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文档简介
1、平面向量一、本章知识结构:二、高考要求1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律,理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。 5、掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式, 并且能熟练运用; 掌握平移公式。 7、掌握正、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学,继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
2、三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类:1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题. 2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强,难度大,以解析几何中的常规题为主 . 3.向量在空间中的应用 (在 b 类教材中).在空间坐标系下, 通过向量的坐标的表示,运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质. 在复习过程中, 抓住源于课本, 高于课本的指导方针 .本章考题大多数是课本的变式题,即源于课本 .因此,掌握双基、精通课本是本章关键 .分析近几年来的高考试题,有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解
3、析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容,作为学习解析几何的基本工具,在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形,它是考查的重点。总而言之,平面向量这一章的学习应立足基础,强化运算,重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分,所以应用本章知识解决的问题也分为两类:一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题;另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形,并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量问题时,一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,
4、正确地进行向量的各种运算,进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识,并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想,所以要通过向量法和坐标法的运用,进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时,一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段,通过学习提高解决实际问题的能力。平面向量【例1】在下列各命题中为真命题的是( ) 若a=(x1,y1)、b=(x2,y2),则ab=x1y1+x2y2若 a(x1,y1)、b(x2,y2),则ab=221221)()(yyxx若a=(x1,y1)、b=(
5、x2,y2),则ab=0 x1x2+y1y2=0 若a=(x1,y1)、b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0 a、b、c、d、解:根据向量数量积的坐标表示;若a=(x1,y1), b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2,对照命题(1)的结论可知,它是一个假命题、于是对照选择支的结论、 可以排除 (a)与(d),而在(b)与(c)中均含有 (3)、故不必对(3)进行判定,它一定是正确的、对命题(2)而言,它就是两点间距离公式,故它是真命题,这样就以排除了 (c),应选择 (b)、说明:对于命题 (3)而言,由于ab=0a=0或b=0或abx1x2+y1y2=0,故它是一个真命
6、题、而对于命题 (4)来讲,abx1x2+y1y2=0、但反过来,当x1x2+y1y2=0 时,可以是x1=y1=0,即a=0,而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定,因此 x1x2+y1y2=0ab),所以命题 (4)是个假命题、【例2】已知a=(3,1), b=(1, 3),那么a,b的夹角 =( ) a、30b、60c、120d、150解:ab=(3,1)(1,3)=23a=22) 1()3(=2 b=22)3(1=2 cos=baba?=2232=23【例3】已知a=(2,1), b=(1,3),若存在向量c使得:ac=4, bc=9,试求向量c的坐标、解:设c=(x,
