2022年2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习40：线段、角的和差倍分

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载中考数学复习资料,细心整编吐血举荐、 如如有用请打赏支持,感谢不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（40） 线段.角的和差倍分一.内容提要证明线段.角的和,差,倍,分,常用两种方法：一为转化为证明线段或角的相等关系；一为用代数恒等式的证明方法；一. 转化为证明相等的一般方法通过作图转化1. 要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法）分解法把大量分成两部分,证它们分别等于两个小量合成法作出两个小量的和,证它与大量相等2. 要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2 倍折半法作出大量的一半,证它与小量相等加倍法作出小量的2 倍,证它与大量相等应用有关定

2、理转化1. 三角形中位线等于第三边的一半,梯形中位线等于两底和的一半2. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半3. 直角三角形中,含30 度的角所对的直角边等于斜边的一半4. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和5. 等腰三角形顶角的外角等于底角的2 倍6. 三角形的重心（各中线的交点）分中线为2 17. 有关比例线段定理 二. 用代数恒等式的证明1. 由左证到右或由右证到左2. 左右两边分别化简为同一个第三式3. 证明左边减去右边的差为零4. 由已知的等式动身,通过恒等变形,到达求证的结论二.例题例 1. 已知： abc中, b2c,ad为高求证： dc abbd分析一：用分解法,把dc分

3、成两部分,分别证与ab,bd相等；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载可以高 ad为轴作 adb的对称三角形 ade,再证 ecae； aeb b 2 c且 aeb c eac, eac c帮助线为在 dc上取 de db,连结 ae；分析二：用合成法,把ab,bd合成一线段,证它与dc相等；仍旧以高 ad为轴,作出 dc的对称线段 df；为便于证明,帮助线用延长db到 f,使 bfab,连结 af,就可得abd2f2c；aakecbdfbdc例 2. 已知： abc中,两条高 ad和 be相交于 h,两条边 bc和 ac的中垂线相交于o,垂足为 m,n精品学习资料精选学习资料 -

4、- - 欢迎下载求证： ah2mo,bh 2no证明一：（加倍法作出om,on的 2 倍）gae（一）hn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载o连结并延长 co到 g使 ogco连结 ag,bg就 bg om,bg2mo,agon,ag2nobdmc四边形 agbh为平行四边形,ahbg2mo,bhag 2noa证明二：（折半法作出ah,bh的一半）f e（二）hn分别取 ah,bh的中点 f,g连结 fg, mnog精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 fg mn1 ab,fgmn ab2bdmc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 om ad, omn h

5、gf（两边分别平行的两锐角相等）同理 onm hfg omn hfg例 3.已知：在正方形abcd中,点 e 在 ab上且 ce adae,f 为 ab的中点求证： dce2bcf分析：此题明显应着重考虑如何发挥ce adae条件的作用,假如只想用加倍法或折半法,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载脱离题设的条件,难以见效；我们可将 ae（它的等量 dg）加在正方形边 cd的延长线上（如左图）也可以把正方形的边cd（它的等量 ag）加在 ae的延长线上（如右图）后一种想法更简单些；帮助线如图,证明（略）自己完成dcgdc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载hae fbhg

6、ae fb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4. 已知： abc中, b 和 c 的平分线相交于 i ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证： bic90 证明一：（由左到右）1 a2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bic180 （ 1 2） 1801 （ abc acb）2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1801 （ abc acb a）21 a2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 90 1 a2证明二：（左边右边 0）bic（ 90 1 a）afie 12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2180 1 （ a

7、bc acb） 90290 1 （ abc acb a）2bc1 a2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明三：（从已知的等式动身,进行恒等变形） a abc acb180 a180（ abc acb）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 a90 21 （ abc acb）2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载90 1 a1802三.练习 401 （ abc acb）,即 bic90 21 a2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. abc中, b2c,ad为角平分线,求证： acab bd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. abc

8、中, b2c,ad为高, m为 bc的中点,就 ab2dm3. abc中, b 的平分线和 c的外角平分线交于e,就 a2e4. abc的 abac,cd为中线,延长 ab到 e 使 beab,连结 ec,就 ce 2cd5. 已知：等腰直角三角形abc中, art, bd为角平分线求证： bc abad6. 已知： abc中, abac,ad为高, ae为角平分线求证： dae 1 （ b c）27. 已知： abc中, abac,点 d在 ac的延长线上,求证： cbd 1 （ abd d）28. 已知： ad为 abc的中线, e 为 ad的中点, be延长线交 ac于 f求证： bf4

9、ef9. 已知：在正方形abcd中, e为 bc边上的一点, af平分 dae,交 cd于 f求证： ae bedf10. 在 abc中,bacrt ,bc的中垂线 mn交 ab于 m,交 bc于 n,角平分线 ad延长线交 mn于 e,就 bc 2ne（ 1987 年泉州市双基赛题）11. 以 rt abc两直角边 ac,bc为边向形外作正方形acde和 bcfg,分别过 e,g作斜边 ab所在直线,的垂线段 ee,gg就 abee gg12. 已知： abc中, abac,ad为高, ce为角平分线 ef bc于 f,gece交 cb延长线于 g,求证： fd 1 cg（提示：以 ce为轴

10、作 ceg的对称三角形）413. 已知： abc中, a100,ab ac,bd为角平分线求证： bcbd ad14. 已知：正方形 abcd中, ae平分 bac交 bc于 e,交 bd于 f,o为对角线的交点求证： ce2fo15. 已知：如图 ac,bd都垂直于 ab,且 cd交 ab于 e,ce 2ad求证： ade2bde16. 已知： abc中, abacbc,点 d在 bc上,点 e 在 ba的延长线上,且bdbe ac, bde的外接圆和 abc的外接圆交于点f求证： bfaf fc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（提示：在 bf 上取 bgcf）ef（15）（a16）acgcbdedb练习 40 参考答案：1. 以 ad轴作轴对称三角形2. 取 ab中点 n,再证明 dn dm3. 利用外角性质,分别用两角差表示a 和 e4. 有多种证明方法,留意三角形中位线性质6.b（ bae dae） 90,c（ eac dae） 907.abc a