2022年2022年初中数学竞赛讲解教材第二讲巧添辅助妙解竞赛题

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载其次讲 巧添帮助妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中、 奇妙添置帮助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系 、 通过圆的有关性质找到解题途径. 下面举例说明添置帮助圆解中学数学竞赛题的如干思路.1 挖掘隐含的帮助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”、 此时如能把握问题供应的信息 、 恰当补出帮助圆 、 并合理挖掘图形隐含的性质、 就会使题设和结论的规律关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1如图 1、 在 abc 中、 abac、 d 为底边 bc上一点 、 e 为线段 ad 上一点且 bed 2 ced a.

2、求证： bd2cd.分析：关键为寻求 bed2ced 与结论的联系 . 简单想到作 bed 的平分线 、 但因 be ed、 故不能直接证出 bd2cd. 如延长 ad 交 abc 的外接圆于 f、 就可得 eb ef、 从而猎取 .aebg dc f图1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明： 如图 1、 延长 ad 与 abc 的外接圆相交于点f、 连结 cf与 bf、 就 bfa bca abc afc、 即 bfd cfd.故 bf: cfbd: dc.又 bef bac、 bfe bca、 从而 fbe abc acb bfe.故 ebef.作 bef 的平分线交 bf

3、于 g、 就 bggf.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因 gef1 bef cef 、 gfe cfe 、 故 feg 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 fec. 从而 gf fc.于为、 bf2cf. 故 bd 2cd.1.2 利用四点共圆cb例 2凸四边形 abcd 中、 abc60°、 bado bcd90°、dab2、 cd 1、 对角线 ac.bd 交于点 o、 如图 2.a就 sin aob .分析：由 bad bcd90°可知 a.b.c.dp图2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载四点共圆 、 欲求 sin

4、aob、 联想到托勒密定理 、 只须求出 bc.ad即可.解： 因 bad bcd 90° 、 故 a.b.c.d 四点共圆 . 延长ba.cd 交于 p、 就 adp abc60°.设ad x、 有ap 3 x、 dp 2x. 由 割 线 定 理 得 2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 x3 x2x1 2x. 解得 ad x23 2、 bc3 .1 bp42精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由托勒密定理有bd·ca4 3 23 2 2×1103 12.又 sabcd s abd sbcd 33 .2故 sinaob 156

5、3 .26例 3已知：如图 3、 abbccaad、 aha cd 于 h、 cpbc、 cp 交 ah 于 p. 求证：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 abc 的面积 s3 ap· bd.bp4qd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：因 sabc3 bc243 ac·bc、 只ch图34精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载须证 ac·bcap·bd、 转化为证 apc bcd. 这由 a.b.c.q 四点共圆易证 q 为 bd 与 ah 交点.证明： 记 bd 与 ah 交于点 q、 就由 acad、 ah c

6、d 得 acq adq.又 abad、 故 adq abq.从而、 abq acq. 可知 a.b.c.q 四点共圆 . apc90° pch bcd、 cbq caq、 apc bcd.ac·bcap·bd.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为、 s3 ac·bc43 ap·bd.4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 构造相关的帮助圆解题有些问题貌似与圆无关、 但问题的题设或结论或图形供应了某些与圆的性质相像的信息、 此时可大胆联想构造出与题目相关精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的帮助圆 、 将原问题

7、转化为与圆有关的问题加以解决.2.1 联想圆的定义构造帮助圆a例 4如图 4、 四边形 abcd 中、 abcd、 ad dcb db p、 bcq. 求对角线 ac 的长.分析：由“ addcdbp”可知 a.b.c 在 cde半径为 p 的 d 上. 利用圆的性质即可找到ac 与p.q 的关系 .解： 延长 cd 交半径为 p 的 d 于 e 点、 连结 ae.图4明显 a.b.c 在 d 上.abcd、bcae.从而、 bcaeq.在 ace 中、 cae90°、 ce 2p、 aeq、 故精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载acce 2ae 2 4 p2q 2 .精

8、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.1 联想直径的性质构造帮助圆例 5 已知抛物线 yx22x8 与 x 轴交于 b.c 两点,点 d 平分 bc. 如在 x 轴上侧的 a 点为抛物线上的动点 、 且 bac 为锐角、 就 ad 的取值范畴为 .分析：由“ bac 为锐角”可知点 a 在以定线段 bc 为直径的圆外、 又点 a 在 x 轴上侧 、 从而可确定动点 a 的范畴 、 进而确定 ad 的取值范畴 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 如图 5、 所给抛物线的顶点为a01、9、对称轴为 x 1、 与 x 轴交于两点 b 2、0 .c4、0.分别以 bc.da

