2022年2022年北京市西城区中考复习《相似》《解直角三角形》建议讲义及练习

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载北京市西城区重点示范中学20xx 年 3 月九年级数学中考复习相像.解直角三角形复习建议及练习一. 20xx 年北京考试说明（一）图形的性质1. 相像三角形：a. 明白相像三角形的性质定理与判定定理；b. 能利用相像三角形的性质定理与判定定懂得决有关简洁问题；2. 锐角三角函数及解直角三角形a. 懂得锐角三角函数sina ,cosa tana 的概念；知道30°. 45°. 60°角的三角函数值,懂得（ 20xx年为“明白” ）解直角三角形的概念；b. 能利用锐角三角函数的有关学问解直角三角形,能利用锐角三角函数的有关学问解决一些

2、（ 20xx 年为“某些” ）简洁的实际问题；c运用直角三角形的有关内容解决有关问题；（二）图形的变化3. 图形的相像：a. 明白比例的基本性质.线段的比.成比例的线段；明白黄金分割；熟悉图形的相像；明白相像多边形和相像比；明白图形的位似,知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；b. 把握基本领实：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例（20xx 年新增）；会利用图形的相像解决一些简洁的实际问题；（三）图形与坐标4. 坐标与图形运动：a. 在平面直角坐标系中,知道已知顶点坐标的多边形经过位似（位似中心为原点）后的对应顶点坐标之间的关系；明白将多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点,有一条边在

3、横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形位似；b. 在平面直角坐标系中,能写出已知顶点的多边形经过位似（位似中心为原点）后的图形的顶点坐标；c. 运用坐标与图形运动的有关内容解决有关问题；二.复习建议1依据考试说明的要求进行全面复习,重点学问重点复习.学问系统复习全面.非重点的a级学问点适当支配.不漏过.不随便拔高难度；2 b 级的学问要落实到位；c 级学问要达到敏捷运用；3注意方程思想在相像.解直角三角形中的使用；4教会同学观看复杂的几何图形,善于分解出基本图形,娴熟的应用几何中定义.定理.公式来解题；5. 逆向思维为寻求几何证明思路的有效途径之一；精品学习资料精选学习资料

4、- - - 欢迎下载6. 去模式化,重学问,重思想；7. 重视同学思路的收集,关注同学的学习过程,赐予有效的学习方法指导；8. 课时支配：相像约 2 课时解直角三角形约 2 课时三.详细内容相像三角形的性质与判定落实一 ： 能利用相像三角形的性质定理与判定定懂得决有关简洁问题落实二 ： 把握基本领实：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例落实三 ： 会利用图形的相像解决一些简洁的实际问题落实四 ： 能利用位似变换将一个图形放大或缩小,并能写出以位似中心为原点的位似变化前后点的坐标变化例1. 如图,在平行四边形abcd 中,点 e 在 ad 上,连接 ce 并精品学习资料精选学习资料 -

5、 - - 欢迎下载延长与ba 的延长线交于点f , 如 ae .2 ed ,就fa的值为fb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ad例2. 如图,在正方形abcd 中,点 e 为 cd 上一点（ de >ce）,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载连接 ae,并过点e 作 ae 的垂线交bc 于点 f 、如 ab=9、 bf=7、求 de 长 .例 3. 如图,某校数学爱好小组利用自制的直角三角形硬纸板 def 来测量操场旗杆ab 的高度,他们通过调整测量位置, 使斜边 df 与地面保持平行,并使边 de与旗杆顶点a 在同始终线上, 已知 de =0.5 米,ef=0

6、.25米,目测点d 到地面的距离dg=1.5 米,到旗杆的水平距离 dc =20 米,就旗杆的高度为米例 4. 如图, 点 a 的坐标为 （ 3,2）,点 b 的坐标为 （ 3,0）作eb fc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如下操作：以点 a 为旋转中心,将abo 顺时针方向旋转90°,得到 ab1o1 ；以点 o 为位似中心,将abo 放大,得到 a2b2o,使相像比为1 2,且点 a2 在第三象限（ 1）在图中画出ab1o1 和 a2b2o；（ 2）请直接写出点a2 的坐标： 例 5. （ zfx / p70 例 4）已知：如图,在正方形abcd 中,ad=12、

