2015年广东省高考数学试卷（理科）

1、2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若集合M=x|（x+4）（x+1）=0，N=x|（x4）（x1）=0，则MN=（）A1，4B1，4C0D2（5分）若复数z=i（32i）（i是虚数单位），则=（）A23iB2+3iC3+2iD32i3（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）Ay=By=x+Cy=2x+Dy=x+ex4（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）ABCD15（5

2、分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A2x+y+5=0或2x+y5=0B2x+y+=0或2x+y=0C2xy+5=0或2xy5=0D2xy+=0或2xy=06（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A4BC6D7（5分）已知双曲线C：=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A=1B=1C=1D=18（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A至多等于3B至多等于4C等于5D大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（1113题）9（5分）在（

3、1）4的展开式中，x的系数为 10（5分）在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= 11（5分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=，sinB=，C=，则b= 12（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）13（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= 14（5分）已知直线l的极坐标方程为2sin（）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为 15如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1过圆心

4、O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 三、解答题16（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，），=（sinx，cosx），x（0，）（1）若，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值17（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄123456789404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36

5、名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB（1）证明：PEFG；（2）求二面角PADC的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值19（14分）设a1，函数f（x）=（1+x2）exa（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x

6、）在（，+）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m120（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y26x+5=0相交于不同的两点A，B（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由21（14分）数列an满足：a1+2a2+nan=4，nN+（1）求a3的值；（2）求数列an的前 n项和Tn；（3）令b1=a1，bn=+（1+）an（n2），证明：数列bn的

7、前n项和Sn满足Sn2+2lnn2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若集合M=x|（x+4）（x+1）=0，N=x|（x4）（x1）=0，则MN=（）A1，4B1，4C0D【分析】求出两个集合，然后求解交集即可【解答】解：集合M=x|（x+4）（x+1）=0=1，4，N=x|（x4）（x1）=0=1，4，则MN=故选：D【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力2（5分）若复数z=i（32i）（i是虚数单位），则=（）A23iB2+3iC3+2iD32

8、i【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可【解答】解：复数z=i（32i）=2+3i，则=23i，故选：A【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力3（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）Ay=By=x+Cy=2x+Dy=x+ex【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（x）=f（x）也不满足f（x）=f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性的判

9、断，基本知识的考查4（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）ABCD1【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包

10、含的基本事件个数为=50；P（A）=故选：B【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理5（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A2x+y+5=0或2x+y5=0B2x+y+=0或2x+y=0C2xy+5=0或2xy5=0D2xy+=0或2xy=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y5=0故选：A【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切

11、线方程，考查计算能力，是基础题6（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A4BC6D【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=x+，平移直线y=x+，则由图象可知当直线y=x+，经过点A时直线y=x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键7（5分）已知双曲线C：=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A

12、=1B=1C=1D=1【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程【解答】解：双曲线C：=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，a=4，b=3，所求双曲线方程为：=1故选：C【点评】本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力8（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A至多等于3B至多等于4C等于5D大于5【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两

13、两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，但显然球的半径不等于棱长，故不成立；同理n5，不成立故选：B【点评】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（

14、1113题）9（5分）在（1）4的展开式中，x的系数为6【分析】根据题意二项式（1）4的展开式的通项公式为Tr+1=（1）r，分析可得，r=2时，有x的项，将r=2代入可得答案【解答】解：二项式（1）4的展开式的通项公式为Tr+1=（1）r，令2=1，求得r=2，二项式（1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题10（5分）在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将

15、a5的值代入即可求答案【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10故答案为：10【点评】本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础题11（5分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=，sinB=，C=，则b=1【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b【解答】解：sinB=，B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为矛盾故答案为：1【点评】本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键12（

16、5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言（用数字作答）【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条故答案为：1560【点评】本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键13（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，

17、npq=20，q=，则p=，故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力14（5分）已知直线l的极坐标方程为2sin（）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可【解答】解：直线l的极坐标方程为2sin（）=，对应的直角坐标方程为：yx=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，2）点A到直线l的距离为：=故答案为：【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力15如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是