7、y),则由ac=4 可得:2x+y=4;又由bc=9 可得: x+3y=9 于是有:9342yxyx)2()1(由(1)+2(2)得 7y=14,y=2,将它代入 (1)可得:x=3 c=(3,2)、说明:已知两向量a,b可以求出它们的数量积ab,但是反过来,若已知向量a及数量积ab,却不能确定b、【例4】求向量a=(1,2)在向量b=(2,2)方向上的投影、解:设向量a与b的夹角、有 cos=baba?=2222)2(221)2(221=1010a在b方向上的投影 =acos=5(1010)=22【例5】已知 abc 的顶点分别为 a(2,1),b(3,2),c(3,1),bc 边上的高 a
8、d,求ad及点 d 的坐标、解:设点 d 的坐标为 (x,y) ad 是边 bc 上的高,adbc,adbc又c、b、d 三点共线,bcbd又ad=(x2,y1), bc=(6,3) bd=(x3,y2) 0)3(3)2(60)1(3)2(6xyyx解方程组,得 x=59,y=57点 d 的坐标为 (59,57),ad的坐标为 (51,52) 【例6】设向量a、b满足:ab=1,且a+b=(1,0),求a,b、解:ab=1,可设a=(cos,sin), b=(cos,sin)、a+b=(cos+cos,sin+sin)=(1,0),)2(0sinsin) 1(1coscos由(1)得:cos=
9、1cos(3) 由(2)得:sin=sin (4) cos=1cos=21sin=23,sin=2323,2123,21ba或23,2123,21ba【例7】对于向量的集合a=v=(x,y)x2+y21中的任意两个向量1v、2v与两个非负实数、;求证:向量1v+2v的大小不超过 +、证明:设1v=(x1,y1),2v=(x2,y2) 根据已知条件有: x21+y211,x22+y221 又因为1v+2v=221221)()(yyxx=)(2)()(21212222221212yyxxyxyx其中 x1x2+y1y22121yx2222yx1 所以1v+2v222=+=+【例8】已知梯形 abc
10、d 中,abcd,cda=dab=90,cd=da=21ab、求证:acbc 证明:以 a 为原点, ab 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系、如图,设 ad=1 则 a(0,0)、b(2,0)、c(1,1)、d(0,1) bc=(1,1), ac=(1,1) bcac=11+11=0 bcac、【例9】已知 a(0,a),b(0,b),(0ab),在 x 轴的正半轴上求点c,使acb最大,并求出最大值、解,设 c(x,0)(x0) 则ca=(x,a), cb=(x,b) 则cacb=x2+ab、cosacb=cbcacbca?=22222bxaxabx令 t=x2+ab 故 cosacb=1
11、1)(1)(1222?tbatbaab当t1=ab21即 t=2ab 时,cosacb 最大值为baab2、当 c 的坐标为 (ab,0)时,acb 最大值为 arccosbaab2、【例10】 如图,四边形 abcd 是正方形, p是对角线 bd 上的一点, pecf是矩形,用向量法证明(1)pa=ef (2)paef 证明:建立如图所示坐标系,设正方形边长为1,op=,则 a(0,1),p(22,22),e(1,22),f(22,0) pa=(22,122), ef=(221,22) (1)pa2=(22)2+(122)2=22+1 ef2=(221)2+(22)2=22+1 pa2=ef
12、2,故 pa=ef (2) paef=(22)(221)+(122)(22)=0 paefpa ef、【例11】 已知).1 ,2(),0 , 1(ba 求|3|ba;当 k 为何实数时 ,kab与ba3平行, 平行时它们是同向还是反向?解:ba3= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , |3|ba= 2237=58. kab= k(1,0)(2,1)=(k2,1). 设 kab=(ba3),即(k2,1)= (7,3), 3172k3131k. 故 k= 31时, 它们反向平行 . 【例12】 已知, 1| ,2|baa与b的夹角为3,若向量bka2与ba垂直, 求 k. 解:
13、3cos|baba=2 121=1. bka2与ba垂直, (bka2)(ba= 0, 20222bkbakbaak = 5. 【例13】 如果 abc 的三边 a、b、c 满足 b2+ c 2 = 5a2,be、cf 分别为 ac 边与 ab 上的中线 , 求证: becf. 解:, 0)5(81)5(81)(21)(21)(2141)(41)(21),(2122222222222222222acbbcacabbacbcabcbcacabacbcbacacbbcacabbcbacfbecacbcfbcbabebecf, 即 becf . 【例14】 是否存在 4 个平面向量,两两不共线, 其
