高二数学寒假讲义（精编版）

1、1 第一讲圆锥曲线专题一题型一：面积问题1. 设f是抛物线g:24xy的焦点，设ab、为抛物线g上异于原点的两点，且满足0fa fb, 延长afbf、分别交抛物线g于点cd、，求四边形abcd面积的最小值. 2. p、q 、m、 n 四点都在椭圆2212yx上，f为椭圆在y轴正半轴上的焦点已知 pf与 fq 共线， mf 与 fn 共线，且0pfmf求四边形pmqn 的面积的最值 . yq p n m f o x2 题型二：直线过定点问题3.a、b是抛物线24yx上的两点，且满足oaobo为坐标原点，求证：直线ab经过一个定点 . 4. 已知离心率为25的双曲线c的中心在坐标原点，左、 右焦点

2、12ff、在x轴上， 双曲线c的右支上一点a使021afaf且12f af的面积为 1. 1求双曲线c的标准方程；2假设直线mkxyl :与双曲线c相交于ef、两点ef、不是左右顶点 ，且以ef为直径的圆过双曲线c的右顶点d, 求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标. 3 y p o x a b 5. 已知点1,0 ,1,0 ,bcp是平面上一动点，且满足| |.pcbcpb cb1求点p的轨迹c对应的方程；2已知点(,2)a m在曲线c上，过点a作曲线c的两条弦ad和ae，且adae，判断：直线de是否过定点？试证明你的结论.题型三：直线斜率为定值问题6. 如图，过抛物线24yx上一定点1,

3、2p，作两条直线分别交抛物线于11,a x y，22,b xy，当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线ab的斜率为定值. 4 7已知椭圆c过点31,2a，两个焦点为1,0 , 1,0. 1求椭圆c的方程；2ef、是椭圆c上的两个动点， 如果直线ae的斜率与af的斜率互为相反数，证明直线ef的斜率为定值，并求出这个定值. 5 第三讲圆锥曲线专题二【知识要点】熟练向量共线问题与坐标的转化【经典例题】1. 已知抛物线2:8cyx，f为c的焦点，过焦点f斜率为0k k的直线与抛物线交于ab、两点，假设| 2 |fafb，则k . 2. 给 定 抛 物 线2:4cyx， 过 定 点2,0m的 直

4、 线l与 抛 物 线 交 于ab、两 点 ， 假 设2ambm，求直线l的方程 . 6 3. 已知椭圆22:12xcy，假设过点2,0d的直线椭圆c交于不同的两点e、f点e在d、f之间 ，试求ode与odf面积之比的取值范围o为坐标原点 . 4. 已知两定点1,0 ,1,0ab,动点p在y轴的射影为q，假设20pa pbpq. 1求动点p的轨迹e的方程；2直线l交y轴于点(0,)cm，交轨迹e于mn、两点，且满足3mccn，求实数m的取值范围 . 7 5. 如图，已知点(1,0)f， 直线:1,lxp为平面上的动点， 过p作直线l的垂线， 垂足为点q，且有qp qffp fq. (1) 求动点

5、 p的轨迹 c的方程；(2) 过点 f 的直线交轨迹c于ab、两点，交直线l于点m，已知12,maaf mbbf求12的值 . 8 6. 双曲线c与椭圆22184xy有相同的焦点，直线3yx为c的一条渐近线. 1求双曲线c的方程；2过点0,4p的直线l，交双曲线c于ab、两点，交x轴于q点q点与c的顶点不重合 , 当12pqqaqb，且3821时，求q点的坐标 . 9 7. 已知椭圆)0(1:2222babyaxc，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形. 1求椭圆的方程；2过点1,0q的直线l交椭圆于ab、两点，交直线4x于点e，点q分ab所成比为，点e分ab所成比为，求证为定值，并计

6、算出该定值. 10 第四讲圆锥曲线专题三1. 设1f、2f分别是椭圆1422yx的左、右焦点. 1假设p是该椭圆上的一个动点，求1pf2pf的最大值和最小值；2设过定点)2,0(m的直线l与椭圆交于不同的两点a、b，且aob为锐角其中o为坐标原点，求直线l的斜率k的取值范围 .2. 设a、b分别为椭圆22221,0 xya bab的左、 右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x为它的右准线. 1求椭圆的方程；2设p为右准线上不同于点4，0的任意一点，假设直线ap、bp分别与椭圆相交于异于a、b的点m、n，证明点b在以mn为直径的圆内 . x y p a b m n o 11 3. 已知定点a(

