2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)（精编版）

1、2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12 小题，共 60 分）1.已知集合 a=x|x2-1=0，则下列式子中：1 a；-1 a； ?a； 1 ， -1?a 正确的个数是（）a. 1 个b. 2 个c. 3 个d. 4 个【答案】 c【解析】【分析】先解得集合 a 的元素然后根据元素的具体情况进行逐一判断即可【详解】因为 ax|x2 10， a1，1对于 1a显然正确；对于 1 a，是集合与集合之间的关系，显然用不对； 对 ?a，根据集合与集合之间的关系易知正确；对 1 ， 1?a 同上可知正确 故选： c【点睛】本题考查的是集合元素与集合的关系问题在

2、解答的过程当中充分体现了解方程的思想、逐一验证的技巧以及元素的特征等知识，属于基础题2.若 sin（ 2+）= ， tan 0，则 cos=（）a.b.c.d.【答案】 a【解析】【分析】直接利用诱导公式及同角三角函数关系式求出结果【详解】由于： sin（ 2+） ， 则：，由于： tan 0，故：，所以： cos故选： a【点睛】本题考查的知识要点：诱导公式及同角三角函数关系式，熟练掌握公式是关键，属于基础题型3.设，则（ ）a.b.c.d.【答案】 c【解析】试题分析：，故 c 正确 考点：复合函数求值4. 已知函数 y=2sin （ x+ ）（0）在区间 0， 2 的图象如图：那么 =（

3、）a. 1b. 2c.d.【答案】 b【解析】【分析】由图象确定周期t，进而确定 【详解】由图象知函数的周期t，所以 故选： b【点睛】本题考查三角函数中周期t 与 的关系，属于基础题5. 函数 f（x）=x3+2x-5的零点所在的一个区间是（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】根据函数零点的判定定理验证选项中使得函数值取得正负的自变量，由此可得结论【详解】易知函数f（x） x3+2x 5 是连续函数，由于 f（-1）80，f（0）50，f（1）20，f（2）8+4 570，根据函数零点的判定定理可得函数f（x） x3+2x 5 的零点所在的区间为（ 1，2），故选： d【点睛】本题

4、主要考查函数的零点的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题6.三个数 acos，blg，c之间的大小关系是（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】分别找到三个数的范围，即可判断出大小关系【详解】 acos（0，1）， blg0，c1，bac故选： d【点睛】本题考查了三角函数、对数函数、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7. 设 f： x|x|是从集合a 到 b 的一个映射，且b 中每一个元素都有原象，若 a=-1 ，0，1，则 a b=（）a.0，b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】由题意求出集合b，再计算 a b【详解】由题意知a1，0，1，对应关

5、系 f： x|x|，b0，1， a b0，1故选： b【点睛】本题考查了映射的定义与集合的运算问题，是基础题8. 若 tan =1+lgt， tan =，lg且 +=，则实数 t 的值为（）a.b. 1c.或 1d. 1 或 10【答案】 c【解析】【分析】由 + ，利用两角和的正切函数化简，由对数的运算性质即可解得实数 t 的值【详解】 tan 1+lgt ， tan lg ，且 + ，tan （ +）tan1， 11（1+lgt ）lg ，（1+lgt ）lg0， 10t 1 或1，t 或 1 故选： c【点睛】本题主要考查了两角和与差的正切函数，对数的运算性质，是基础题9. 已知 a0，

6、 a 1，则f（x）=loga的图象恒过点（）a.b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】对数函数恒过点，所以令=1，即可得出函数所过定点.【详解】令=1，解得 x= 2，故 f（2）=loga1=0恒成立，即 f（x）=loga的图象恒过点（2，0）。故选 b【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，求函数过定点问题，属于中档题 .10. 在中，若，则的形状一定是（）a. 等边三角形b. 不含 60°的等腰三角形c. 钝角三角形d. 直角三角形【答案】 d【解析】,则,选 .11. 已知函数是 上的偶函数 ,若对于都有且当时,则的值为a.b.c.d.【答案】 c【解析】【分析】根据函数