14、中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直 ? 解:如图所示,在正 abc 中,o 为其内心, p为圆周上一点,满足pa,pb,pc,po两两不共线,有 (pa+pb)(pc+po) =(po+oa+po+ob)(po+oc+po) =(2po+oa+ob)(2po+oc) =(2pooc)(2po+oc) =4po2oc2=4po2oc2=0 有(pa+pb)与(pc+po)垂直、同理证其他情况、从而pa,pb,pc,po满足题意、故存在这样4 个平面向量、平面向量的综合应用1利用向量的坐标运算,解决两直线的夹角,判定两直线平行、垂直问题【例1】已知向量321,opopop满足条件0321o
15、popop,1321opopop,求证:321ppp是正三角形解:令 o 为坐标原点,可设333222111sin,cos,sin,cos,sin,cosppp由321opopop,即332211sincossin,cossin,cos321321sinsinsincoscoscos两式平方和为11cos2121,21cos21,由此可知21的最小正角为0120,即1op与2op的夹角为0120,同理可得1op与3op的夹角为0120,2op与3op的夹角为0120,这说明321,ppp三点均匀分部在一个单位圆上,所以321ppp为等腰三角形 . 【例2】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成
16、的钝角的度数解:如图,分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系,设abaa2,0,0,2,则acad,0,0 ,,从而可求:aabdaaac2,2, aaaaaabdacbdac552,2cos=545422aa. 54arccos. 2利用向量的坐标运算,解决有关线段的长度问题【例3】已知abc,ad 为中线,求证2222221bcacabad证明:以 b 为坐标原点,以 bc 所在的直线为x轴建立如图 2 直角坐标系,设0,ccbaa,0 ,2cd,则222222402baaccbacad,222221bcacab. =442122222222cacbacbacba,从而2
17、ad222221bcacab,2222221bcacabad. 3利用向量的坐标运算,用已知向量表示未知向量【例4】已知点o是,内的一点,0090boc150aobabc,oacocboba设且, 3, 1, 2cba试用.,cba表示和解:以 o 为原点, oc,ob 所在的直线为x轴和y轴建立如图 3 所示的坐标系 . 由 oa=2,0120aox,所以,31-a,120sin2,120cos200,即a,易求3,0c1-0b,设.31-3-331-3,01-031-,oa21122121,即ocobcba313. 【例5】如图,的夹角为与,的夹角为与5oc,30oaoc120ob, 10
18、0oaoboa用oboa,表示.oc解:以 o 为坐标原点,以 oa 所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系,则0, 1a,即,所以由25235c,30sin5 ,5cos30c30coa00023,21b同理可求23,21-0125235,oc2121,即oboa.3353310232521-23521221,oboaoc3353310. 4利用向量的数量积解决两直线垂直问题【例6】如图,已知平行六面体 abcda1b1c1d1的底面abcd 是菱形,且 c1cb=c1cd=bcd. (1)求证: c1cbd. (2)当1cccd的值为多少时,能使a1c平面 c1bd?请给出证明 . (
19、1)证明:设cd=a,cb=b,1cc=c,依题意, |a|=|b|,cd、cb、1cc中两两所成夹角为,于是dbcdbd=ab,bdcc1=c(ab)=cacb=|c|a|cos|c|b|cos=0,c1cbd. (2)解:若使 a1c平面 c1bd,只须证 a1cbd,a1cdc1,由)()(1111cccdaacadcca=(a+b+c)(ac)=|a|2+abbc|c|2=|a|2|c|2+|b|a|cos|b|c|cos=0,得当|a|=|c|时,a1cdc1,同理可证当 |a|=|c|时,a1cbd,1cccd=1 时,a1c平面 c1bd. 【例7】如图,直三棱柱abca1b1c
20、1,底面 abc 中, ca=cb=1,bca=90,aa1=2,m、n 分别是 a1b1、a1a 的中点 . (1)求bn的长;(2)求 cos的值;(3)求证: a1bc1m. 解: (1)如图,以 c 为原点建立空间直角坐标系oxyz. 依题意得: b(0,1,0),n(1,0,1) |bn|=3)01()10()01(222. (2)解:依题意得: a1(1,0,2),c(0,0,0),b1(0,1,2). 1ba=1),2, 1, 1(cb=(0,1,2) 11cbba=10+(1)1+22=3 |1ba|=6)02() 10()01(2225)02()01()00(|2221cb.
