2008数学物理方法A卷答案及评分标准

1、南昌大学 20072008学年第二学期期末考试试卷 参考答案及评分标准 试卷编号： 6028 (a)卷课程编号： h55020190 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级 物理系06各专业 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分454015 100得分考生注意事项：1、本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。3、请仔细阅读题前的说明。一、填空题(每小题 3 分，共 45 分) 得分评阅人 1.复数_1 , , 。2. 。3. 复数。4.

2、若复变函数可导，则必须满足柯西-黎曼条件，其数学表达式为：、。5.若复变函数在区域b上解析，则具有性质： 可导 ，_实部和虚部对应的曲线族正交_，_实部和虚部为b上的调和函数_。6.函数有_1_个极点，为_1_阶极点，在该极点处的留数为_2_。7.设为常数，则 0 。8. 设为整数,则。9. 函数 的傅里叶变换为。10. 的拉普拉斯变换即。11. 数学物理方程定解问题的适定性是指_存在性_，_唯一性_，_稳定性_。12. 一根两端(左端为坐标原点而右端）固定的弦，用手在离弦左端长为处把弦朝横向拨开距离，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为 。13. 偏微分方程的类型为 a (备选答案：a.双

3、曲型b.抛物型 c. 椭圆型 d. 混合型)；为了得到标准形，可以采用的自变量函数变换为 。14. 勒让德方程的自然边界条件是在x=1和x=-1处有限，本征值是 零或正整数 。15. 判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打，错误的打×。（1）若函数在点可导，则函数在点解析。 （×）（2）是二阶线性齐次偏微分方程。 （）（3）设为复数，则 （×）二、求解题(每小题 10 分，共 40 分)得分评阅人 说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1. 用留数定理计算复积分。第 7 页 共 7页解：被积函数有三个极点：单极点，两阶极点。 -(2分)留数分别为 -

4、(3分)和 -(3分)根据留数定理得 -(2分)2. 用留数定理计算实积分 。解：-(2分)-(3分)-(3分)-(2分)3. 解常微分方程初值问题 (可使用拉普拉斯变换或其它任何方法)。解：拉普拉斯变换得 -(3分)所以 -(4分)逆变换得 -(3分)4. 设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。 解：可分为三种情况讨论：1) ，解为，由边界条件只能得到平庸解，显然没有意义。 -(3分) 2) ，解为，代入边界条件得，于是为任意常数。 -(2分)3) ，解为,代入边界条件得a) 当 的取值使得 时，必有 ，这和上两种情况一样没有意

5、义。b) 当 的取值使得 时， 不必为零，这种是有意义的情况。此时由 得到本征值: 综合2）和3）两种情况得本征值此时，本征解为 -(5分)三、计算或证明题 (共15 分)说明：光信息班的学生只需完成题目标号后带有（w）标记的题目，物理和应用物理班的学生只需完成题目标号后带有（h）标记的题目。未按以上要求完成的题目，不计入成绩！1. （w）求解偏微分方程满足初始条件的定解问题。提示：寻找泛定方程的一个特解再作变换 使得的泛定方程是齐次的。(本小题 8 分)解：满足泛定方程的特解（2分） 作变换（1分） 有 （1分）有达朗贝尔公式得代回变量得到 （1分）2. （w）已知矩形区域上的拉普拉斯方程有

6、一般解为 ，其中和是只与和有关的系数。直接利用该结果求解泊松方程的一般解。提示：寻找满足泛定方程和边界条件的一个特解再作变换 使得的泛定方程和两个边界条件都是齐次的。(本小题 7 分)解：设满足泊松方程和边界条件一个特解代入边界得d=1, c=a. 于是 （4分）作变换 有由已知得其一般解为 （2分）故泊松方程一般解为 （1分）3.（h）已知函数的傅里叶变换为，试证明的傅里叶变换为。(本小题 8 分)证明：由于函数的傅里叶变换， -(2分)则的傅里叶变换为 -(2分)根据傅里叶积分定理，有且为有界量，于是，上式中的第一项为0。 -(2分)所以 -(2分)4.（h）试讨论施图姆-刘维尔本征值问题首先证明本征值和本征函数分别为和，其中为方程的根。然后证明不同本征值对应的本征函数之间正交，即 (本小题 7 分)证明：当时，然后由边界条件可得然后由由于，只能有所以不存在的本征值。 -(2分)当时，然