小学奥数-几何五大模型(燕尾模型)

1、page 1 of 18燕尾定理：在三角形abc中，ad，be，cf相交于同一点o，那么，:aboacossbd dcofedcba上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为abo和aco的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题证明燕尾定理：如右图，d是bc上任意一点，请你说明：1423:ssssbddcs3s1s4s2edcba【解析】 三角形bed与三角形ced同高，分别以bd、dc为底，所以有14:ssbddc ；三

2、角形abe与三角形ebd同高，12:ssedea ；三角形ace与三角形ced同高，43:ssedea ，所以1423:ssss ；综上可得，1423:ssssbddc . 例题精讲燕尾定理page 2 of 18【例1】（2009 年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形abc的面积是1，e是ac的中点，点d在bc上，且:1: 2bd dc，ad与be交于点f则四边形dfec的面积等于fedcba33321fedcbaabcdef【解析】 方法一：连接cf，根据燕尾定理，12abfacfsbdsdc，1abfcbfsaesec, 设1bdfs份，则2dcfs份，3abfs份，3aefefc

3、ss份，如图所标所以551212dcefabcss方法二：连接de，由题目条件可得到1133abdabcss，11212233adeadcabcsss，所以11abdadesbffes，111111122323212defdebbecabcssss，而211323cdeabcss所以则四边形dfec的面积等于512【巩固】如图，已知bddc，2ecae，三角形abc的面积是30，求阴影部分面积. defcbadefcbadefcba【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边

4、形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，( 法一 ) 连接cf，因为bddc，2ecae，三角形abc的面积是30，所以1103abeabcss，1152abdabcss根据燕尾定理，12abfcbfsaesec，1abfacfsbdscd, 所以17.54abfabcss，157.57.5bfds，所以阴影部分面积是30107.512.5( 法二 ) 连接de，由题目条件可得到1103abeabcss，11210223bdebecabcsss，所以11abebdesaffds，page 3 of 181111112.5223232defdeaadcabcssss，而21103

5、2cdeabcss所以阴影部分的面积为12.5【巩固】 如图，三角形abc的面积是2200 cm ，e在ac上， 点d在bc上，且:3:5ae ec,:2:3bd dc，ad与be交于点f则四边形dfec的面积等于fedcbaabcdeffedcba【解析】 连接cf，根据燕尾定理，2639abfacfsbdsdc，36510abfcbfsaesec, 设6abfs份，则9acfs份 ,10bcfs份，5459358efcs份，310623cdfs份，所以24545200(6910)(6)8(6)93 (cm )88dcfes【巩固】如图，已知3bddc，2ecae，be与cd相交于点o, 则

6、abc被分成的4部分面积各占abc面积的几分之几？oedcba13.54.59211213oedcba【解析】 连接co,设1aeos份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830abcs份，所以四部分按从小到大各占abc面积的124.51393 13.59,303060 30103020【巩固】 (2007年香港圣公会数学竞赛) 如图所示，在abc中，12cpcb ，13cqca ， bq与ap相交于点x，若abc的面积为6，则abx的面积等于xqpabcxqpabc4411xqpcba【解析】 方法一：连接pq 由于12cpcb ，13cqca ，所以23abqabcss，1126bpq

7、bcqabcsss由蝴蝶定理知，21:4:136abqbpqabcabcaxxpssss，page 4 of 18所以4412262.455255abxabpabcabcssss方法二：连接cx设1cpxs份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以6(1144)42.4abxs【巩固】如图，三角形abc的面积是1，2bddc，2ceae，ad与be相交于点f，请写出这4部分的面积各是多少? abcdef48621abcdef【解析】 连接cf，设1aefs份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121aefs,62217abfs,821bdfs,242217fdces【巩固】如图，e在

8、ac上，d在bc上，且:2:3ae ec,:1: 2bd dc，ad与be交于点f 四边形dfec的面积等于222 cm ，则三角形abc的面积abcdefabcdef2.41.62abcdef12【解析】 连接cf,根据燕尾定理，12abfacfsbdsdc，23abfcbfsaesec, 设1bdfs份 ， 则2dcfs份 ，2abfs份 ，4afcs份 ，241 . 623aefs份,342.423efcs份,如图所标 ,所以22.44.4efdcs份,2349abcs份所以2224.4945 (cm )abcs【巩固】三角形abc中，c是直角，已知2ac，2cd，3cb，ambm，那么

