中考数学压轴题型研究——动点几何问题解题方法（精编版）

1、动点问题静态问题的划分面积公式的使用不同情况的考虑例 1：（北京市石景山区2010 年数学期中练习）在abc中， b=60,ba=24cm,bc=16cm, (1) 求abc的面积；(2) 现有动点 p从 a点出发，沿射线ab向点 b方向运动，动点q从 c点出发，沿射线cb也向点 b方向运动。如果点 p的速度是 4cm/秒， 点 q的速度是 2cm/秒，它们同时出发， 几秒钟后，pbq的面积是 abc的面积的一半？(3) 在第（ 2）问题前提下， p,q 两点之间的距离是多少？静态问题的划分线段长度的表示方程的构建（相似）例 4：（09 齐齐哈尔）直线364yx与坐标轴分别交于ab、两点，动点

2、pq、同时从o点出发，同时到达a点，运动停止点q沿线段oa运动，速度为每秒1 个单位长度，点p沿路线oba运动（ 1）直接写出ab、两点的坐标；（2）设点q的运动时间为t秒，opq的面积为s，求出s与t之间的函数关系式；（3）当485s时，求出点p的坐标， 并直接写出以点opq、 、为顶点的平行四边形的第四个顶点m的坐标静态问题的划分线段长度的表示方程的构建（相似）例 5：（2009 宁夏）已知： 等边三角形abc的边长为 4 厘米， 长为 1 厘米的线段mn在abc的边ab上沿ab方向以 1 厘米 /秒的速度向b点运动（运动开始时，点m与点a重合，点n到达点b时运动终止），过点mn、分别作a

3、b边的垂线，与abc的其它边交于pq、两点，线段mn运动的时间为t秒（1）线段mn在运动的过程中，t为何值时，四边形mnqp恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2） 线段mn在运动的过程中， 四边形mnqp的面积为s， 运动的时间为t 求四边形mnqp的面积s随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围解：（ 1）过点c作cdab，垂足为d则2ad，当mn运动到被cd垂直平分时，四边形mnqp是矩形，即32am时，四边形mnqp是矩形，32t秒时，四边形mnqp是矩形3tan6032pmamq=，332mnqps四边形a c b x a o q p b y c p q b a m n c

4、 p q b a m n （2）1当01t时，1()2mnqpspmqnmn四边形332t2当12t 时，1()2mnqpspmqnmn四边形3323当23t时，1()2mnqpspmqn mn四边形7332t点评：此题关键也是对p、q两点的不同位置进行分类。静态问题的划分线段长度的表示方程的构建（几何中等量关系）例 6：（2009 四川乐山） 如图 （15） ， 在梯形abcd中，906dcabaad， ，厘米，4dc厘米，bc的坡度3 4i ，动点p从a出发以 2 厘米 / 秒的速度沿ab方向向点b运动，动点q从点b出发以3 厘米 / 秒的速度沿bcd方向向点d运动，两个动点同时出发，当其

5、中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t秒（1）求边bc的长；（2）当t为何值时，pc与bq相互平分；（3）连结pq，设pbq的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？6.解：（ 1）作ceab于点e，如图（ 3）所示，则四边形aecd为矩形46aecdceda，又33 44ceieb ，812ebab，2 分在rtceb中，由勾股定理得：2210bcceeb（2）假设pc与bq相互平分由dcab，则pbcq是平行四边形（此时q在cd上） 即310122cqbptt，解得225t，即225t秒时，pc与bq相互平分（3）当q在bc上，即1

6、003t 时，作qfab于f，则ceqfqfbqcebc，即396105qfttqf119(122 )225pbqtspb qft=2981(3)55t 当3t秒时，pbqs有最大值为2815厘米 图（3）cdabqp ec p q b a m n 当q在cd上，即101433t 时，11(12 2 )622pbqspb cet=366t易知s随t的增大而减小故当103t秒时，pbqs有最大值为210366163厘米 综上，当3t时，pbqs有最大值为2815厘米 例 7：（包头）如图，已知abc中，10abac厘米，8bc厘米，点d为ab的中点（1）如果点 p 在线段 bc上以 3 厘米 /

7、秒的速度由b 点向 c 点运动，同时，点q 在线段 ca上由 c点向 a 点运动若点 q 的运动速度与点p的运动速度相等，经过1 秒后，bpd与cqp是否全等，请说明理由；若点 q 的运动速度与点p的运动速度不相等，当点 q 的运动速度为多少时，能够使bpd与cqp全等？（2）若点 q 以中的运动速度从点c出发， 点 p 以原来的运动速度从点b 同时出发， 都逆时针沿abc三边运动，求经过多长时间点p与点 q 第一次在abc的哪条边上相遇？解：（ 1）1t秒，3 13bpcq厘米，10ab厘米，点d为ab的中点，5bd厘米又8pcbcbpbc，厘米，835pc厘米，pcbd又abac，bc，b