7、的奇偶性与周期性，求得的值。【详解】因为是 上的偶函数 ,所以所以又因为，即周期 t=2=函数得=1 所以选 c【点睛】本题考查了函数性质的简单应用，周期性与奇偶性是函数重要的基本性质，要熟练掌握，属于基础题。12. 设常数 使方程在区间上恰有三个解且，则实数 的值为（）a.b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】解：分别作出 y=cosx ， x（， 3）与y=m 的图象，如图所示，结合图象可得则1m 0，故排除 c，d，再分别令 m= ，m= ，求出 x1，x2 ，x3，验证 x22=x1?x3 是否成立；【详解】解：分别作出y=cosx ， x（， 3）与y=m 的图象，如图所示，方程c

8、osx=m在区间（ ， 3）上恰有三个解 x1 ， x2，x3 （x1x2 x3），则1m0，故排除 c，d，当 m= 时，此时 cosx= 在区间（ ， 3），解得 x1=，x2=，x3=，则 x22= 2x1?x3= 2，故a 错误，当 m= 时，此时 cosx= 在区间（ ， 3）， 解得 x1=，x2=，x3= ，则 x22= 2=x1?x3= 2，故b 正确，故选： b【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，考查了数形结合的思想和函数与方程的思想，属于中档题.二、填空题（本大题共4 小题，共 20 分）13. 若幂函数的图象经过点（2， ）， 则 f（ ）= 【答案】【解析】【分析】

9、利用待定系数法求出函数的解析式，再计算的值【详解】设幂函数f（x） x， r；其函数图象过点（ 2， ）， 2 ， 解得 ；f （x），故答案为： 【点睛】本题考查了利用待定系数法求出函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目14.tan+= 【答案】【解析】【分析】由，展开二倍角的正切求得，则答案可求【详解】，解得+故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正切，是基础题15. 若，则 a 的取值范围 【答案】【解析】【分析】根据底与 1 的大小分类化简不等式，最后求并集.【详解】由=logaa ，当 a>1 时，函数 y=logax在（ 0，+）单调递增，由 可

10、得 ， a>1，当0<a<1 时，函数 y=logax 在（ 0，+）单调递减，由 可得 ，综上可得， ，故答案为： 【点睛】本题考查解对数不等式以及对数函数单调性，考查基本求解能力 .16. 下列判断错误的是 （填写序号）集合y|y=有 4 个子集；若 ，则tan tan ；若 log2a log2b ，则 2a 2b ；设函数 f（x）=log2x的反函数为 g（x），则 g（2）=1；已知定义在 r 上的奇函数 f（x）在（ -，0）内有 1008个零点，则函数 f（x）的零点个数为2017 【答案】【解析】【分析】化简集合可得 1，1，可判断；举 30°，

11、210°，可判断；运用对数函数和指数函数的单调性可判断；求得反函数计算可判断；运用奇函数的图象特点可判断【详解】集合 y|y1，1 有 4 个子集，故正确；若 ，比如 30°， 210°，ta则n tan ，故错误；若 log2a log2b ，可得 ab0，则 2a2b，故正确；设函数 f（x） log2x的反函数为 g（x），可得 g（x） 2x，则 g（2） 4，故错误；已知定义在 r 上的奇函数 f（x）在（，0）内有 1008 个零点，可得 f（x）在（ 0，+）内有1008个零点，则函数 f（x）的零点个数为2× 1008+12017 ，故正

12、确 故答案为：【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和运用，考查集合的子集个数，以及运算能力和推理能力，属于基础题三、解答题（本大题共6 小题，共 70.0分）17. 设全集为 u=r ，集合 a 为函数 y=log2的定义域，b=x|x 5 ， c=x|x m（1）求（?ua ） b；（2）若（ a b） c ?，求实数m 的取值范围【答案】（ 1）（?ua ） b=x|3x 5 ；2）（ -，5 【解析】【分析】（1）先求出集合 a，再求出?ua ，由此能求出（? ua ） b（2）先求出 a bx|2 x 5 ，由（ a b） c ?，能求出实数 m 的取值范围【详解】（ 1）依题意