9、三角形amn( 阴影部分 ) 的面积为多少？abcdmnabcdmn【解析】 连接bnabc的面积为3223根据燕尾定理，:2:1acnabncd bd；page 5 of 18同理:1:1cbncanbmam设amn面积为 1 份，则mnb的面积也是1份，所以anb的面积是112份，而acn的面积就是224份，cbn也是4 份，这样abc的面积为441 110份，所以amn的面积为3 10 10.3【巩固】如图，长方形abcd的面积是2平方厘米，2ecde，f是dg的中点阴影部分的面积是多少平方厘米 ? xyyxabcdefggfedcba33gfedcba213【解析】 设1defs份，则

10、根据燕尾定理其他面积如图所示551212bcdss阴影平方厘米 . 【例2】如图所示，在四边形abcd中，3abbe，3adaf，四边形aeof的面积是12，那么平行四边形bodc的面积为 _ofedcba684621ofedcba【解析】 连接,ao bd ,根据燕尾定理:1: 2abobdossaffd,:2:1aodbodssae be,设1beos,则其他图形面积，如图所标，所以22 1224bodcaeofss. 【例3】abcd是边长为12厘米的正方形，e、f分别是ab、bc边的中点，af与ce交于g，则四边形agcd的面积是 _平方厘米gfedcbagfedcba【解析】 连接a

11、c、gb， 设1a g cs份，根据燕尾定理得1agbs份，1bgcs份，则11126s正方形（）份，314adcgs份，所以22126496 (cm )adcgs【例4】如图，正方形abcd的面积是120平方厘米，e是ab的中点，f是bc的中点，四边形bghf的面积是 _平方厘米page 6 of 18hgfedcbahgfedcba【解析】 连接bh,根据沙漏模型得:1:2bg gd,设1bhcs份，根据燕尾定理2chds份，2bhds份，因此122)210s正方形（份，127236bfhgs，所以712010146bfhgs(平方厘米 ). 【例5】如图所示，在abc中，:3:1be e

12、c，d是ae的中点，那么:af fcfedcbafedcba【解析】 连接cd由于:1:1abdbedss，:3: 4bedbcdss，所以:3: 4abdbcdss，根据燕尾定理，:3: 4abdbcdaffcss【巩固】在abc中，:3: 2bd dc，:3:1ae ec，求:ob oe？abcdeoabcdeo【解析】 连接oc因为:3: 2bd dc，根据燕尾定理，:3: 2aobaocssbdbc，即32aobaocss；又:3:1ae ec，所以43aocaoess则3342223aobaocaoeaoessss，所以:2:1aobaoeob oess【巩固】在abc中，:2:1b

13、d dc，:1:3ae ec，求:oboe？abcdeopage 7 of 18【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接oc连接ocabcdeo因为:2:1bd dc，根据燕尾定理，:2:1aobaocssbdbc，即2aobaocss；又:1:3ae ec，所以4aocaoess则2248aobaocaoeaoessss，所以:8:1aobaoeob oess【例6】（2009 年清

14、华附中入学测试题）如图，四边形abcd是矩形，e、f分别是ab、bc上的点，且13aeab ，14cfbc ，af与ce相交于g，若矩形abcd的面积为120，则aeg与cgf的面积之和为abcdefghabcdefgabcdefg【解析】 ( 法 1) 如图，过f做ce的平行线交ab于h，则:1:3ehhbcf fb，所以122aeebeh ，:2ag gfae eh，即2aggf，所以122311033942aegabfabcdsss且22313342eghfecec ，故cgge，则1152cgfaegss所以两三角形面积之和为10515( 法 2) 如上右图，连接ac、bg根据燕尾定理

