2015年安徽省高考数学试卷(理科)解析

1、2015年安徽省高考数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1（5分）（2015安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2（5分）（2015安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）ay=cosxby=sinxcy=lnxdy=x2+13（5分）（2015安徽）设p：1x2，q：2x1，则p是q成立的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件4（5分）（2015安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）ax2=1by2=1

2、cx2=1dy2=15（5分）（2015安徽）已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）a若，垂直于同一平面，则与平行b若m，n平行于同一平面，则m与n平行c若，不平行，则在内不存在与平行的直线d若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面6（5分）（2015安徽）若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11，2x21，2x101的标准差为（）a8b15c16d327（5分）（2015安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）a1+b2+c1+2d28（5分）（2015安徽）abc是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正

3、确的是（）a|=1bc=1d（4+）9（5分）（2015安徽）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）aa0，b0，c0ba0，b0，c0ca0，b0，c0da0，b0，c010（5分）（2015安徽）已知函数f（x）=asin（x+）（a，均为正的常数）的最小正周期为，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）af（2）f（2）f（0）bf（0）f（2）f（2）cf（2）f（0）f（2）df（2）f（0）f（2）二.填空题（每小题5分，共25分）11（5分）（2015安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）12（5分）（2015安徽）在极坐标系中

4、，圆=8sin上的点到直线=（r）距离的最大值是13（5分）（2015安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为14（5分）（2015安徽）已知数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列an的前n项和等于15（5分）（2015安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）a=3，b=3a=3，b=2a=3，b2a=0，b=2a=1，b=2三.解答题（共6小题，75分）16（12分）（2015安徽）在abc中，a=，ab=6，ac=3，点d在bc边上，ad=bd，求ad的长17（12分）（201

5、5安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束（）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（）已知每检测一件产品需要费用100元，设x表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求x的分布列和均值（数学期望）18（12分）（2015安徽）设nn*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（）求数列xn的通项公式；（）记tn=x12x32x2n12，证明：tn19（13分）（2015安徽）如图所示，在多面体a1b1d1dcba中，四

6、边形aa1b1b，add1a1，abcd均为正方形，e为b1d1的中点，过a1，d，e的平面交cd1于f（）证明：efb1c；（）求二面角eadb1的余弦值20（13分）（2015安徽）设椭圆e的方程为+=1（ab0），点o为坐标原点，点a的坐标为（a，0），点b的坐标为（0，b），点m在线段ab上，满足|bm|=2|ma|，直线om的斜率为（）求e的离心率e；（）设点c的坐标为（0，b），n为线段ac的中点，点n关于直线ab的对称点的纵坐标为，求e的方程21（13分）（2015安徽）设函数f（x）=x2ax+b（）讨论函数f（sinx）在（，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（）

7、记fn（x）=x2a0x+b0，求函数|f（sinx）f0（sinx）|在，上的最大值d2（）在（）中，取an=bn=0，求s=b满足条件d1时的最大值2015年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1（5分）（2015安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义菁优网版权所有专题：计算题；数系的扩充和复数分析：先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论解答：解：=i（1+i）=1+i，对应复平面上的点为（1，1），在第二象限，故

8、选：b点评：本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础2（5分）（2015安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）ay=cosxby=sinxcy=lnxdy=x2+1考点：函数的零点；函数奇偶性的判断菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择解答：解：对于a，定义域为r，并且cos（x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于b，sin（x）=sinx，是奇函数，由无数个零点；对于c，定义域为（0，+），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于d，定义域为r，为偶函数，都是没有零点；故选a点评：本题考

9、查了函数的奇偶性和零点的判断求函数的定义域；如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的3（5分）（2015安徽）设p：1x2，q：2x1，则p是q成立的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题：简易逻辑分析：运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断解答：解：由1x2可得22x4，则由p推得q成立，若2x1可得x0，推不出1x2由充分必要条件的定义

10、可得p是q成立的充分不必要条件故选a点评：本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题4（5分）（2015安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）ax2=1by2=1cx2=1dy2=1考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案解答：解：由a可得焦点在x轴上，不符合条件；由b可得焦点在x轴上，不符合条件；由c可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由d可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件故选c点评：本题考查双曲线的方

11、程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题5（5分）（2015安徽）已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）a若，垂直于同一平面，则与平行b若m，n平行于同一平面，则m与n平行c若，不平行，则在内不存在与平行的直线d若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离分析：利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答解答：解：对于a，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，如果墙角的三个平面；故a错误；对于b，若m，n

12、平行于同一平面，则m与n平行相交或者异面；故b错误；对于c，若，不平行，则在内存在无数条与平行的直线；故c错误；对于d，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故d正确；故选d点评：本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理6（5分）（2015安徽）若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11，2x21，2x101的标准差为（）a8b15c16d32考点：极差、方差与标准差菁优网版权所有专题：概率与统计分析：根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可解答：解