7、1，0) ，f(2 ，0) ，定直线l：x12，不在x轴上的动点p与点f的距离是它到直线l的距离的2倍 . 设点p的轨迹为e，过点f的直线交e于b、c两点，直线ab、ac分别交l于点m、n1求e的方程；2试判断以线段mn为直径的圆是否过点f，并说明理由 . 4. 已知椭圆e的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21，离心率为2e21求椭圆e的方程；2过点1, 0 作直线l交e于p、q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点m， mp mq为定值？假设存在，求出这个定点m的坐标；假设不存在，请说明理由12 5. 已知椭圆c的离心率为32，长轴的左右端点分别为12( 2,0),

8、(2,0)aa. 1求椭圆c的标准方程；2设直线1xmy与椭圆 c 交于,p q两点，直线1a p与2a q交于点s. 试问：当m变化时，点 s是否恒在一条定直线上？假设是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；假设不是，请说明理由 . 13 6. 已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24xy的焦点，离心率25e，过椭圆的右焦点f作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于a、b两点 . 1求椭圆的标准方程；2设点(,0)m m是线段of上的一个动点，且()mambab，求m的取值范围；3设点c是点a关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点n，使得c、b、n三点共线？假设存在，求出定点n的坐

9、标，假设不存在，请说明理由. 14 第五讲导数的概念与切线问题【知识要点】导数的概念及其几何意义；你熟悉常用的导数公式吗？导数的运算法则：. 两个函数四则运算的导数；. 复合函数的导数：xuxuyy. 4. 你会利用导数求曲线在某点处的切线方程吗? 【经典例题】例 1. 导数的概念题: 1. 一质点的运动方程为253st，则在一段时间1,1t内相应的平均速度为a.36t b.36t c.36t d.36t2. 已知23f, 则0222limxfxfxx . 3. 求导公式的应用13( )ln3fxxxx，则( )fx= . 232( )25fxxxx，假设0()0fx，则0 x= . 32(

10、)(31)(23)fxxxx，则( )fx= ，( 1)f= . 410( )(23)fxx，则( )fx= . 4. 已知3214fxfxxx，则fx= . 15 例 2. 切线问题 : 1. 曲线24yxx上两点(4,0),(2,4)ab，假设曲线上一点p处的切线恰好平行于弦ab，则点p的坐标为a.(1,3) b.(3,3) c.(6,12) d.(2,4)2. 曲线32242yxxx在点(13)，处的切线方程是 . 3. 曲线3yx在点1,1处的切线与x轴、直线2x所围成的三角形的面积为_ _. 4. 曲线32364yxxx的所有切线中 , 斜率最小的切线的方程是 . 例 3. 曲线c：

11、32yaxbxcxd在(0,1)点处的切线为1:1lyx在(3,4)点处的切线为2:210lyx，求曲线c的方程 . 例 4. 已知两曲线axxy3和cbxxy2都经过点1,2p，且在点p处有公切线，试求abc、 、的值 . 16 例 5. 切线问题的综合应用: 1. 江 西 卷 理 设 函 数2( )( )f xg xx， 曲 线( )yg x在 点(1, (1)g处 的 切 线 方 程 为21yx，则曲线( )yf x在点(1,(1)f处切线的方程为 . 2.安徽卷理 已知函数( )f x在r上满足2( )2(2)88f xfxxx，则曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程是 (

12、 )a.21yx b.yx c.32yx d.23yx3. 全国卷理已知直线1yx与曲线lnyxa相切，则a的值为 ( )a.1 b.2 c.-1 d.-2 4. 假设曲线3( )lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 _. 5. 曲线lnyx上的点到直线3yx的最短距离为 . *6. 向高为8m ，底面边长为8m 的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟338m，则当水深为 5m时，水面上升的速度为 . 17 【经典练习】1. 设曲线2axy在点1,a处的切线与直线062yx平行，则aa.1 b.12 c.12 d.12. 已知曲线24xy的一条切线的斜率为12，则切点

13、的横坐标为a.1 b.2 c.3 d.4 3. 假设曲线2yxaxb在点(0, )b处的切线方程是10 xy，则a.1,1ab b.1,1abc.1,1ab d.1,1ab4. 曲线313yxx在点413，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为a.19 b.29 c.13 d.235. 假设42( )f xaxbxc满足(1)2f，则( 1)fa.4 b.2 c.2 d.4 6. 已 知 函 数( )yf x的 图 象 在 点(1(1)mf，处 的 切 线 方 程 是122yx， 则(1)(1)ff . 7. 曲线1yx和2yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 . 8. 过点( 1