15、，:3:1abgacgssbf cf，:2:1bcgacgssbeae，而1602abcabcdss，所以3321abgs，160302abcs，2321bcgs，160203abcs，则1103aegabgss，154cfgbcgss，所以两个三角形的面积之和为15【例7】如右图，三角形abc中，:4:9bd dc，:4:3ce ea，求:af fbpage 8 of 18ofedcba【解析】 根据燕尾定理得:4:912: 27aobaocssbd cd:3: 412:16aobbocssae ce（都有aob的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:aocbocssaffb【点评

16、】 本题关键是把aob的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形abc中，:3: 4bd dc，:5:6ae ce，求:af fb. ofedcba【解析】 根据燕尾定理得:3: 415: 20aobaocssbd cd:5: 615:18aobbocssae ce（都有aob的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:aocbocssaffb【巩固】如图，:2:3bd dc,:5:3ae ce,则:afbfgfedcba【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15abga

17、cgss,:5:310 :6abgbcgss,所以:15: 65: 2:acgbcgssafbf【巩固】如右图，三角形abc中，:2:3bd dc，:5: 4ea ce，求:affb. ofedcba【解析】 根据燕尾定理得:2:310:15aobaocssbd cd:5: 410:8aobbocssae ce（都有aob的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:aocbocssaffbpage 9 of 18【点评】 本题关键是把aob的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例8】( 2008

18、年“学而思杯” 六年级数学试题) 如右图， 三角形abc中，:3: 2af fbbd dcce ae，且三角形abc的面积是1，则三角形abe的面积为 _，三角形age的面积为 _，三角形ghi的面积为 _ihgfedcbaihgfedcba【分析】 连接ah、bi、cg由于:3: 2ce ae，所以25aeac ，故2255abeabcss；根据燕尾定理，:2:3acgabgsscdbd，:3: 2bcgabgssceea，所以:4: 6: 9acgabgbcgsss，则419acgs，919bcgs；那么2248551995ageagcss；同样分析可得919achs，则:4 : 9a c

19、gac hegehss，:4:19acgacbeg ebss，所以:4:5:10eg gh hb，同样分析可得:10:5: 4ag giid，所以5521101055biebaess，55111919519ghibiess【巩固】如右图，三角形abc中，:3: 2af fbbd dcce ae，且三角形ghi的面积是1，求三角形abc的面积ihgfedcbaihgfedcba【解析】 连接 bg，agcs6份根据燕尾定理，:3: 26:4agcbgcssaffb，:3: 29: 6abgagcssbddc得4bgcs( 份) ，9abgs(份) ，则19abcs( 份) ，因此619agcab

20、css, 同理连接ai、ch 得619abhabcss,619bicabcss, 所以1966611919ghiabcss三角形 ghi 的面积是1，所以三角形abc 的面积是19page 10 of 18【巩固】 (2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级) 如图，abc中2bdda，2ceeb，2affc，那么abc的面积是阴影三角形面积的倍abcdefghiihgfedcba【分析】 如图，连接ai根据燕尾定理，:2:1bciacissbdad，:1: 2bciabisscfaf，所以，:1: 2: 4acibciabisss，那么，221247bciabcabcsss同理可知a

21、cg和abh的面积也都等于abc面积的27，所以阴影三角形的面积等于abc面积的211377，所以abc的面积是阴影三角形面积的7 倍【巩固】如图在abc中，12dceafbdbecfa, 求ghiabc的面积的面积的值ihgfedcbaihgfedcba【解析】 连接 bg,设bgcs1 份，根据燕尾定理:2:1agcbgcssaffb,:2:1abgagcssbddc,得2agcs( 份) ，4abgs( 份 ) ,则7abcs( 份) ，因此27agcabcss,同理连接ai、ch 得27abhabcss,27bicabcss, 所以7222177ghiabcss【点评】 如果任意一个三

22、角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线. 【巩固】如图在abc中，13dceafbdbecfa, 求ghiabc的面积的面积的值page 11 of 18ihgfedcbaihgfedcba【解析】 连接 bg,设bgcs1 份，根据燕尾定理:3:1agcbgcssaffb,:3:1abgagcssbddc,得3agcs( 份) ，9abgs( 份) ,则13abcs( 份 ) ，因此313agcabcss,同理连接 ai、ch 得13abhabcss,31