13、：样本数据x1，x2，x10的标准差为8，=8，即dx=64，数据2x11，2x21，2x101的方差为d（2x1）=4dx=4×64，则对应的标准差为=16，故选：c点评：本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键7（5分）（2015安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）a1+b2+c1+2d2考点：由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直

14、角三角形的三棱锥，如图所示；该几何体的表面积为s表面积=spac+2spab+sabc=×2×1+2××+×2×1=2+故选：b点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目8（5分）（2015安徽）abc是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）a|=1bc=1d（4+）考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：由题意，知道，根据已知三角形为等边三角形解之解答：解：因为已知三角形abc的等边三角形，满足=2，=2+，又，所以，

15、所以=2，=1×2×cos120°=1，4=4×1×2×cos120°=4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选d点评：本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系9（5分）（2015安徽）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）aa0，b0，c0ba0，b0，c0ca0，b0，c0da0，b0，c0考点：函数的图象菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：分别根据函数的定义域，函数零点以及f（0）的取值进行判断即可解答：解：函数在p处无意义，即c0，则c0，f（0）=，b0

16、，由f（x）=0得ax+b=0，即x=，即函数的零点x=0，a0，综上a0，b0，c0，故选：c点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f（0）的符号是解决本题的关键10（5分）（2015安徽）已知函数f（x）=asin（x+）（a，均为正的常数）的最小正周期为，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）af（2）f（2）f（0）bf（0）f（2）f（2）cf（2）f（0）f（2）df（2）f（0）f（2）考点：三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：依题意可求=2，又当x=时，函数f（x）取得最小值，可解得，

17、从而可求解析式f（x）=asin（2x+），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小解答：解：依题意得，函数f（x）的周期为，0，=2（3分）又当x=时，函数f（x）取得最小值，2×+=2k+，kz，可解得：=2k+，kz，（5分）f（x）=asin（2x+2k+）=asin（2x+）（6分）f（2）=asin（4+）=asin（4+2）0f（2）=asin（4+）0f（0）=asin=asin0又4+2，而f（x）=asin（2x+）在区间（，）是单调递减的，f（2）f（2）f（0）故选：a点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值

18、转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题二.填空题（每小题5分，共25分）11（5分）（2015安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是35（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用菁优网版权所有专题：二项式定理分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为5求得r，再代入系数求出结果解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，tr+1=；要求展开式中含x5的项的系数，214r=5，r=4，可得：=35故答案为：35点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具12

19、（5分）（2015安徽）在极坐标系中，圆=8sin上的点到直线=（r）距离的最大值是6考点：简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题：坐标系和参数方程分析：圆=8sin化为2=8sin，把代入可得直角坐标方程，直线=（r）化为y=x利用点到直线的距离公式可得圆心c（0，4）到直线的距离d，可得圆=8sin上的点到直线=（r）距离的最大值=d+r解答：解：圆=8sin化为2=8sin，x2+y2=8y，化为x2+（y4）2=16直线=（r）化为y=x圆心c（0，4）到直线的距离d=2，圆=8sin上的点到直线=（r）距离的最大值=d+r=2+4=6故答案为：6点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程

20、、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13（5分）（2015安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为4考点：程序框图菁优网版权所有专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a1.414|=0.002670.005，退出循环，输出n的值为4解答：解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a1.414|0.005，a=，n=2满足条件|a1.414|0.005，a=，n=3满足条件|a1.414|0.005，a=，n=4不满足条件|a1.414|=0.002670.005，退出循环，输出n的值

21、为4故答案为：4点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n的值是解题的关键，属于基础题14（5分）（2015安徽）已知数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列an的前n项和等于2n1考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列an的前n项和解答：解：数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，8=1×q3，q=2，数列an的前n项和为：=2n1故答案为：2n1点评：本题考查等比数列的性质，

22、数列an的前n项和求法，基本知识的考查15（5分）（2015安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）a=3，b=3a=3，b=2a=3，b2a=0，b=2a=1，b=2考点：函数的零点与方程根的关系菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：对五个条件分别分析解答；利用数形结合以及导数，判断单调区间以及极值解答：解：设f（x）=x3+ax+b，f'（x）=3x2+a，a=3，b=3时，令f'（x）=3x23=0，解得x=±1，x=1时f（1）=5，f（1）=1；并且x1或者x1时f'（x