7、dec点 e 为边 cd 上的动点（点e 不与端点c.d 重合）, ae 的垂直平分线fp 分别交 ad .ae . bc 于点 f.h .g,交 abfh的延长线于点p.gab（ 1）设 de= m0 m12,试用含m 的代数式表示fhphg的值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）在（ 1）的条件下,当fhhg1 时,求 bp 的长 .2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 6. 含 30°角的直角三角板abc 中, a=30°. 将其绕直角 顶点 c 顺时针旋转角（ 0o90o ）,得到 rt a 'b 'c ,精品学习资

8、料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 'c 边与 ab 所在直线交于点d,过点 d 作 de cb ' 边于点 e,连接 be.求证： cbe= 30°.a' b ' 交精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练习：1. 如图,在平行四边形 abcd 中, e 为 cd 上一点,连接 ae .bd ,且 ae .bd 交于点 f, sdef： sabf=4 ： 25,就 de： ec=2. 如图,点a ,b , c, d 为 o 上的四个点, ac 平分 bad , ac 交bd 于点 e, ce=4 , cd=6 ,就 ae 的长为3. 某校

9、要举办国庆联欢会,主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体如图,如舞台ab 的长为 20m, c 为 ab 的一个黄金分割点（ ac<bc）,就 ac 的长为 . （结果精确到0.1m）4. 如图,在平面直角坐标系中,四边形oabc 为边长为2 的正方形,顶点a .c 分别在 x,y 轴的正半轴上点q 在对角线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ob 上,且 qo=oc ,连接 cq 并延长 cq 交边 ab 于点 p就点 p 的坐标为5. （ zfx / p69 例 2）已知：如图,四边形 abcd 和四边形 aced 都为平行四边形,点 r 为 de 的中点, br 分别交

10、ac , cd 与点 p, q.（ 1）请写出图中各对相像三角形 （相像比为 1 的除外）；e（ 2）求 bp:pq:qr 的值 .c6.（ zfx / p69 例 3）已知：如图,等腰梯形 abcd 中, adade bc ,ad=3cm、bc=7cm 、 b=6 0° 、p 为下底 bc 上一点（不与 b. c 重合） . 连接 ap,过 p 点作 pe 交 dc 于 e,使得c ape= bb(1) 你认为图中哪两个三角形相像,为什么？p(2) 当点 p 在底边 bc 上自点 b 向 c 移动过程中,为否存在一点 p,使得 de:ec=5:3 ,假如存在,求bp 的长；假如不存

11、在,请说明理由.7. 在矩形 abcd中, dc=2,cf bd 分别交 bd .ad 于点 e.f,连接 bf（ 1）求证： dec fdc；（ 2）当 f 为 ad 的中点时,求sinfbd 的值及 bc 的长度8. 如图,在 rt abc中, c=90°,翻折c,使点 c 落在斜边ab 上某一点d 处,折痕为ef（点 e.f 分别在边ac .bc 上）（ 1）如 cef 与 abc 相像当 ac=bc=2 时, ad 的长为；当 ac=3 , bc=4 时, ad 的长为；（ 2）当点 d 为 ab 的中点时, cef 与abc 相像吗？ 请说明理由9.如图,在平面直角坐标系x

12、oy 中, abc 三个顶点坐标分别为a（ 2, 4）,b（ 2, 1）, c（ 5,2）（ 1）请画出 abc 关于 x 轴对称的 a1b1c1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）将 a1b1c1 的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2,得到对应的点a2, b2,c2,请画出 a2b2c2（ 3）求 a1b1c1 与 a2b2c2 的面积比,即：=（不写解答过程,直接写出结果） 相像的综合应用m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 在平面直角坐标系xoy 中,反比例函数（ 1） 求反比例函数的表达式；y的图像过点xa 1、6精品学习资料精选学习资料 - - -

13、欢迎下载（ 2）过点 a 的直线与反比例函数ym图像的另一个交点为b ,与 x 轴交于点p ,如x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ap2pb ,求点 p 的坐标2. 在矩形 abcd 中,边 ad =8,将矩形 abcd 折叠, 使得点 b 落在 cd 边上的点 p 处（如图 1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dpcdpc o精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abab图 1图 2（ 1）如图 2,设折痕与边bc 交于点 o,连接 、op.oa已知 ocp 与 pda 的面积比为1：4, 求边 ab 的长；（ 2）动点 m 在线段 ap 上（不与点p.a