23、3bicabcss, 所以1333341313ghiabcss【巩固】如右图，三角形abc中，:4:3af fbbd dcce ae， 且三角形abc的面积是74， 求角形ghi的面积ihgfedcbaihgfedcba【解析】 连接 bg，agcs12 份根据燕尾定理，:4 :312:9agcbgcssaffb，:4:316:12abgagcssbddc得9bgcs( 份) ，16abgs( 份) ， 则9121637abcs( 份) ，因此1237agcabcss, 同理连接ai、ch 得1237abhabcss,1237bicabcss, 所以3712121213737ghiabcss三

24、角形 abc 的面积是74,所以三角形ghi 的面积是174237【例9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？773773fedcbax+3x773fedcba【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算. 再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形设三角形为abc，be和cd交于f，则bffe，再连结depage 12 of 18所以三角形def的面积为3.设三角形ade的面积为 x，则: 33:10 :10 xaddbx，所以15x，四边形的面积为18方法二：设

25、adfsx，根据燕尾定理:abfbfcafeefcssss,得到3aefsx，再根据向右下飞的燕子，有(37) : 7:3xx，解得7.5x四边形的面积为7.57.5318【巩固】右图的大三角形被分成5 个小三角形，其中4 个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是4321【解析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：2:13 :4s阴影，解得2s阴影. 方法二：回顾下燕尾定理，有2:41: 3s阴影（），解得2s阴影. 【例10】如图，三角形

26、abc被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形abc的面积是多少? 35304084ofedcba【解析】 设bofsx，由题意知:4:3bd dc根据燕尾定理,得:4:3aboacobdocdossss,所以33(84)6344acosxx，再根据:abobcoaoecoessss，列方程3(84) :(4030)(6335):354xx解得56x: 35(5684): (4030)aoes,所以70aoes所以三角形abc 的面积是844030355670315【例11】三角形 abc 的面积为15 平方厘米， d 为 ab 中点， e 为 ac 中点， f 为 bc 中点，求

27、阴影部分的面积fedcbanmfedcba【解析】 令 be 与 cd 的交点为m，cd 与 ef 的交点为n，连接 am，bn在abc中，根据燕尾定理，:1:1abmbcmssae ce,:1:1acmbcmssadbd, page 13 of 18所以13abmacmbcnabcssss由于1122aemamcabmssss，所以:2:1bmme在ebc中，根据燕尾定理，:1:1bencenssbf cf:1: 2cencbnssmemb设1cens( 份)， 则1bens( 份) ，2bcns( 份) ，4bces( 份) ，所以1124bcnbceabcsss,1148bnebceab

28、csss，因为:2:1bmme,f 为 bc 中点 , 所以221133812bmnbneabcabcssss,11112248bfnbncabcsss, 所以1155153.1251282424abcabcsss阴影( 平方厘米 )【例12】如右图，abc中，g是ac的中点，d、e、f是bc边上的四等分点，ad与bg交于m，af与bg交于n，已知abm的面积比四边形fcgn的面积大7.2平方厘米， 则abc的面积是多少平方厘米？nmgabcdefnmgabcdef【解析】 连接cm、cn根据燕尾定理，:1:1abmcbmssag gc，:1:3abmacmssbdcd， 所以15abmabc

29、ss；再根据燕尾定理，:1:1abncbnssag gc，所以:4:3abnfbncbnfbnssss，所以:4:3an nf，那么1422437angafcss，所以2515177428fcgnafcabcabcssss根据题意，有157.2528abcabcss，可得336abcs( 平方厘米 ) 【巩固】 (2007 年四中分班考试题)如图，abc中，点d是边ac的中点，点e、f是边bc的三等分点，若abc的面积为1，那么四边形cdmf的面积是 _fabcdemnfabcdemn【解析】 由于点d是边ac的中点，点e、f是边bc的三等分点，如果能求出bn、nm、md三段的比，那么所分成的

