平行四边形的判定

1、第二课时一、教案目标知识与技能理解和领会三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理及其应用过程与方法经过探索三角形中位线定理的过程，理解它与平行四边形的内在联系，感悟几何学的推理方法情感、态度与价值观培养学生合情推理意识，形成几何思维分析思路，体会几何学在日常生活中的应用价值二、重点难点重点：理解并应用三角形中位线定理难点：理解三角形中位线定理的推导，感悟几何的思维方法。三、教案准备多媒体， 直尺、圆规；补充本节课资料四、教案方法分组讨论，讲练结合法。五、教案过程( 一) 复习导入1平行四边形的定义是什么？2平行四边形具有哪些性质？3平行四边形是如何判定的？教师板书：画出一个平行四边形，如下图（

2、帮助理解）学生活动：踊跃发言，相互讨论，归纳出平行四边形的性质与判定课堂演练（ 教师板书 ）：演练题：如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于 O，E、F 分别为 BO、DO 的中点求证： AF CE（请你用两种方法证明）1/10思路点拨：方法 1：证明 AOF COE，推出 AFE= CEF，从而得证 AF CE方法 2：连结 AE、 CF，去证明四边形 AECF 为平行四边形教师活动：组织学生完成“演练题”，巡视、关注“学困生”，对于思路较好的学生，请他们完成后再上台演示教师注意纠正他们的书写学生活动：独立完成“演练题”，结合本道题，回顾和应用平行四边形性质，判定师生共识：构

3、图 :设计意图： 采用先回顾（ 提问式 ）平行四边形性质、判定，再通过“演练题”进行实际应用，这样不空洞，且能调动积极性，有利于归纳、提升( 二) 新课教授例 1.（补充）已知：如图， ABCD 中， E、 F 分别是 AD 、 BC 的中点，求证：BE=DF分析：证明BE=DF ，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形 BEDF 是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单证明：四边形ABCD 是平行四边形， ADCB，AD=BC E、F 分别是 AD 、 BC 的中点， DEBF，且 DE= 1 AD ，BF= 1 BC22 DE=BF四边形 BEDF 是平行四边形（ 一组对边平行且相

4、等的四边形是平行四边形 ） BE=DF2/10此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路例 2.（补充）已知：如图， ABCD 中， E、F 分别是 AC 上两点，且 BEAC 于 E，DFAC 于 F求证：四边形 BEDF 是平行四边形分析：因为 BE AC 于 E， DF AC 于 F，所以 BE DF需再证明 BE=DF，这需要证明 ABE 与 CDF 全等，由角角边即可证明：四边形ABCD 是平行四边形， AB=CD ，且 A

5、B CD BAE= DCF BEAC 于 E，DFAC 于 F， BEDF，且 BEA= DFC=90° ABE CDF （AAS ） BE=DF四边形 BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）( 三) 例题讲解例1在下列给出的条件中，能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是（ C ）（A）AB CD，AD=BC （B） A=B， C=D（C）AB=CD ，AD=BC（D）AB=AD ，CB=CD解读： A 错，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； B 错，两组邻角相等可能为等腰梯形； D错，虽然邻边相等但不能保证对边也相等；排除法选 C。答案

6、 C。例2已知：如图，ACED，点B在AC上，且 AB=ED=BC ，找出图中的平行四边形，并说明理由解读：利用平行四边形的判定性质。答：四边形 ABDE 、四边形 BCDE为平行四边形。例 3已知：如图，在ABCD 中， AE、CF 分别是 DAB 、 BCD3/10的平分线求证：四边形 AFCE 是平行四边形解读：利用组对边平行且相等的四边形是平行四边形。证明： AE、CF 分别是 DAB 、 BCD 的平分线 DAE= 1 DAB ， BCF= 1 BCD.22又四边形 ABCD 是平行四边形 . DAB= BCD， D=B，即 DAE= BCF.又 BC=DA. ADE CBF （AS

7、A ） BF=DE,即 AF=CE.又 AF CE(已知条件 ).四边形 AFCE 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（四）巩固练习1判断题：(1) 相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形( )(2) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；( )(3) 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；( )(4) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；( )(5) 对角线相等的四边形是平行四边形；( )(6) 对角线互相平分的四边形是平行四边形()2延长 ABC 的中线 AD 至 E，使 DE=AD 求证：四边形 ABEC 是平行四边形3在四边形ABCD 中， (1)A

8、B CD；(2)AD BC；(3)AD BC；(4)AO OC；(5)DO BO； (6)AB CD选择两个条件，能判定四边形 ABCD 是平行四边形的共有 _对答案1. (1)对； (2)对； (3)错； (4)对； (5)对； (6)对2. 略 3.共有 9对（五）全课小结1、熟记平行四边形判定定理。4/102、进一步掌握定理的应用。六、板书设计19.2 平行四边形的判定复习回顾：例题讲解：平行四边形的性质例 1新课教授：例2平行四边形判定定理巩固练习：小结：平行四边的性质与判定定理之间关系1、熟记平行四边形判定定理2、进一步掌握定理的应用定理的几方面应用作业布置：七、对应练习1如图所示，

9、矩形 ABCD中的两条对角线相交于点 O， AOD=120°， AB=4cm，则矩形的对角线的长为 _2若四边形 ABCD的对角线 AC，BD相等，且互相平分于点O， 则 四 边 形ABCD?是 _ 形 ，若 AOB=60° ， 那 么AB：AC=_3如图所示， ABCD的四个内角的平分线分别相交于 E，F，G，H两点，试说明四边形 EFGH是矩形4. 在 ABC 中， CE， CF 分别平分 ACB 和它的邻补角ACDAE?CE于 E，AFCF于 F，直线 EF分别交 AB，AC于 M， N两点，则四边形 AECF是矩形吗？为什么？答案5/1018cm2矩； 1：23 解