14、 重合）,动点 n 在线段 ab 的延长线上,且bn=pm ,连接 mn . pb,交于点f,过点 m 作 me bp 于点 e在图 1 中画出图形；在 ocp 与 pda 的面积比为1： 4 不变的情形下,试问动点m .n 在移动的过程中,线段ef 的长度为否发生变化？请你说明理由精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 如图 1,点 o 在线段 ab 上, ao=2 ,ob=1 ,oc 为射线,且 boc=60°,动点 p 以每秒 2 个单位长度的速度从点o 动身,沿射线oc 做匀速运动,设运动时间为t 秒.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）当 t=

15、1 秒时,就op=, sabp =；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）当 abp 为直角三角形时,求t 的值；（ 3）如图 2,当 ap=ab时,过点a 作 aq bp,并使得 qop= b ,求证： aq·bp=3. 为了证明 aq·bp=3,小华同学尝试过o 点作 oeap 交 bp 于点 e；试利用小华同学给我们的启示补 全图形并证明aq·bp=3 图 1备用图图 24. 已知： 如图, ab 为 o的直径, g 为 ab 上一点, 过 g 作弦 ceab ,在上取一点d ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分别作直线cd

16、.ed,交直线ab 于点f . m,分别连结oe,co, cm.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 如 g为 oa的中点 . coa=° , fdm=°； 求证： fdomdmco .(2) 如图, 如 g 为半径 ob 上任意一点 不与点 o.b 重合 ,过 g 作弦 ceab ,点 d 在上,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载仍作直线cd.ed,分别交直线ab 于点f . m, 分别连结oe, co, cm.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依题意补全图形；此时仍有fd· om=d·m co成立 . 请写出证

17、明fd· om=d·m co的思路 . （不写出证明过程 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5已知： abc , def 都为等边三角形,m 为 bc 与 ef 的中点,连接ad , be.（ 1）如图 1,当 ef 与 bc 在同一条直线上时,直接写出ad 与 be 的数量关系和位置关系；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） abc 固定不动,将图1 中的 def 绕点 m 顺时针旋转（ 0o 90o ）角,如图精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 所示,判定（1）中的结论为否仍旧成立,如成立,请加以证明；如不成立,说明理由；图

18、 1图 2备用图解直角三角形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载落实一：锐角三角函数的定义 例 1：（ 1） . 在 rt abc 中,c 90o , ab2bc ,那么 sin a 的值为 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）在 rt abc 中, c=90°, bc=1 ,那么 ab 的长为 .（ 3）在 abc 中, c=90°,cos a= 15 ,求 sina . tan a 的值 .17b2 d（ 4）如图, ab 为 o 的直径, c.d 为圆上的两点 .如 bc= 8, cos d,3 o就 ab 的长为 .ca精品学习资料精选

19、学习资料 - - - 欢迎下载813a 316bc32455d 12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 5）已知：如图,在边长为1 的小正方形组成的网格中,点a. b. c.d. e 都在小正方形的顶点上,求tan adc 的值 .（ 6）（ zfx p74 例5 ）如图,在直角坐标系中,p 为第一象限内的点,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其坐标为（ 3, m）,且 op 与 x 轴正半轴的夹角的正切值为,就 sin的值为 .落实二：特别角的三角函数值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2：（ 1） . 假如 a 为锐角,且sina=1,那么2 a

20、= 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） 运算：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 30182 sin45o 1 18精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22.2sin 60°· tan45°+cos30°· tan 30°3.4cos45tan6081214.12sin 6032021 02精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 2 sin 452cos60tan 453 tan 60精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载落实三：解直角三角形,能依据问题的需要添加帮助线

21、构造直角三角形c例 3：如图,在abc 中, a=30°, b=45°, ac= 23 ,求 ab 的长 .ab例 4：如图,在四边形abcd 中, c=120 o, b=75 o,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cd=4 , bc= 232 , cosa=3. 求 ad 的长 .5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5：如图,在四边形abcd 中,对角线ac ,bd 交于点 e ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bac90 ,ced45 ,dce30 ,de2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载be22 求 cd 的