21、1030563|,cos111111cbbccbbacbba(3)证明:依题意得: c1(0,0,2),m(2,21,21) )2, 1 , 1(),0,21,21(11bamc,00)2(21121)1(1111mcbamcbaa1bc1m.5利用向量的数量积解决有关距离的问题,距离问题包括点到点的距离,点的线的距离,点到面的距离,线到线的距离,线到面的距离,面到面的距离. 【例8】求平面内两点),(),(2211yxbyxa间的距离公式解:设点),(),(2211yxbyxa,),(1212yyxxab212212)()(|yyxxab,而|abab点a与点b之间的距离为:212212)(
22、)(|yyxxab6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题. 【例9】证明: sinsincoscos)cos(证明:在单位圆o上任取两点ba,,以ox为始边,以oboa,为 终 边 的 角 分 别 为,, 则a点 坐 标 为),sin,(cosb点坐标为)sin,(cos;则向量oa),sin,(cosob)sin,(cos,它们的夹角为,, 1|oboasinsincoscosoboa,由向量夹角公式得:|)cos(oboaoboasinsincoscos,从而得证 . 注:用同样的方法可证明)cos(sinsincoscos7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.【例
23、10】 证明柯西不等式2212122222121)()()(yyxxyxyx证明:令),(),(2211yxbyxa(1)当0a或0b时,02121yyxxba,结论显然成立;(2)当0a且0b时,令为ba,的夹角,则,0cos|2121bayyxxba. 又1|cos|baba(当且仅当ba /时等号成立)222221212121|yxyxyyxx2212122222121)()()(yyxxyxyx.(当且仅当2211yxyx时等号成立)【例11】 求xxxxy22cos3cossin2sin的最值解:原函数可变为xxy2cos2sin2,所以只须求xxy2cos2sin的最值即可,构造1
24、 , 1,2cos,2sinbxxa,那么22cos2sinbabaxx. 故22,22minmaxyy. 【例12】 三角形 abc 中,a(5,1)、b(1,7)、c(1,2),求:(1)bc 边上的中线am 的长; (2)cab 的平分线 ad 的长; (3)cosabc 的值. 解:(1)点 m 的坐标为 xm=)29,0(,29227;0211mym.2221)291()05(|22am5)21() 15(| ,10)71() 15(|)2(2222acabd 点分bc的比为 2. xd=31121227,3121121dy.2314)3111()315(|22ad(3)abc 是b
25、a与bc的夹角,而ba=(6,8) ,bc=(2,5). 1452629291052)5(2)8(6)5()8(26|cos2222bcbabcbaabc解斜三角形【例1】已知 abc 的三个内角 a、b、c 满足 a+c=2b.bcacos2cos1cos1,求cos2ca的值. 解法一:由题设条件知b=60,a+c=120. 设=2ca,则 ac=2,可得 a=60+,c=60,,43coscossin43cos41cossin23cos211sin23cos211)60cos(1)60cos(1cos1cos1222ca所以依题设条件有,cos243coscos2b.2243coscos
26、,21cos2b整理得 42cos2+2cos32=0(m) (2cos2)(22cos+3)=0,22cos+30,2cos2=0.从而得 cos222ca. 解法二:由题设条件知b=60,a+c=12022cos1cos1,2260cos2ca,把式化为 cosa+cosc=22cosacosc,利用和差化积及积化和差公式,式可化为)cos()cos(22cos2cos2cacacaca,将 cos2ca=cos60=21,cos(a+c)=21代入式得:)cos(2222coscaca将 cos(ac)=2cos2(2ca)1 代入 :42cos2(2ca)+2cos2ca32=0,(*
27、),.222cos:,022cos2, 032cos22,0)32cos22)(222cos2(cacacacaca从而得【例2】在海岛 a 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站p,上午 11时,测得一轮船在岛北30东,俯角为 60的 b 处,到11 时 10 分又测得该船在岛北60西、俯角为 30的 c处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米;(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的d 处,问此时船距岛 a 有多远?解:(1)在 rtpab中, apb=60 pa=1,ab=3(千米) 在 rtpac 中, apc=30, ac=33(千米) 在acb 中,cab=30+60
