形 PTEF，其顶点 E，F 恰好分别在边 BC，AC上（1） ABC与 SBR是否相似，说明理由；（2）请你探索线段 TS与 PA的长度之间的关系；（3）设边 AB1，当 P 在边 AB（含端点）上运动时，请你探索正方形 PTEF的面积 y 的最小值和最大值BBRTSRTSEEPPCFACFA(第 13 题)(第 13 题)学习资料学习资料收集于网络，仅供参考提示：第（ 3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p 运动到使T 与 R 重合时， PA=TS 为最大；当P

23、与 A 重合时， PA 最小。此问与上题中求取值范围类似。14、 (2009年河北 ) 如图，在 Rt ABC 中， C=90°， AC = 3 ， AB = 5 点 P 从点 C 出发沿CA 以每秒1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q从点 A出发沿 AB以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动伴随着 P、 Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、 Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（ t 0）（ 1）当 t

24、= 2 时， AP =，点 Q 到 AC 的距离是；（ 2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式； （不必写出 t 的取值范围）（ 3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中， 四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能， 求 t 的值若不能，请说明理由；（ 4）当 DE 经过点 C 时，请直接 写出 t 的值BEQDAPC提示：（）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t 值；有二种成立的情形，；（）按点P 运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t 值；有二种情形，t 时，时15、（2009 年包头） 已知二次函数y ax2

25、bx c（ a0 ）的图象经过点A(1，0) ， B(2，0) ，C (0， 2) ，直线 x m （ m 2）与 x 轴交于点 D （ 1）求二次函数的解析式；（ 2）在直线 xm （ m2 ）上有一点 E （点 E 在第四象限），使得 E、 D、B 为顶点的三学习资料学习资料收集于网络，仅供参考角形与以 A、O、C 为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示） ；（ 3）在（ 2）成立的条件下， 抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由提示：第（ 2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；

26、第（ 3）问，四边形 ABEF 为平行四边形时， E、F 两点纵坐标相等，且 AB=EF ，对第（ 2）问中两种情形分别讨论。四、抛物线上动点16、（ 2009 年湖北十堰市） 如图， 已知抛物线yax2bx3（ a 0）与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B ( 3， 0)，与 y 轴交于点 C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使 CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 如图，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE、 CE，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的

27、坐标注意：第（ 2 ）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标 - C 为顶点时，以C 为圆心 CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P， M 为顶点时，以M为圆心 MC 为半径画弧， 与对称轴交点即为所求点P， P 为顶点时， 线段 MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第（ 3 ）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。学习资料学习资料收集于网络，仅供参考17、（ 2009 年黄石市） 正方形 ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在 x 轴正半轴上，D 在 y 轴的负半轴上，AB 交 y 轴正半轴于 E， BC 交 x 轴负半轴于 F ， OE 1 ，抛物线y ax2bx 4 过 A、D、F 三点（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）Q 是抛物线上 D、F 间的一