14、,2)p且与曲线2342yxx在点(1,1)m处的切线平行的直线方程是 . 9. 已知23f，24f, 则022246limxfxfxx . 10. 已知直线22yx为曲线3fxxax的一条切线，则a= . 18 第六讲导数的应用一【知识要点】导数的应用1求曲线的切线方程; 2求单调区间; 3求函数的极值或函数最值. 【经典例题】1. 已知曲线3:2syxx. 1求曲线s在点(1,1)a处的切线方程；2求过点(2,0)b并与曲线s相切的直线方程. 2. 2009 北京文设函数3( )3(0)f xxaxb a. 1假设曲线( )yf x在点(2,(2)f处与直线8y相切，求,a b的值；2求函

15、数( )f x的单调区间与极值. 19 3已知3211ln,32fxx g xxxmxn，直线l与函数,fxg x的图象都相切于点1,0. 1求直线l的方程及( )g x的解析式；2假设h xfxgx其中gx是g x的导函数，求函数h x的值域 . 4. 设函数2( )ln(23)f xxx. 1讨论( )f x的单调性；2求( )f x在区间3 14 4，的最大值和最小值. 20 5. 设函数32( )2338f xxaxbxc在1x及2x时取得极值1求ab、的值；2假设对于任意的0 3x，都有2( )f xc成立，求c的取值范围 . * 6. 2009 安徽卷文已知函数21ln,0fxxa

16、x ax. 1讨论fx的单调性；2设3a，求fx在区间21,e上的值域 . 21 【经典练习】1. 如果函数y=f(x) 的图象如右图，那么导函数yfx的图象可能是2. 在以下结论中，正确的结论有单调增函数的导函数也是单调增函数；单调减函数的导函数也是单调减函数；单调函数的导函数也是单调函数；导函数是单调的，则原函数也是单调的a.0 个 b.2个 c.3个 d.4个3. 函数4282yxx在 1,3 上的最大值为 ( ) a11 b 2 c12 d.10 4. 曲线xye在点2(2)e，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为a.294e b.22e c.2e d.22e5. 全国卷函数93)(23

17、xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a=a.2 b.3 c.4 d.5 6.(2009年广东卷文 ) 函数xexxf)3()(的单调递增区间是a.)2,( b.(0,3) c.(1,4) d. ),2(7. 函数( )ln(0)f xxx x的单调递增区间是 . 8. 曲线3( )1f xxx过点 p(1,1)的切线方程为 . 22 【经典作业】1. 曲线324yxx在点(13)，处的切线的倾斜角为a.30 b.45 c.60 d.1202. 如果质点a按规律32st运动，则在2t秒时的瞬时速度为( ) a.6 b.8 c.16 d.24 3. 经过原点且与曲线lnyx相切的直线的方

18、程是_. 4. 已知函数3( )128fxxx在区间3,3上的最大值与最小值分别为mm、，则mm. 5. 函数)0(3)(3abaxxxf的极大值为6, 极小值为2, 则)(xf的减区间是 . 6. 已知函数32( )f xaxxbx其中常数abr、 ，( )( )( )g xf xfx是奇函数 . 1求( )f x的表达式；2讨论( )g x的单调性，并求( )g x在区间1,2上的最大值与最小值. 23 第七讲导数的应用二【知识要点】1单调性问题2极值的存在性问题【经典例题】题型一：单调性问题1. 2009 安徽卷理已知函数2( )(2ln),(0)f xxaxax，讨论( )f x的单调

19、性 . 2. 全国一19已知函数32( )1f xxaxx，ar1讨论函数( )f x的单调区间；2设函数( )f x在区间2133，内是减函数，求a的取值范围24 3. 2009 北京理设函数( )(0)kxf xxek. 1求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程；2求函数( )f x的单调区间；3假设函数( )f x在区间( 1,1)内单调递增，求k的取值范围 . * 4已知函数2( )lnxfxaxxe. 1任取两个不等的正数12xx、，12120fxfxxx恒成立，求a的取值范围；2当0a时，求证：( )0fx没有实数解25 题型二：极值的存在性问题5. 已知ar，讨论函数

