方向向量与法向量

1、研究 从今天开始从今天开始, ,我们将进一步来体会向量这一工我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用具在立体几何中的应用. .为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的们要用向量来表示直线和平面的“方向方向”。那么。那么如何用向量来刻画直线和平面的如何用向量来刻画直线和平面的“方向方向”呢？呢？一、直线的方向向量一、直线的方向向量e able 直线直线l上的向量上的向量 以及与以及与 共线共线的向量叫做直线的向量叫做直线l的的方向向量方向向量。e e 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的由于垂直于同一平面的直线是互相

2、平行的, 所以，可以所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向方向”。二、平面的法向量二、平面的法向量平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在直线垂的有向线段所在直线垂直于平面直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作记作 ，如果如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n n n n an l 给定一点给定一点a和一个向量和一个向量 ,那么过点那么过点a,以向量以向量 为法向量的平面是完全确定的为法向量的平面是完全确定的.n n 几点注意：几点注意：1.法向

3、量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向量是平面的法向量，向量 是是 与平面平行或在平面内，则有与平面平行或在平面内，则有0n m n m (2,2,1),(4,5,3),abacabc 例2：已知求平面的 单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nabnacxyzxyz 则，（ ， ， ）， （ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33 3abc求平面的单位法向量为， ，）

4、问题：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的111222(3), ,0000 x y za xb yc zn an ba xb yc z 根根据据法法向向量量的的定定义义建建立立关关于于的的方方程程组组个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(平面的法向平面的法向量不惟一，量不惟一，合理取值即合理取值即可。可。 因为方向向量与法向量可以确定直线和因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示

5、空间直线、平方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的面间的平行、垂直、夹角平行、垂直、夹角等位置关系等位置关系. . 那么如何用直线的方向向量表示空间那么如何用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小呢？二面角的大小呢？线线面面平平行行 面面面面平平行行 三、平行关系：三、平行关系：111222(,),(,),lea b cna b c设直线 的方向向量为平面 的法向量为则121 2

6、1 2/00;lena abbc cabcdadefnm,aebd,11,33bmbd anae ，/mncde平平面面例例4 4 如图，已知矩形如图，已知矩形和矩形和矩形所在平面互相垂直，点所在平面互相垂直，点分别在对角线分别在对角线上，且上，且求证：求证：abcdefxyzmn小结：小结：1。直线的方向向量与平面的法向量；。直线的方向向量与平面的法向量；2。平面的法向量的求法及步骤；。平面的法向量的求法及步骤；3。空间中的平行关系的向量转化及表示；。空间中的平行关系的向量转化及表示；4。用向量法解决空间中的平行关系的方法；。用向量法解决空间中的平行关系的方法；作业手册作业手册 p97 t1

7、t10四、垂直关系：四、垂直关系：111222222,0, /abca b cenabc当时111222(,),(,),ea b cna b c若则121212/,.lenenaa bb cca1xd1b1adbcc1yzefcd中点，求证：中点，求证：d1f1111dcbaabcd 例例5.5.在正方体在正方体中，中，e、f分别是分别是bb1,1,，平面平面ade 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1， 为单位正交为单位正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系d-xyz，则可得：则可得：1,dadcdd 以以， 1(1,0,0)(1,1,)2dade ，11(0, 1)2

8、d f 又又因因为为00n dan de 则则由由，得得 所以所以1d fade 平平面面adenxyz 设设平平面面的的一一个个法法向向量量为为 =(=( ， ， ) )000102xxyz 12xyz 则则 =0=0，不不妨妨取取，得得01 -2n 所所以以 =(=( ， ， ) )/1d f n 所所以以巩固性训练11.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下根据下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2(

9、) 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行巩固性训练21.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交巩固性训练31、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),平面平面 的法向量为的法向量为(-2,-4,k),若若 ，则，则k= ；若；若 则则 k= 。2、已知、已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面，平面的法向量为的法向量为(1,1/2,2),则则m= .3、若、若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向量为的法向量为(1,1/2,2),且且 ，则，则m