28、=90)/(30261330330)3()33(2222时千米abacbc(2)dac=9060=30sindca=sin(180acb)=sinacb=101033303bcabsincda=sin(acb30)=sinacbcos30cosacbsin3010103. 2010) 133()10103(121232在acd 中,据正弦定理得cdaacdcaadsinsin,13392010) 133(1010333sinsincdadcaacad答:此时船距岛 a 为1339千米. 【例3】已知 abc 的三内角a、b、c 满足a+c=2b,设x=cos2ca,f(x)=cosb(caco
29、s1cos1). (1)试求函数 f(x)的解析式及其定义域;(2)判断其单调性,并加以证明;(3)求这个函数的值域 . 解:(1)a+c=2b,b=60,a+c=120,3421221)cos()cos(2cos2cos2coscoscoscos21)(22xxxxcacacacacacaxf0|2ca|60, x=cos2ca(21,1又 4x230,x23,定义域为 (21,23)(23,1. (2)设 x1x2,f(x2)f(x1)=342342211222xxxx=) 34)(34() 34)(222212121xxxxxx,若 x1,x2(23,21),则 4x1230,4x223
30、0,4x1x2+30,x1x20,f(x2)f(x1)0 即 f(x2)f(x1),若 x1,x2(23,1 ,则 4x1230. 4x2230,4x1x2+30,x1x20,f(x2)f(x1)0. 即 f(x2)f(x1),f(x)在(21,23)和(23,1上都是减函数 . (3)由(2)知,f(x)f(21)=21或 f(x)f(1)=2. 故 f(x)的值域为 (,21)2,+). 【例4】在abc中,角cba、所对的边分别为cba、若cacb60cos2,求角a解: 由正弦定理,将已知等式中的边转化为角 可得cacb60cossin2sinsin. 因为cba,故有cacaccas
31、insin3cossinsinsin,caccasinsin3sinsincos. 又0sinc, 1sin3cosaa, 即216sin a,由a0,可解得32a【例5】在abc中,已知cbacy2coscoscos2. (1)若任意交换cba,的位置,y的值是否会发生变化 ?试证明你的结论;(2)求y的最大值 . 解: (1)cbacy2coscoscos2cbaba2coscoscos2cba2cos2cos2cos212cba222cos1cos21cos2212cba222coscoscos3cba222sinsinsin, 任意交换cba,的位置,y的值不会发生变化(2)解法 1:
32、将y看作是关于ccos的二次函数 . cbacy2coscoscos22cos41cos21cos22babac. 所以,当baccos21cos,且ba2cos取到最大值 1 时,也即3cba时,y取得最大值49解法 2:用调整的方法 , 也即对于每个固定的c的值,去调整ba,,求出y取得最大值时ba,所满足的条件对于cbacy2coscoscos2,如果固定c,则可将y看作是关于bacos的一次或常数函数为了讨论其最大值,显然应该考虑ccos的符号,并由此展开讨论若0cosc,则2ba,所以,0cosba,所以,cccycccccccccbaccbay,2,2cos22coscos2cos
33、cos2cos2cos2coscoscos2,22222所以,只需考虑0cosc的情形此时y是关于bacos的常数函数或单调递增的一次函数,因此,最大值必可在1cosba(即2 cba)时取得所以,cbacy2coscoscos2494921coscoscos222ccc,等号当且仅当3cba时取得【平面向量练习】一、选择题:1、下列各式中正确的是(c )(1)(a) b= (a b)=a (b), (2)|ab|=|a|b|, (3)(a b) c=a (b c), (4)(a+b) c= ac+bca (1) (3)b (2) (4)c (1) (4)d以上都不对 . 2、在 abc 中,