10、：在 ABCD中，因为AD BC，所以 DAB+CBA=180°，11 CBA又因为 HAB=DAB， HBA=22所以 HAB+HBA=90°，所以 H=90°同理可求得 HEF=?F=?FGH=90°，所以四边形 EFGH是矩形4 解：四边形 AECF是矩形理由：因为 CE平分 ACB，?CF?平分 ACD，所以 ACE=1 ACB， ACF=1 ACD所以 ECF=1 （222ACB+ACD）=90°又因为 AECE，AF CF，所以 AEC=AFC=90°，所以四边形 AECF是矩形八、教案反思经过这两节课的学习，学生基本掌握

11、了学习几何证明题的学习方式和方法，基本能应用平行四边形的性质和判定方法解决问题。在以后的学习过程中最主要的任务是让学生落实到笔头上，及要让学生学会反思做完的每一道题九、知识链接中国古代和近代数学发展的简单历史知识中国古代是一个世界上数学先进的国家，用近代科目来分类的话，可以看出无论在算术、代数、几何和三角各方面都十分发达。现在就让我们来简单回顾一下初等数学在中国发展的历史。（一）属于算术方面的材料大约在 3000 年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的运算规则在后来的“孙子算经”（公元三世纪）内有了详细的记载。中国古代是用筹来计数的，在我们

12、古代人民的计数中，已利用了和我们现在相同的位率，用筹计数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显的表现出来。“孙子算经”用十6/10六个字来表明它，“一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。” 和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早。乘法表在中国古代叫九九，估计在 2500 年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以九九来代表数学。现在我们还能看到汉代遗留下来的木简（公元前一世纪）上面写有九九的乘法口诀。现有的史料指出，中国古代数学书“九章算术”（约公元一世纪前后）的分数运算法则是世界上最早的文献，“九章算术”的分数四则运算和现在我们

13、所用的几乎完全一样。古代学习算术也从量的衡量开始认识分数，“孙子算经”（公元三世纪）和“夏候阳算经”（公元六、七世纪）在论分数之前都开始讲度量衡，“夏侯阳算经”卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等。”这种以十的方幂来表示位率无疑地也是中国最早发现的。小数的记法，元朝（公元十三世纪）是用低一格来表示，如 13.56作 1356 。在算术中还应该提出由公元三世纪“孙子算经”的物不知数题发展到宋朝秦九韶（公元1247 年）的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在十九世纪才进行研究。宋朝杨辉所著的书中（公元

14、1274 年）有一个 1300 以内的因数表，例如 297用“三因加一损一”来代表，就是说297=3×11×9，（ 11101 叫加一， 9101 叫损一）。杨辉还用“连身加”这名词来说明 201300 以内的质数。（二）属于代数方面的材料从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就。“九章算术”方程章首先解释正负术是确切不移的，正象我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容。我们古代的方程7/10在公元前一世纪的时代已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种。一元二次方程是借用几何图形而得到证明。不定方程的出

15、现在两千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。具有 x3px2qxA和 x3 px2 A 形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载。用“从开立方除之”而求出数字解答（可惜原解法失传了），不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金。十一世纪的贾宪已发明了和霍纳（ 17861837）方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献。在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了。四元术是天元术发展的必然产物。级数是古老的东西，

16、两千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数。十四世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作，欧洲在十八、九世纪的著作内才有记录。十一世纪时，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法。历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的。内插法的计算，中国可上溯到六世纪的刘焯，并且七世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算。十四世纪以前，属于代数方面许多问题的研究，中国是先进国家之一。就是十八、九世纪由李锐（ 17731817）、汪莱（ 17681813）到李善兰（ 1811 1882），他们在这一方面的研究上也都发表了很多的名著。（三）属于几何方面

17、的材料自明朝后期（十六世纪）到欧几里得“几何原本”中文译本一部分出版之前，中国的几何早已在独立发展着。应该重视古代的许多工艺品以及建8/10筑工程、水利工程上的成就，其中蕴藏了丰富的几何知识。中国的几何有悠久的历史，可靠的记录从公元前十五世纪谈起，甲骨文内已有规和矩两个字，规是用来画圆的，矩是用来画方的。汉代石刻中矩的形状类似现在的直角三角形，大约在公元前二世纪左右，中国已记载了有名的勾股定理（勾、股两个字的起源比较迟）。圆和方的研究在古代中国几何发展中占了重要位置。墨子对圆的定义是：“圜，一中同长也。”一个中心到圜周相等的叫圜，这解释要比欧几里得还早一百多年。在圆周率的计算上有刘歆（？23）

18、、张衡（ 78139）、刘徽（ 263）、王蕃（ 219 257）、祖冲之（ 429500）、赵友钦（公元十三世纪）等人，其中刘徽、祖冲之、赵友钦的方法和所得的结果举世闻名 。祖 冲 之 所 得 的 结 果 =355/133 要 比 欧 洲 早 一 千 多年。在刘徽的“九章算术”中曾多次显露出他对极限概念的天才。在平面几何中用直角三角形或正方形和在立体几何中用锥体或长方柱体进行移补，这构成中国古代几何的特点。中国数学家善子把代数上的成就运用到几何上，而又用几何图形来证明代数，数值代数和直观几何有机的配合起来，在实践中获得良好的效果正好说明十八、九世纪中国数学家对割圜连比例的研究和项名达（ 17891850）用割圜连比例求出椭圆周长。这都是继承古代方法加以发挥而得到的（当然吸收外来数学的精华也是必要的）。（四）属于三角方面的材料三角学的发生由干测量，首先是天文学的发展而