30、六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形cdmf的面积连接cm、cn根据燕尾定理，:2:1abmacmssbf cf，而2acmadmss，所以24abmacmadmsss，那么4bmdm，即45bmbd 那么421453215bmfbcdbmbfssbdbc，14721530cdmfs四边形page 14 of 18另解：得出24abmacmadmsss后，可得111155210admabdss，则11731030acfadmcdmfsss四边形【例13】如图，三角形abc的面积是1，bddeec，cffgga，三角形abc被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少? gfedcban

31、mqpgfedcba【解析】 设 bg 与 ad 交于点 p，bg 与 ae 交于点 q，bf 与 ad 交于点 m，bf 与 ae 交于点 n连接 cp，cq，cm，cn根据燕尾定理，:1: 2abpcbpssag gc，:1: 2abpacpssbdcd，设1abps( 份) ，则1225abcs( 份) ，所以15abps同理可得，27abqs,12abns,而13abgs，所以2137535apqs，1213721aqgs同理，335bpms121bdms,所以1239273570pqmns四边形neds四边形,1151321426nfces四边形,11153

32、21642gfnqs四边形【巩固】如图，abc的面积为1，点d、e是bc边的三等分点，点f、g是ac边的三等分点，那么四边形jkih的面积是多少？kjihabcdefgkjihabcdefg【解析】 连接ck、ci、cj根据燕尾定理，:1: 2ackabksscdbd，:1: 2abkcbkssag cg，所以:1: 2:4ackabkcbksss，那么111247acks，11321agkackss类似分析可得215agis又:2:1abjcbjssaf cf，:2:1abjacjssbd cd，可得14acjs那么，111742184cgkjs根据对称性，可知四边形cehj的面积也为178

33、4，那么四边形jkih周围的图形的面积之和为page 15 of 18172161228415370cgkjagiabesss，所以四边形jkih的面积为61917070【例14】如右图，面积为1的abc中，:1: 2:1bd de ec，:1: 2:1cf fg ga，:1:2:1ah hiib，求阴影部分面积ihgfedcbapnmabcdefghi【解析】 设ig交hf于m，ig交hd于n，df交ei于p连接am，if:3: 4aiab，:3: 4af ac，916aifabcss:2fimamfssihha，:2fimaimssfg ga，19464aimaifabcsss:1:3ah

34、ai364ahmabcss，:1:4ahab:3 : 4a fa c316ahfabcss同理316cfdbdhabcsss716fdhabcss33:1: 464 16hmhf，:3: 4,:3: 4aiabafac，ifbc，又:3: 4,:1: 2ifbcdebc，:2:3,:2:3deifdppf，同理:2:3hnnd，:1:4hmhf，:2:5hnhdmnhdfabcsss同理6个小阴影三角形的面积均为7160阴影部分面积721616080【例15】如图，面积为l 的三角形abc 中， d、e、f、g、 h、 i 分别是 ab、bc、ca 的三等分点 , 求

35、阴影部分面积 . ighfedcbainmqpghfedcba【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令 bi 与 cd 的交点为m， af 与 cd 的交点为 n， bi 与 af 的交点为p,bi 与 ce 的交点为q,连接 am、bn、cppage 16 of 18求admis四边形：在abc中，根据燕尾定理，:1: 2abmcbmssaici:1: 2acmcbmssadbd设1abms( 份) ，则2cbms( 份),1acms( 份) ,4abcs( 份 ) , 所以14abmacmabcsss，所以11312admabmabcsss,112aima

36、bcss, 所以111()12126abcabcadmisss四边形, 同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是abc面积的16求dnpqes五边形：在abc中，根据燕尾定理:1: 2abnacnssbfcf:1: 2acnbcnssadbd, 所以111133721adnabnabcabcssss,同理121beqabcss在abc中，根据燕尾定理:1: 2abpacpssbfcf,:1: 2abpcbpssaici所以15abpabcss所以1111152121105abpadnbepabcabcdnpqessssss五边形同理另外两个五边形面积是abc面积的11105所以11113133610570s阴影【例16】如图，面积为l 的三角形abc 中， d、