18、圆O的切线，切点为C，BC=1过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=8【分析】连接OC，确定OPAC，OP=BC=，RtOCD中，由射影定理可得OC2=OPOD，即可得出结论【解答】解：连接OC，则OCCD，AB是圆O的直径，BCAC，OPBC，OPAC，OP=BC=，RtOCD中，由射影定理可得OC2=OPOD，4=OD，OD=8故答案为：8【点评】本题考查圆的直径与切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力，比较基础三、解答题16（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，），=（sinx，cosx），x（0，）（1）若，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求

19、x的值【分析】（1）若，则=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值【解答】解：（1）若，则=（，）（sinx，cosx）=sinxcosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）|=，|=1，=（，）（sinx，cosx）=sinxcosx，若与的夹角为，则=|cos=，即sinxcosx=，则sin（x）=，x（0，）x（，）则x=即x=+=【点评】本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础17（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人

20、编号年龄工人编号年龄123456789404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差

21、公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，所有样本数据的编号为：4n2，（n=1，2，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40由方差公式得s2=（4440）2+（4040）2+（3740）2=（3）s2=s=（3，4），36名工人中年龄在s和+s之间的人数等于区间37，43的人数，即40，40，41，39，共23人36名工人中年龄在s和+s之间所占百分

22、比为63.89%【点评】本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础18（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB（1）证明：PEFG；（2）求二面角PADC的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值【分析】（1）通过PDC为等腰三角形可得PECD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PGAD，则PDC为二面角PADC的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FGAC，在PAC中

23、，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角PAC的余弦值【解答】（1）证明：在PDC中PO=PC且E为CD中点，PECD，又平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCD=CD，PE平面PCD，PE平面ABCD，又FG平面ABCD，PEFG；（2）解：由（1）知PE平面ABCD，PEAD，又CDAD且PECD=E，AD平面PDC，又PD平面PDC，ADPD，又ADCD，PDC为二面角PADC的平面角，在RtPDE中，由勾股定理可得：PE=，tanPDC=；（3）解：连结AC，则AC=3，在RtADP中，AP=5，AF=2FB，CG=2GB，FGAC，直线PA与直线F

24、G所成角即为直线PA与直线AC所成角PAC，在PAC中，由余弦定理得cosPAC=【点评】本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到勾股定理、余弦定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题19（14分）设a1，函数f（x）=（1+x2）exa（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（，+）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m1【分析】（1）利用f（x）0，求出函数单调增区间（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：函数单调；函数有零点（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较

25、为复杂【解答】解：（1）f（x）=ex（x2+2x+1）=ex（x+1）2，f（x）0，f（x）=（1+x2）exa在（，+）上为增函数（2）证明：f（0）=1a，a1，1a0，即f（0）0，f（）=（1+a）a=+a（1），a1，1，10，即f（）0，且由（1）问知函数在（，+）上为增函数，f（x）在（，+）上有且只有一个零点（3）证明：f（x）=ex（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=ex0（x0+1）2，y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，f（x0）=0，即：ex0（x0+1）2=0，x0=1，将x0=1代入y=f（x）得y0=，要证m1，即证（m+1）3a，需要

26、证（m+1）3em（m+1）2，即证m+1em，因此构造函数g（m）=em（m+1），则g（m）=em1，由g（m）=0得m=0当m（0，+）时，g（m）0，当m（，0）时，g（m）0，g（m）的最小值为g（0）=0，g（m）=em（m+1）0，emm+1，em（m+1）2（m+1）3，即：，m【点评】本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度20（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y26x+5=0相交于不同的两点A，B（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x4）与

27、曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论【解答】解：（1）圆C1：x2+y26x+5=0，整理，得其标准方程为：（x3）2+y2=4，圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x26x+5=0，由=364（1+k2）×50，可得k2由韦达定理，可得x1+x2=，线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中k，线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x）2+y2=，其中x3；（3）结论：当k（，），时，直线L：y=k（x4）与曲线C只有一个交点理