20、2( )1xf xexaxa的极值点的个数. * 6. 海南理 21 设函数2( )ln()f xxax. 1假设当1x时，( )f x取得极值，求a的值，并讨论( )f x的单调性；2假设( )f x存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln2e26 【经典练习】1. 辽宁卷6设p为曲线:c223yxx上的点，且曲线c在点p处切线倾斜角的取值范围为04，则点p横坐标的取值范围为a.112， b.10， c.01 ， d.112，2. 2009 福建卷理以下函数( )f x中，满足对任意120 xx、，当12xx时，都有12fxfx的是a.( )f x=1x b.( )fx=2(1)

21、x c.( )f x=xe d.( )ln(1)f xx3假设函数343yxbx有三个单调区间，则b的取值范围是a.0b b.0b c.0b d.0b4. 设函数3443)(xxxf则以下结论中，正确的选项是a.)(xf有一个极大值点和一个极小值点b.)(xf只有一个极大值点c.)(xf只有一个极小值点d.)(xf有二个极小值点5. 函数32( )1f xxaxbx，当1x时，有极值1，则函数32( )g xxaxbx的单调减区间为6已知曲线313yx上一点8(2,)3p，则点p处的切线方程是；过点p的切线方程是7. 已知21fxxax在1,上为减函数，则a的取值范围为27 【经典作业】1设0

22、t, 点( ,0)p t是函数3( )f xxax2( )g xbxc与的图象的一个公共点, 两函数的图象在点p处有相同的切线. (1) 用t表示abc、 、. (2) 假设函数( )( )yfxg x在)3,1(上单调递减，求t的取值范围 . 2. 北京卷文18设定函数32( )(0)3af xxbxcxd a，且方程( )90fxx的两个根分别为1，4. 1当3a且曲线( )yf x过原点时，求( )f x的解析式；2假设( )f x在(,)无极值点，求a的取值范围 . 28 第八讲导数的应用三【知识要点】1不等式证明问题2恒成立问题求范围【经典例题】题型一：不等式证明问题1. 证明不等式

23、(1)1xex； (2)2lnxxxe. 2. 已知定义在正实数集上的函数21( )22f xxax，2( )3lng xaxb，其中0a设两曲线( )yf x，( )yg x有公共点，且在该点处的切线相同. 1用a表示b，并求b的最大值；2求证：( )( )f xg x0 x 29 题型二：恒成立问题3. 已知函数44( )ln0f xaxxbxc x在1x处取得极值c3， 其中abc、 、为常数 . 1试确定ab、的值；2讨论函数fx的单调区间；3假设对任意0 x，不等式22)(cxf恒成立，求c的取值范围 . 4. 设函数22( )21(0)f xtxt xtxrt，1求( )f x的最

24、小值( )h t；2假设( )2h ttm对(0 2)t，恒成立，求实数m的取值范围 . 30 5. 安徽卷20设函数1( )(01)lnf xxxxx且. 1求函数( )f x的单调区间；2已知12axx对任意(0,1)x成立，求实数a的取值范围 . * 6设函数3( )31fxaxx，假设对于任意的1 , 1x都有0)(xf成立，求实数a. 31 【经典练习】1. 已知对任意实数x， 有()( )()( )fxf xgxg x， 且0 x时，( )0( )0fxg x，则0 x时a.( )0( )0fxg x， b.( )0( )0fxgx，c.( )0( )0fxg x， d.( )0(

25、 )0fxg x，2. 已知)(),(xgxf是定义在,a b上的函数，且fxgx, 则当axb时, 有a.fxg x b.+fxg ag xfa c.fxg x d.+fxg ag xf a3. 设)(),(xgxf分别是定义在r上的奇函数和偶函数，( )0,g x当0 x时( ) ( )( )( )0fx g xf x g x, 且( 3)0,f则不等式( )0( )f xg x的解集是a.), 3()0, 3( b.)3, 0()0,3( c.), 3()3,( d.)3, 0()3,(4. 函数yxx133有a.极小值 -2 ，极大值2 b.极小值 -2 ，极大值3 c.极小值 -1

26、，极大值1 d.极小值 -1 ，极大值3 5. 2009 天津卷理设函数1( )ln(0),3f xxx x则( )yf xa在区间1(,1),(1, )ee内均有零点b在区间1(,1),(1, )ee内均无零点c在区间1(,1)e内有零点，在区间(1, )e内无零点d在区间1(,1)e内无零点，在区间(1, )e内有零点32 【经典作业】1函数3( )1f xaxx有极值的充要条件是a.0a b.0a c.0a d.0a2. 2009 江西卷文假设存在过点(1,0)的直线与曲线3yx和21594yaxx都相切，则a等于a.1或25-64 b.1或214 c.74或25-64 d.74或73.