9、 为直径作 d. e、 就两圆与抛物线均交于两点p1 22 、1 .q1 22 、1.可知、 点 a 在不含端点的抛物线pa0q内时、 bac 90°. 且有 3dpdqad da0 9、即 ad 的取值范畴为 3ad9.2.2 联想圆幂定理构造帮助圆ya0 1、9epqbdcx -2、04、0图5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 6ad 为 rtabc 斜边 bc 上的高 、 b 的平行线交 ad 于 m、交 ac 于 n. 求证： ab2an2 bm· bn.分析：因ab2 an2 ab an aban bm·bn、 而由题设易知 aman、

10、联想割线定理 、 构造帮助圆即可证得结论.证明： 如图 6、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 2 3 4 590°、e又 3 4、 1 5、an 1 2. 从而、 am an.2以 am 长为半径作 a、 交 ab 于 f、 交f1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ba 的延长线于 e. 就 aeafan. 由割线定理有bm·bnbf·be ab ae ab af ab an ab anab2 an2、即ab2 an2 bm· bn.3 5 m4bdc图6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 7如图 7、 abcd

11、为 o 的内接四边形 、 延长 ab 和 dc 相交于e、 延长 ab 和 dc 相交于 e、 延长 ad 和 bc 相交于 f、 ep 和 fq分别切 o 于 p.q. 求证： ep2fq2 ef2.分析：因ep 和 fq 为 o 的切线 、 由结论联想到切割线定理、 构造帮助圆使 ep.fq 向 ef 转化.证明： 如图 7、 作 bce 的外接圆交 ef 于 g、 连a结 cg.因 fdc abc cge、 故 f.d.c.pqg 四点共圆 .od由切割线定理 、 有bcef2 eggf · ef精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载eg· efgf·

12、; efec·ed fc· fbec·ed fc· fbep2 fq2、即ep2 fq2 ef2.2.4联想托勒密定理构造帮助圆例 8如图 8、 abc 与 a bc 的三边分别为a.b.c 与 a .egfaca'bc'b'精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b .c 、 且 b b 、 a a bacb'a'c'精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 180°. 试证： aa bb cc.分析：因 b b 、 a a12图8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 18

13、0°、 由结论联想到托勒密定理 、 构造圆内接四边形加以证明 . 证明： 作 abc 的外接圆 、 过 c 作 cdab 交圆于 d、 连结 ad 和 bd、 如图 9 所示. a a 180° a d、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bcd b b 、a a d、 b bcd.cbc a b c dcb.ba精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载有 a' b' dcb' c ' cba'c ' 、bdbd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即c'dca' ab'.图9d

14、b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 dcac' 、 dba 'ab' .a '精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 abdc、 可知 bdacb、 bcada. 从而、 由托勒密定理 、 得ad·bcab·dcac·bd、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即a2c·ac ' b· a'ab' .a '精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 aa bb cc .练 习 题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 作一个帮助圆

15、证明： abc 中、 如 ad 平分 a、 就ab acbd .dc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 提示：不妨设abac、 作 adc 的外接圆交 ab 于 e、 证 abc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 dbe、 从而ab acbd debd .dc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 已知凸五边形abcde 中、 bae 3a、 bccd de、 bcd cde 180° 2a. 求 证 ： bac cad dae. 提示：由已知证明bce bde 180° 3a、 从而a.b. c.d.e 共圆、 得 bac cad da

16、e.3. 在 abc 中 abbc、 abc20°、 在 ab 边上取一点m、 使 bmac. 求 amc 的 度 数 . 提示：以 bc 为边在 abc 外作正 kbc、 连结 km 、 证 b.m.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c 共圆、 从而 bcm1 bkm 10°、 得 amc30°.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4如图 10、 ac 为abcd 较长的对角线 、 过 c 作fcfaf、 ceae. 求证： ab· aead· afac2 .dc 提示：分别以 bc 和 cd 为直径作圆交 ac 于点

17、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载g.h. 就 cgah、 由割线定理可证得结论 .5.如图 11. 已知 o1 和 o2 相交于 a.b、 直线abe图10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cd 过 a 交 o1 和 o2 于 c.d、 且 acad、 ec.ed 分别切两圆于 c.d. 求证： ac2ab·ae.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 提示：作 bcd 的外接圆 o3、 延长 ba 交 o3ed于 f、 证 e 在 o3 上、 得 ace adf、 从而 ae精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 af、 由相交弦定理即得结论 .6已知 e 为 abc