13、，得， 解得 2x3，得 ax|2 x3，?ua x|x或2 x 3 ，则（?ua ） b x|3x 5 （2） a bx|2 x 5 ， 由（ a b） c ?，得m 5，即实数 m 的取值范围为（，5 【点睛】本题考查补集、交集、不等式的取值范围的求法，考查补集、并集、并集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18. 某同学用“五点法”画函数f（x）=asin （ x+ ）（0，| ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x+02 xasin(x+02-20）（1） 请将上表数据补充完整，填写在答题卷上相应位置，并直接写出函数 f（x）的解析式；（2） 若 f（ ）= ，求

14、cos（ 2+）的值【答案】（ 1）表格见解析， f（x）=2sin （2x-）；（ 2） 【解析】【分析】（1） 根据五点法作图，正弦函数的图象和性质，将表数据补充完整（2） 由条件利用诱导公式求得cos（ ） 的值，再利用二倍角公式，求得 cos（ 2）的值【详解】（ 1）表格即：x+02 xasin（ x+）02020f （x） 2sin （2x）（2）由 f（ ） 2sin （ ）， sin （）cos（）cos （ ），cos（ 2） cos 2 （） 21 2?1【点睛】本题主要考查五点法作图，正弦函数的图象和性质， 二倍角公式的应用，属于中档题19. 已知函数 f（x）=（ a

15、r）是奇函数（1） 求实数 a 的值；（2） 判断并证明 f（x）在 r 上的单调性【答案】（ 1）；（ 2）证明见解析【解析】【分析】（1） 根据题意，由奇函数的定义可得f（x）f（x），即，变形分析可得答案；（2） 根据题意，由（ 1）的结论可得函数f（x）的解析式，设x1x2 ，由作差法分析可得结论【详解】（ 1）根据题意，函数f（x）（ a r）是奇函数，则有 f（x）f（x），即，变形可得 a1；（2）由（ 1）的结论， f（x）2x2x，则 r 上为增函数，证明如下：设 x1x2 ，f（x1 ）f（x2）（）（）（）（ 1），又由 x1x2 ，则（） 0，（ 1） 0， 则 f（x

16、1 ）f（x2） 0，则函数 f（x）在 r 上为增函数【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及单调性的证明，关键是求出 a 的值，确定函数的解析式20. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图（注：收益与投资额单位：万元）（1） 分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；（2） 该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【答案】（ 1）；（2），万元【解析】试题分析：（ 1）根据题意设，然后

17、把分别代入，可求出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；（2）该家庭的收益等于债卷收益+股票收益，设投资债券类产品 万元，则股票类投资为万元，由（ 1）知债卷收益，股票收益，则总收益为，利用换元法求其最大值。试题解析：（ 1）设， 所以，即，； 5 分（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元， 依题意得：，令，则，所以当，即万元时，收益最大，万元 13 分考点：（ 1）待定系数法求函数的解析式；（ 2）数形结合思想的应用；（ 3）换元法的应用。21. 已知函数 f（x）=4cosxsin （x+ ）-1（1） 求 f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2） 将 y=f（x）图象上所有的点

18、向右平行移动 个单位长度， 得到 y=g（x）的图象若 g（x）在（ 0，m）内是单调函数， 求实数 m 的最大值【答案】（ 1）最小正周期为，减区间为 k ，+k+， k z（2） 【解析】【分析】（1） 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数 的周期性和单调性求得f（x）的最小正周期和单调递减区间（2） 利用函数 yasin （ x+ ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得m 的最大值【详解】（ 1）依题意，得函数f（x） 4cosxsin （x）14cosx? （ sinx cosx ）1 sin2x+2cos2x 12（ sin2xcos2x ）

19、 2sin （2x） 它的最小正周期为令 2k2x2k，求得 kxk ， 故函数的减区间为k ， k， k z（2）将 yf（x）图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到 yg（x） 2sin （2x）的图象若 g（x）在（ 0，m）内是单调函数，则g（x）在（ 0，m）内是单调增函数， 2m，求得 m，故 m 的最大值为 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数yasin （ x+ ） 的图象变换规律，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题22. 已知函数 y=x+有如下性质：如果常数t0，那么该函数在（0， 上是减函数，在 ，+）上是增函数（1） 已知（ x）=， x0 ，1利用上述性质，求