8、pdcqppqvv，bpcq，又bpdcqp，bc，则45bppccqbd，点p，点q运动的时间433bpt秒，515443qcqvt厘米 /秒（2）设经过x秒后点p与点q第一次相遇，由题意，得1532 104xx，解得803x秒点p共运动了803803厘米8022824，点p、点q在ab边上相遇，经过803秒点p与点q第一次在边ab上相遇静态问题的划分线段长度的表示方程的构建（相似）a q c d b p 例 8： （09 济南）如图，在梯形abcd中，354 245adbcaddcabb，动点m从b点出发沿线段bc以每秒 2 个单位长度的速度向终点c运动；动点n同时从c点出发沿线段cd以每

9、秒 1 个单位长度的速度向终点d运动设运动的时间为t秒（1）求bc的长（ 2）当mnab时，求t的值（ 3）试探究：t为何值时，mnc为等腰三角形解：（ 1）如图，过a、d分别作akbc于k，dhbc于h，则四边形adhk是矩形3khad在rtabk中，2sin 454 242akabg2cos454242bkabgg在，rtcdh中，由勾股定理得，22543hc43310bcbkkhhc（2）如图，过d作dgab交bc于g点，则四边形adgb是平行四边形mnabmndg3bgad1037gc由题意知，当m、n运动到t秒时，102cntcmt，dgmnnmcdgc又ccmncgdccncmcd

10、cg即10257tt解得，5017t（3）分三种情况讨论：当ncmc时，如图，即102tt103t当mnnc时，如图，过n作nemc于e解法一：由等腰三角形三线合一性质得11102522ecmctt在rtcen中，5cosectcnct又在rtdhc中，3cos5chccd535tt解得258t90ccdhcnec，necdhcncecdchc即553tt258t 当mnmc时，如图，过m作mfcn于f点.1122fcnct解法一：（方法同中解法一）（图）a d c b k h （图）a d c b g m n a d c b m n （图）（图）a d c b m n h e （图）a d

11、c b h n m f a b o c d p q 132cos1025tfccmct解得6017t解法二：90ccmfcdhc，mfcdhcfcmchcdc即1102235tt6017t综上所述，当103t、258t或6017t时，mnc为等腰三角形例 9：（呼和浩特）如图，在直角梯形abcd中， adbc ， abc 90o，ab12cm，ad8cm，bc22cm，ab为 o的直径，动点 p从点 a 开始沿 ad边向点 d以 1cm/s 的速度运动，动点 q从点 c开始沿 cb边向点 b以 2cm/s的速度运动， p、q 分别从点 a、c同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止

12、运动设运动时间为t( s) ( 1) 当 t 为何值时，四边形pqcd为平行四边形？( 2) 当 t 为何值时， pq与 o 相切？解： ( 1) 直角梯形abcd，adbcpdqc当pdqc时，四边形pqcd为平行四边形由题意可知：2aptcqt，82tt，38t，83t当83ts时，四边形pqcd为平行四边形（2）解：设pq与o相切于点h，过点p作pebc，垂足为eq直角梯形abcdadbc，peab由题意可知：2apbetcqt，222bqbccqtqab为o的直径，90abcdab adbc、为o的切线apphhqbq，在rtpeq中，222peeqpq22212(223 )(22)t

13、t即：28881440tt211180tt，(2)(9)0tt1229tt，7 分因为p在ad边运动的时间为8811ad秒，而98t9t（舍去）o a p d b q c o a p d b q c h e 当2t秒时，pq与o相切例 10. 如图，在矩形abcd中，bc=20cm，p，q，m，n 分别从 a，b，c，d 出发沿 ad，bc，cb，da 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若bq=xcm(0 x)，则 ap=2xcm，cm=3xcm，dn=x2cm（1）当 x 为何值时，以pq，mn 为两边 ,以矩形的边（ ad 或

14、bc）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以p，q，m，n 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 p，q，m，n 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由解：（1）当点 p 与点 n 重合或点 q 与点 m 重合时，以 pq，mn 为两边，以矩形的边（ad或 bc）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点 p与点 n 重合时，212220211211xxxx由，得，（舍去） 因为 bq+cm=34(211)20 xx，此时点 q与点 m 不重合所以211x符合题意当点 q 与点 m 重合时，320,5xxx由得此时22520dnx，不符合题意故点q 与点 m 不能重合所以所求 x 的值为211（2）由（ 1）知，点 q只能在点m 的左侧，当点 p在点 n 的左侧时，由220(3 )20(2)xxxx，解得120()2xx舍去 ，当 x=2 时四边形 pqmn 是平行四边形当点 p在点 n 的右侧时，由220(3 )(2)20 xxxx，解得1210()4xx舍去 ，当 x=4 时四边形 nqmp 是平行四