23、）0，所以f（x）在（，1）和（1，+）都是增函数，所以函数图象与x轴只有一个交点，故x3+ax+b=0仅有一个实根；如图a=3，b=2时，令f'（x）=3x23=0，解得x=±1，x=1时f（1）=0，f（1）=4；如图a=3，b2时，函数f（x）=x33x+b，f（1）=2+b0，函数图象形状如图，所以方程x3+ax+b=0只有一个根；a=0，b=2时，函数f（x）=x3+2，f'（x）=3x20恒成立，故原函数在r上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；a=1，b=2时，函数f（x）=x3+x+2，f'（x）=3x2+10恒成立，故原函数在r

24、上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是故答案为：点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之三.解答题（共6小题，75分）16（12分）（2015安徽）在abc中，a=，ab=6，ac=3，点d在bc边上，ad=bd，求ad的长考点：正弦定理；三角形中的几何计算菁优网版权所有专题：解三角形分析：由已知及余弦定理可解得bc的值，由正弦定理可求得sinb，从而可求cosb，过点d作ab的垂线de，垂足为e，由ad=bd得：cosdae=cosb，即可求得ad的长解答：解：a=，ab=6，ac=3，在abc中，由余弦定理

25、可得：bc2=ab2+ac22abaccosbac=90bc=34分在abc中，由正弦定理可得：，sinb=，cosb=8分过点d作ab的垂线de，垂足为e，由ad=bd得：cosdae=cosb，rtade中，ad=12分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查17（12分）（2015安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束（）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（）已知每检测一件产品需要费用100元，设x表示直到检测出2件次品或者检测出3

26、件正品时所需要的检测费用（单位：元），求x的分布列和均值（数学期望）考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有专题：概率与统计分析：（）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件a，利用古典概型的概率求解即可（）x的可能取值为：200，300，400求出概率，得到分布列，然后求解期望即可解答：解：（）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件a，则p（a）=（）x的可能取值为：200，300，400p（x=200）=p（x=300）=p（x=400）=1p（x=200）p（x=300）=x的分布列为： x 200 300 400 pex=2

27、00×+300×+400×=350点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力18（12分）（2015安徽）设nn*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（）求数列xn的通项公式；（）记tn=x12x32x2n12，证明：tn考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和菁优网版权所有专题：导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标；（2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立解答：解：（1）y'=（x2n+2+1）'=（2n+2）

28、x2n+1，曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2，从而切线方程为y2=（2n+2）（x1）令y=0，解得切线与x轴的交点的横坐标为，（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：tn=x12x32x2n12=，当n=1时，当n2时，因为=所以tn综上所述，可得对任意的nn+，均有点评：本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型19（13分）（2015安徽）如图所示，在多面体a1b1d1dcba中，四边形aa1b1b，add1a1，abcd均为正方形，e为b1d1的中点，过a1，d，e的平面交cd1于f（）证明：efb1c；（）求二面角eadb1的余弦值考点：二面角

29、的平面角及求法；直线与平面平行的性质菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）通过四边形a1b1cd为平行四边形，可得b1ca1d，利用线面平行的判定定理即得结论；（）以a为坐标原点，以ab、ad、aa1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系axyz，设边长为2，则所求值即为平面a1b1cd的一个法向量与平面a1efd的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可解答：（）证明：b1c=a1d且a1b1=cd，四边形a1b1cd为平行四边形，b1ca1d，又b1c平面a1efd，b1c平面a1efd，又平面a1efd平面ef，efb1c；（）解：以a为坐标原点，以ab、ad、

30、aa1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系axyz如图，设边长为2，a1d平面a1b1cd，=（0，1，1）为平面a1b1cd的一个法向量，设平面a1efd的一个法向量为=（x，y，z），又=（0，2，2），=（1，1，0），取y=1，得=（1，1，1），cos（，）=，二面角eadb1的余弦值为点评：本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题20（13分）（2015安徽）设椭圆e的方程为+=1（ab0），点o为坐标原点，点a的坐标为（a，0），点b的坐标为（0，b），点m在线段ab上，满足|bm|=2|ma|，直线om的斜率为（）求e的离心率e

31、；（）设点c的坐标为（0，b），n为线段ac的中点，点n关于直线ab的对称点的纵坐标为，求e的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（i）由于点m在线段ab上，满足|bm|=2|ma|，即，可得利用，可得（ii）由（i）可得直线ab的方程为：=1，利用中点坐标公式可得n设点n关于直线ab的对称点为s，线段ns的中点t，又ab垂直平分线段ns，可得b，解得即可解答：解：（i）点m在线段ab上，满足|bm|=2|ma|，a（a，0），b（0，b），=，a=b=（ii）由（i）可得直线ab的方程为：=1，n设点n关于直线ab的对称点为s，线段ns的中点t，又ab垂直平分线段ns，解得b=3，a=3椭圆e的方程为：点评：