22、长和四边形abcd 的面积例 6：（ zfx / p75 例 5）在 abc 中, a=30°, bc=3 ,ab= 33 ,求 bca 的度数和 ac 的长；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练习：1. 如图,已知 o 的半径为1,锐角 abc 内接于 o,bd ac 于点 d , om ab 于点 m ,就 sin cbd 的值等于（）a om 的长b 2om 的长c cd 的长d 2cd 的长2. 如图,已知 l1 l 2 l 3,相邻两条平行直线间的距离相等, 如等腰直角 abc 的三个项点分别在这三条平行直线上,就 sin的值为（ ）a b cd3. 把两块含有

23、300 的相同的直角尺按如下列图摆放,使点c.b. ade 在同一条直线上,连结cd ,如 ac=6cm ,就 bcd的面积精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为 ；cbe精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4如图,在菱形abcd 中, deab 于点 e, cosa=,be=4 ,就 tan dbe 的值为5如图,矩形abcd 的边 ab 上有一点 p,且 ad=,bp=,以点 p 为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段dc,线段bc 于点 e, f,连接 ef,就 tan pef=6.如图,在rt abc 中, c=90 °,点 d 在 ac 边上如db=

24、6,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1ad=22cd , sin cbd =3,求 ad 的长和 tana 的值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7.（ zfx / p75 例 3）如图,在abc 中, c=90 o, a=30 o,fce 为 ab 上一点,且ae ： eb=4:1 , ef ac 于点 f,连接 fb.求 tan cfb 的值 .aeb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8.（ zfx / p75 例 4）（ 1）如图,在abc 中,acb=10°5求 ab 和 bc 的长？, a=30°, ac=8 ,c精品学习资料

25、精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）在 abc 中, abc=13°5求 ab 和 bc 的长？, a=30°, ac=8 ,ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）在 abc 中, ac=17 , ab=26 ,锐角 a 满意 sina=ac=3 ,其他条件不变呢？解直角三角形的实际应用12 ,求 bc 的长及 abc 的面积？如13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载落实一： 能运用三角函数解决与直角三角形有关的简洁实际问题落实二： 会解由两个特别直角三角形构成的组合图形的问题落实三： 能综合运用直角三角形的性质解决有关的问题例 1：如

26、下列图,某数学活动小组要测量山坡上的电线杆pq 的高度他们实行的方法为：先在地面上的点a 处测得杆顶端点p 的仰角为 45°,再向前走到b 点,测得杆顶端点p 和杆底端点q 的仰角分别为60°和 30°,这时只需要测出ab 的长度就能通过运算求 出电线杆pq 的高度 .你同意他们的测量方案吗？如同意,画出计算时的图形,简要写出运算的思路,不用求出详细值；如不同意,提出你的测量方案,并简要写出运算思路.例 2：如图,某小区在规划改造期间,欲拆除小区广场边的一根电线杆ab,已知距电线杆ab 水平距离 14 米处为观景台,即bd 14 米,该观景台的坡面 cd 的坡角

27、cdf 的正切值为2,观景台的高cf 为 2 米,在坡顶c 处测得电线杆顶端a 的仰角为30°, d.e 之间为宽2 米的人行道,假如以点b 为圆心,以 ab 长为半径的圆形区域为危急区域请你通过运算说明在拆除电线杆ab 时,人行道为否在危急区域内？2 1.41、3 1.73 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3：在一次数学实践活动课上,老师带领同学去测一条南北流向的河宽,如下列图,某同学在河东岸点a 处观测到河对岸水边有一点c ,测得 c 在 a 北偏西 31°的方向上,沿河岸向北前行40 米到达 b 处,测得 c 在 b 北偏西 45°的方向上

28、,请你依据以上数据,求这条河的宽度（参精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考数值：tan313 ） 5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4：如图, 在电线杆上的c 处引拉线ce.cf 固定电线杆,拉线 ce和地面成60°角,在离电线杆6 米的 b 处安置测角仪,在a 处测得电线杆上c 处的仰角为30°,已知测角仪高 ab 为 1.5 米,求拉线ce的长（结果保留根号） 练习：1.两个城镇a .b 与两条大路me ,mf 位置如下列图,其中me 为东西方向的大路现电信部门需在 c 处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇a .b 的距离必需相等,到