27、 对于 r上可导的任意函数fx，假设满足10 xfx，则必有a.(0)(2)2 (1)fff b.(0)(2)2(1)fffc.(0)(2)2 (1)fff d.(0)(2)2(1)fff4. 设a为实数，函数22 ,xfxexa xr. (1) 求fx的单调区间与极值；(2) 求证：当ln 21a且0 x时，221xexax. 33 第九讲导数的应用四【知识要点】图像的交点问题【典型例题】1. 2009 陕西卷文已知函数3( )31,0f xxaxa1求( )f x的单调区间；2假设( )f x在1x处取得极值，直线y=m 与( )yf x的图象有三个不同的交点，求m的取值范围 . 2设函数

28、axxxxf2331)(，bxxg2)(，当21x时，)(xf取得极值 . 1求a的值，并判断)21(f是函数)(xf的极大值还是极小值；2当4,3x时，函数)(xf与)(xg的图象有两个公共点，求b的取值范围 . 34 3. 已知函数3( )+31,f xxaxg(x)( )5,fxax其中( )fx是fx的的导函数1对满足11a的一切a的值，都有g( )0,x求实数x的取值范围2设2am(0m) ，当实数在什么范围内变化时，函数( )yf x的图像与直线3y只有一个公共点. 4. 设函数321axxbxc32f （x）=，其中 a0，曲线xyf （ ）在点 p0，0f （ ）处的切线方程为

29、y=1 1确定 b、c 的值；2设曲线xyf （ ）在点11xxf，（）及22xxf，（）处的切线都过点0,2 证明：当12xx时，12()()fxfx；3假设过点0,2 可作曲线xyf （ ）的三条不同切线，求a 的取值范围 . 35 【课堂练习】1. 设( )fx是函数( )fx的导函数，将( )yf x和( )yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的选项是2方程5436151010 xxx的实数解的集合是 a. 至少有 2 个元素 b. 至少有 3 个元素c.恰有 1 个元素 d. 恰好有 5 个元素3. 直线12yxb是曲线ln0yx x的一条切线，则实数b . 4. 假设21

30、( )ln(2)2f xxbx在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是_. 5. 已知函数2( )8 ,( )6ln.f xxx g xxm(1) 求( )f x在区间,1t t上的最大值( );h t(2) 是否存在实数,m使得( )yfx的图象与( )yg x的图象有且只有三个不同的交点？假设存在，求出m的取值范围；假设不存在，说明理由. 36 【课后作业】1. 函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如下列图，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点a.1 个 b.2个c.3 个 d. 4个2. 曲线)50).(2)(1(xxxxy在原点处的切线方

31、程为 a.xy1275 b.xy250 c.xy100 d.xy!503. 设ar，假设函数3axyex，xr有大于零的极值点，则a.3a b.3a c.13a d.13a4. 已知3x是函数2ln 110fxaxxx的一个极值点 . (1) 求a；(2) 求函数fx的单调区间；(3) 假设直线yb与函数yfx的图象有3 个交点，求b的取值范围 . x?abxy)(fyo37 第十讲导数专题一【知识要点】1. 证明不等式2. 恒成立问题【典型例题】1. 证明：211(0)2xexxx. 2. 设函数2( )ln(1)f xxbx，其中0b1当12b时，判断函数( )f x在定义域上的单调性；2

32、求函数( )f x的极值点；3证明对任意的正整数n，不等式23111ln1nnn都成立38 3. 设( )lnf xx，( )( )( )g xf xfx1求( )g x的单调区间和最小值；2讨论( )g x与1()gx的大小关系；3求a的取值范围，使得( )( )g ag x1a对任意x0 成立4. 已知lnfxxx,322g xxaxx. (1) 求函数的单调区间；(2) 求函数fx 在t,t+2(t0)上的最小值；(3) 对一切的0,x,22fxgx恒成立，求实数a的取值范围 . 39 5. 设函数2( )1xf xx eax. 1假设a=12，求( )f x的单调区间；2假设当0 x时( )0f x，求a的取值范围 . 6设函数f(x) (x1)ln(x1)，假设对所有的x0，都有f(x) ax成立，求实数a的取值范围 . 40 第十一讲导数专题二【知识要点】双变量的不等式证明或恒成立问题【典型例题】1. 证明：当mn0时，(1)(1)nmmn. 2. 已知函数ln12fxxmx. 1fx为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围 ; 2当1m时，求函数fx的最大值 ; 3当1m时，且10ab，证明：423fafbab. 41 3. 已知函数21( )(1)ln,12f