20、函数f（x）的值域；（2） 对于（ 1）中的函数 f（x）和函数 g（x）=-x+2a 若对任意 x10 ，1 ，总存在 x20 ，1，使得 g（x2 ）=f（x1 ）成立，求实数 a 的值【答案】（ 1）-4,-3 ；（ 2）【解析】【分析】（1）f（x）（2x+1 ），利用换元法，结合基本不等式即可求解；（2）任意 x10 ，1 ，总存在 x20 ，1，使得 g（x2） f（x1）成立，求解 g（x）的值域 m 和 f（x）的值域 n，可得n?m，即可求解实数a 的值【详解】（ 1）f（x）（2x+1 ），令 u2x+1 ，因为 x0 ，1，所以 u1 ，3 ，可得 f（x）转化为 h（u

21、） u， u1 ，3，由已知条件所给出的性质得，当u1 ，2，时， h（u）递减；当 u2 ，3时， h（u）递增所以 h（2） h（u） h（1） h（3）得 f（x）的值域是 4，3；（2）函数 g（x）x+2a 为减函数，故当x0 ，1时， g（x）的值域 1+2a ，2a ，对任意 x10 ，1，总存在 x20 ，1，使得 g（x2） f（x1 ）成立 ?f （ x）的值域是 g（x）的值域的子集，即4， 3?1+2a ，2a ，则，解得： a【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，以及转化思想的应用，对勾函数的最值以及单调性的应用2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题（

22、含解析）一、选择题（本大题共12 小题，共 60 分）1.已知集合 a=x|x2-1=0 ，则下列式子中：1 a；-1 a； ?a； 1 ，-1?a 正确的个数是（）a. 1 个b. 2 个c. 3 个d. 4 个【答案】 c【解析】【分析】先解得集合 a 的元素然后根据元素的具体情况进行逐一判断即可【详解】因为 ax|x2 10， a1，1对于 1a显然正确；对于 1 a，是集合与集合之间的关系，显然用不对； 对 ?a，根据集合与集合之间的关系易知正确；对 1 ， 1?a 同上可知正确 故选： c【点睛】本题考查的是集合元素与集合的关系问题在解答的过程当中充分体现了解方程的思想、逐一验证的技

23、巧以及元素的特征等知识，属于基础题2.若 sin（ 2+）= ， tan 0 ，则 cos=（）a.b.c.d.【答案】 a【解析】【分析】直接利用诱导公式及同角三角函数关系式求出结果【详解】由于： sin（ 2+）， 则：，由于： tan 0， 故：，所以： cos故选： a【点睛】本题考查的知识要点：诱导公式及同角三角函数关系式，熟练掌握公式是关键，属于基础题型3.设，则（ ）a.b.c.d.【答案】 c【解析】试题分析：考点：复合函数求值，故 c 正确4. 已知函数 y=2sin （ x+ ）（0）在区间 0， 2 的图象如图：那么=（）a. 1b. 2c.d.【答案】 b【解析】【分析

24、】由图象确定周期 t，进而确定 【详解】由图象知函数的周期t，所以 故选： b【点睛】本题考查三角函数中周期t 与 的关系，属于基础题5. 函数 f（ x）=x3+2x-5 的零点所在的一个区间是（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】根据函数零点的判定定理验证选项中使得函数值取得正负的自变量，由此可得结论【详解】易知函数f（ x） x3+2x 5 是连续函数，由于 f（-1 ）80， f（0）50，f（ 1）20 ，f（2）8+4 570，根据函数零点的判定定理可得函数f（x） x3+2x 5 的零点所在的区间为（ 1， 2），故选： d【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用

25、，体现了转化的数学思想，属于基础题6. 三个数 acos，blg，c之间的大小关系是（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】分别找到三个数的范围，即可判断出大小关系【详解】 acos（0， 1）， blg0，c1，ba c故选： d【点睛】本题考查了三角函数、对数函数、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题7. 设 f： x|x|是从集合a 到 b 的一个映射，且 b 中每一个元素都有原象，若a=-1 ，0，1， 则 a b=（）a.0，b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】由题意求出集合 b，再计算 a b【详解】由题意知a 1，0， 1，对应关系 f： x|x|