34、若(ca+cb)(cacb)=0,则abc 为(c )a正三角形b直角三角形c等腰三角形d无法确定3、若|a|=|b|=|ab|,则 b 与 a+b 的夹角为(a)a30b60 c150 d1204、已知 |a|=1,|b|=2,且(ab)和 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为(d )a60b30 c135 d455、若abbc+ 2ab= 0,则abc 为(a)a直角三角形b钝角三角形c锐角三角形d等腰直角三角形6、设|a|= 4,|b|= 3, 夹角为 60, 则|a+b|等于(c )a37 b13 c37 d137、己知 |a|=1,|b|=2, a 与 b 的夹角为 600,c =3a
35、+b, d =ab ,若 cd,则实数的值为( c )a74 b75c47d578、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则(d )(ab)c(ca)b=0 |a| |b| |ab| (bc)a(ca)b 不与 c 垂直(3a+2b)(3a2b)= 9|a|24|b|2其中真命题是()a bcd二、填空题:9、已知 e是单位向量 ,求满足 ae 且 ae=18 的向量 a=_. 18e10、设 a=(m+1)i3j, b=i+(m1)j, (a+b) (ab), 则 m=_.2 11、|a|=5, |b|=3,|ab|=7,则 a、b 的夹角为 _. 120 12、 a 与 d=
36、b2|)(abaa关系为 _.ab三、解答题:13、已知 | a|=4,|b|=5,|a+b|=21,求:ab ;(2ab) (a+3b) 解:|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2,222|2ababa b=102251621. (2ab) (a+3b)=2a2+5ab3b2=2|a|2+5ab3|b|2=242+5(10)352=93. 14、四边形 abcd 中,ab= a, bc= b,cd= c, da= d,且 ab=bc=cd=d a,判断四边形 abcd 是什么图形?分析:在四边形abcd 中,a+b+c+d=0,这是一个隐含条件,对 a+b
37、=(c+d) ,两边平方后,用ab=bc=dc 代入,从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状. 解:a+b+c+d=0,a+b=(c+d) ,(a+b)2=(c+d)2,即|a|2+2ab+|b|2=|c|2+2cd+|d|2,ab=cd,|a|2+|b|2=|c|2+|d|2同理:|a|2+|d|2=|b|2+|c|2,两式相减得: |b|2=|d|2,|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|. abcd 为平行四边形 . 又ab=bc,即 b (ac)=0,而 a=c,b (2a)=0 ab,四边形 abcd 为矩形 . 15、已知: |a|=5,|b|=4,且 a 与
38、b 的夹角为 60,问当且仅当 k 为何值时 ,向量 kab与 a+2b 垂直?解:)2()(babka04260cos45) 12(5, 02) 12(, 0)2()(2222kkbabkkababka即1514k. 【平面向量的综合应用练习】一、选择题1.设 a、b、c、d 四点坐标依次是 (1,0),(0,2),(4,3),(3,1),则四边形abcd 为( ) a.正方形b.矩形c.菱形d.平行四边形2.已知abc 中,ab=a,ac=b,ab0,sabc=415,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b 的夹角是( ) a.30b.150c.150d.30或 150二、填空题3.将二次
39、函数 y=x2的图象按向量 a 平移后得到的图象与一次函数y=2x5 的图象只有一个公共点 (3,1),则向量 a=_. 4.等腰abc 和等腰 rtabd 有公共的底边ab,它们所在的平面成60角,若ab=16 cm,ac=17 cm,则 cd=_. 三、解答题5.如图,在 abc 中,设ab=a,ac=b,ap=c,ad=a,(01),ae=b(01),试用向量 a,b 表示 c. 6.正三棱柱 abca1b1c1的底面边长为 a,侧棱长为2a. (1)建立适当的坐标系,并写出a、b、a1、c1的坐标;(2)求 ac1与侧面 abb1a1所成的角 . 7.已知两点 m(1,0),n(1,0
40、),且点 p 使npnmpnpmmnmp,成公差小于零的等差数列 . (1)点 p 的轨迹是什么曲线?(2)若点 p 坐标为 (x0,y0),q 为pm与pn的夹角,求 tan. 8.已知 e、f、g、h 分别是空间四边形abcd 的边 ab、bc、cd、da 的中点.(1)用向量法证明 e、f、g、h 四点共面;(2)用向量法证明: bd平面 efgh;(3)设 m 是 eg 和 fh 的交点,求证:对空间任一点o,有)(41odocoboaom.参考答案一、1.解析:ab=(1,2) ,dc=(1,2) ,ab=dc,abdc,又线段 ab 与线段 dc 无公共点, abdc 且|ab|=