26、，b0，1 ， a b0， 1故选： b【点睛】本题考查了映射的定义与集合的运算问题，是基础题8. 若 tan =1+lgt， tan =，lg且 +=，则实数 t 的值为（）a.b. 1c.或 1d. 1 或 10【答案】 c【解析】【分析】由 +，利用两角和的正切函数化简，由对数的运算性质即可解得实数t 的值【详解】 tan 1+lgt ， tan lg ，且 +，tan （ +）tan1， 11（1+lgt ）lg ，（1+lgt ）lg0， 10t 1 或1，t或 1 故选： c【点睛】本题主要考查了两角和与差的正切函数，对数的运算性质，是基础题9. 已知 a0， a 1，则f（ x）

27、=loga的图象恒过点（）a.b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】对数函数恒过点，所以令=1，即可得出函数所过定点.【详解】令=1，解得 x=2，故 f（2） =loga1=0 恒成立，即 f（x）=loga的图象恒过点（2，0）。故选 b【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，求函数过定点问题，属于中档题.10. 在中，若，则的形状一定是（）a. 等边三角形b. 不含 60°的等腰三角形c. 钝角三角形d. 直角三角形【答案】 d【解析】,则, 选 .11. 已知函数是 上的偶函数 ,若对于都有且当时, 则的值为a.b.c.d.【答案】 c【解析】【分析】根据函数的奇偶性与周期性

28、，求得的值。【详解】因为是 上的偶函数 ,所以所以又因为，即周期 t=2=函数得=1 所以选 c【点睛】本题考查了函数性质的简单应用，周期性与奇偶性是函数重要的基本性质，要熟练掌握，属于基础题。12. 设常数使方程在区间上恰有三个解且，则实数的值为（）a.b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】解：分别作出 y=cosx ， x（ ， 3）与y=m 的图象，如图所示，结合图象可得则 1m0， 故排除 c，d，再分别令 m= ， m=，求出 x1，x2 ，x3，验证 x22=x1?x3 是否成立；【详解】解：分别作出y=cosx ， x（ ， 3）与y=m 的图象，如图所示，方程cosx=m 在

29、区间（ ， 3）上恰有三个解 x1 ，x2 ，x3（ x1x2 x3），则1 m0，故排除 c， d，当 m= 时，此时 cosx= 在区间（， 3）， 解得 x1=，x2= ，x3=，则 x22= 2x1?x3= 2，故a 错误，当 m= 时，此时 cosx= 在区间（， 3）， 解得 x1=，x2= ，x3=，则 x22= 2=x1?x3= 2，故b 正确，故选： b【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，考查了数形结合的思想和函数与方程的思想，属于中档题 .二、填空题（本大题共4 小题，共 20 分）13. 若幂函数的图象经过点（2，），则 f（ ）= 【答案】【解析】【分析】利用待定系

30、数法求出函数的解析式，再计算的值【详解】设幂函数f（ x） x， r； 其函数图象过点（ 2，）， 2， 解得 ；f （x），故答案为：【点睛】本题考查了利用待定系数法求出函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目14.tan+= 【答案】【解析】【分析】由，展开二倍角的正切求得，则答案可求【详解】，解得+故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正切，是基础题15. 若，则 a 的取值范围 【答案】【解析】【分析】根据底与 1 的大小分类化简不等式，最后求并集.【详解】由=logaa ，当 a>1 时，函数 y=logax 在（ 0，+）单调递增，由可得， a&g

31、t;1，当0<a<1 时，函数 y=logax 在（ 0，+）单调递减，由可得，综上可得，故答案为：【点睛】本题考查解对数不等式以及对数函数单调性，考查基本求解能力.16. 下列判断错误的是 （填写序号）集合y|y=有 4 个子集；若 ，则tan tan ；若 log2a log2b ，则 2a 2b ；设函数 f（x）=log2x 的反函数为 g（x），则 g（2）=1；已知定义在 r 上的奇函数 f（ x）在（ -，0）内有 1008 个零点，则函数f（x）的零点个数为 2017 【答案】【解析】【分析】化简集合可得 1 ，1 ，可判断；举 30°， 210°

32、;，可判断；运用对数函数和指数函数的单调性可判断；求得反函数计算可判断；运用奇函数的图象特点可判断【详解】集合 y|y1 ，1有 4 个子集，故正确；若 ，比如 30°， 210°，ta则n tan ，故错误；若 log2a log2b ，可得 ab 0，则 2a 2b ，故正确；设函数 f（x） log2x 的反函数为 g（ x），可得 g（x） 2x ，则 g（ 2） 4，故错误；已知定义在 r 上的奇函数 f（ x）在（，0）内有 1008 个零点，可得 f（x）在（ 0 ，+）内有1008 个零点，则函数 f（ x）的零点个数为2× 1008+12017

33、，故正确 故答案为：【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和运用，考查集合的子集个数，以及运算能力和推理能力，属于基础题三、解答题（本大题共6 小题，共 70.0 分）17. 设全集为 u=r ，集合 a 为函数 y=log2的定义域， b=x|x 5 ， c=x|x m（1）求（?ua） b；（2）若（ a b） c ?，求实数m 的取值范围【答案】（ 1）（?ua ） b=x|3 x 5 ；2）（ -，5【解析】【分析】（1） 先求出集合 a，再求出?ua ，由此能求出（? ua） b（2） 先求出 a bx|2 x 5 ，由（ a b） c ?，能求出实数m 的取值范围【详解】（ 1

34、）依题意，得， 解得 2x 3，得 ax|2 x3，? ua x|x或2 x 3 ，则（?ua ） b x|3x 5 （2） a bx|2 x 5 ， 由（ a b） c ?，得m 5，即实数 m 的取值范围为（，5 【点睛】本题考查补集、交集、不等式的取值范围的求法，考查补集、并集、并集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18. 某同学用“五点法”画函数f（ x）=asin （ x+ ）（0，| ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x+02xasin( x+）02-20（1） 请将上表数据补充完整，填写在答题卷上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2） 若 f（

35、）=，求 cos（ 2+ ）的值【答案】（ 1）表格见解析， f（x）=2sin （2x-）；（ 2）【解析】【分析】（1） 根据五点法作图，正弦函数的图象和性质，将表数据补充完整（2） 由条件利用诱导公式求得cos（） 的值，再利用二倍角公式，求得cos（ 2） 的值【详解】（ 1）表格即：x+02xasin（ x+02020）f （x） 2sin （2x）（2）由 f（ ） 2sin （）， sin （ ）cos（） cos（），cos（ 2） cos 2 （） 21 2?1【点睛】本题主要考查五点法作图，正弦函数的图象和性质，二倍角公式的应用，属于中档题19. 已知函数 f（x）=（ a

36、 r）是奇函数（1） 求实数 a 的值；（2） 判断并证明 f（ x）在 r 上的单调性【答案】（ 1）；（ 2）证明见解析【解析】【分析】（1） 根据题意，由奇函数的定义可得f（x）f（x），即，变形分析可得答案；（2） 根据题意，由（ 1）的结论可得函数f（ x）的解析式，设x1x2 ，由作差法分析可得结论【详解】（ 1）根据题意，函数f（ x）（ a r）是奇函数， 则有 f（x）f（x），即，变形可得 a 1；（2）由（ 1）的结论， f（ x）2x 2x，则 r 上为增函数，证明如下：设 x1 x2，f（x1 ）f（x2）（）（）（）（ 1），又由 x1 x2 ，则（） 0，（ 1）

37、 0， 则 f（x1 ）f（ x2） 0，则函数 f（ x）在 r 上为增函数【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及单调性的证明，关键是求出a 的值，确定函数的解析式20. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图（注：收益与投资额单位：万元）（1） 分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；（2） 该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【答案】（ 1）；（2），万元【解析】试题分析：（ 1）根据题意设，然后把分别代入，可求出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；（2）该家庭的收益等于债卷收益+股票收益，设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，由（ 1）知债卷收益，股票收益，则总收益为，利用换元法求其最大值。试题解析：（ 1）设，所以，即，； 5 分（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元， 依题意得：，令，则，所以当，即万元时，收益最大，万元 13 分考点：（ 1）待定系数法求函数的解析式；（2）数形结合思想