41、|dc|,abcd 是平行四边形,又 |ab|=5,ac=(5,3) ,|ac|=34,|ab|ac,abcd 不是菱形,更不是正方形; 又bc=(4,1) ,14+21=60,ab不垂直于bc,abcd 也不是矩形,故选d. 答案:d 2.解析:2141535sin得 sin=21,则=30或=150. 又ab0,=150. 答案:c 二、3.(2,0) 4.13 cm 三、5.解:bp与be共线,bp=mbe=m(aeab)=m(ba), ap=ab+bp=a+m(ba)=(1m)a+mb又cp与cd共线,cp=ncd=n(adac)=n(ab), ap=ac+cp=b+n(ab)=na+
42、(1n)b 由,得 (1m)a+mb=na+(1n)b. a 与 b 不共线,010111mnmnnmam即解方程组得: m=11,11n代入式得 c=(1m)a+mb=11(1)a+(1)b. 6.解:(1)以点 a 为坐标原点 o,以 ab 所在直线为 oy 轴,以 aa1所在直线为 oz轴,以经过原点且与平面abb1a1垂直的直线为 ox轴,建立空间直角坐标系. 由已知,得 a(0,0,0) ,b(0,a,0),a1(0,0,2a),c1(,2,23aa2a). (2)取 a1b1的中点 m,于是有 m(0,2,2aa) ,连 am,mc1,有1mc=(23a,0,0), 且ab=(0,
43、a,0),1aa=(0,02a) 由于1mcab=0,1mc1aa=0,所以 mc1面 abb1a1,ac1与 am 所成的角就是 ac1与侧面 abb1a1所成的角 . 1ac=),2,2, 0(),2,2,23(aaamaaaaaaamac49240221aaaamaaaaac2324| ,324143|22221而2323349,cos21aaaamac所以amac 与1所成的角,即 ac1与侧面 abb1a1所成的角为 30. 7.解:(1)设 p(x,y),由 m(1,0) ,n(1,0)得,pm=mp=(1x,y),nppn=(1x,y),mn=nm=(2,0),mpmn=2(1+
44、x), pmpn=x2+y21,npnm=2(1x).于是,npnmpnpmmnmp,是公差小于零的等差数列,等价于030)1(2)1(2)1(2)1(2211222xyxxxxxyx即所以,点 p 的轨迹是以原点为圆心,3为半径的右半圆 . (2)点 p 的坐标为 (x0,y0) ,30, 1cos21,3041|cos42)24)(24()1()1(| , 21020200020202022020 xxpnpmpnpmxxxyxyxpnpmyxpnpm|3cossintan,411cos1sin020202yxx8.证明:(1)连结 bg,则ehefehbfebbdbcebbgebeg)(
45、21由共面向量定理的推论知:e、f、g、h 四点共面, (其中21bd=eh)(2)因为bdabadabadaeaheh21)(212121. 所以 ehbd,又 eh面 efgh,bd面 efgh所以 bd平面 efgh. (3)连 om,oa,ob,oc,od,oe,og由(2)知bdeh21,同理bdfg21,所以fgeh,ehfg,所以 eg、fh 交于一点 m 且被 m 平分,所以).(41)(2121)(21212121)(21odocoboaodocoboaogoeogoeom. 【解斜三角形练习】一、选择题1.给出四个命题: (1)若 sin2a=sin2b,则 abc 为等腰
46、三角形; (2)若 sina=cosb,则abc 为直角三角形; (3)若 sin2a+sin2b+sin2c2,则 abc 为钝角三角形; (4)若cos(ab)cos(bc)cos(ca)=1,则abc 为正三角形 .以上正确命题的个数是 ( ) a.1 b.2 c.3 d.4 二、填空题2.在 abc 中,已知a、b、c 成等差数列,则2tan2tan32tan2tancaca的值为_. 3.在abc 中, a 为最小角, c 为最大角,已知cos(2a+c)=34,sinb=54,则cos2(b+c)=_. 三、解答题4.已知圆内接四边形 abcd 的边长分别为 ab=2, bc=6, cd=da=4, 求四边形 abcd的面积. 5.如右图,在半径为r 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比,角和这一点到光源的距离r 的平方成反比,即i=k2sinr,其中 k是一个和灯光强度有关的常数, 那么怎样选择电灯悬挂的高度h,才能使桌子边缘处最亮?6.在abc 中,a、b、c 分别为角 a、b、c 的对边,27cos22sin42acb. (1)求角 a 的度数;(2)若 a=3,b+c=3,求 b 和 c 的值. 7.
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