2022年2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习14：经验归纳法

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载中考数学复习资料,细心整编吐血举荐、 如如有用请打赏支持,感谢不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（14） 体会归纳法一.内容提要1通常我们把“从特别到一般”的推理方法.讨论问题的方法叫做归纳法；通过有限的几个特例, 观看其一般规律, 得出结论, 它为一种不完全的归纳法,也叫做体会归纳法；例如由 1 2 1,（ 1）3 1,（ 1）4 1,归纳出 1的奇次幂为1 ,而 1的偶次幂为 1；由两位数从10 到 99 共 90个（ 9× 10）,三位数从 100到 999共 900 个（ 9× 102）,33四位数有 9×10 900

2、0 个（ 9×10 ）,n-1归纳出 n 位数共有9× 10 个 由 1+3=22 、1+3+5=32、1+3+5+7=42推断出从 1 开头的 n 个連续奇数的和等于n2 等；可以看出体会归纳法为猎取新学问的重要手段,为学问攀缘前进的阶梯；2.体会归纳法为通过少数特例的试验,发觉规律,猜想结论,要使规律明朗化,必需进行足夠次数的试验；由于观看产生的片面性,所猜想的结论,有可能为错误的,所以确定或否定猜想的结论,都必需进行严格地证明；（到高中,大都为用数学归纳法证明）二.例题例1平面内 n 条直线,每两条直线都相交,问最多有几个交点？解：两条直线只有一个交点,1 2第 3

3、条直线和前两条直线都相交,增加了2 个交点,得123第 4 条直线和前3 条直线都相交,增加了3 个交点,得123第 5 条直线和前4 条直线都相交,增加了4 个交点,得1234第 n 条直线和前n1 条直线都相交,增加了n1 个交点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由此确定 n 条直线两两相交,最多有交点123n1（个）,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这里 n2,其和可表示为1+（n+1）×n1 、即2nn21 个交点；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2符号 n！表示正整数从1 到 n 的連乘积,读作n 的阶乘；例如n5！ 1×

4、;2×3×4×5；试比较 3n 与（ n+1）！的大小（ n 为正整数）解：当 n 1 时, 3 3、（n1）！ 1×22n当 n 2 时, 3 9,（ n1）！ 1×2×36n当 n 3 时, 3 27、（ n1）！ 1×2×3×424当 n 4 时, 3n81、（ n1）！ 1×2×3×4×5120当 n 5 时, 3n243、（n1）！ 6！ 720猜想其结论为：当n 1, 2,3 时, 3n（ n 1）！,当 n>3 时 3n（ n1）！；例 3求适合

5、等式x1+x2 +x3+x2003=x1x2x3x2003 的正整数解；分析：这 2003 个正整数的和正好与它们的积相等,要确定每一个正整数的值,我们采纳体会归纳法从 2 个, 3 个, 4 个直到发觉规律为止；解： x1+x2=x1x2 的正整数解为x1=x2 =2x1+x2 +x3=x1x2x3 的正整数解为x1=1、x 2=2、x 3=3x1+x2 +x3+x4=x1x2 x3x4 的正整数解为x1=x2 =1、x 3=2、x 4=4x1+x2 +x3+x4+x5=x1x2x3x4x5 的正整数解为x1=x2=x3=1、x 4 =2、x 5=5x1+x2 +x3+x4+x5+x6=x1

6、x2x3x4x5x6 的正整数解为x1=x2 =x3=x4=1、x 5=2、x 6=6由此猜想结论为：适合等式x1 +x2+x3 +x2003=x1x2 x3x2003 的正整数解为x1=x2=x3 =x2001=1、x2002=2,x2003=2003；三.练习 141除以 3 余 1 的正整数中,一位数有个,二位数有个,三位数有个,n 位数有个；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2十进制的两位数a1 a 2 可记作 10a1a2、 三位数a1a2 a3记作 100a1 +10a2+a3、 四位数a1 a2 a3a4记作精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载, n 位数记

7、作精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3由 1323（ 12）2, 1323 33（ 1 2 3） 2,13 23 3343（） 2 、1 3 152,13 23 n3=2；24用体会归纳法猜想以下各数的结论（为什么正整数的平方）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 1111210个 12225个 22 （）； 1112 ；22 n个 11 222n个 22 （） ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 1111 5556 （）； 11115556 （）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9位9位n位n位5把自然数1 到 100 一个个地排下去： 123

8、9101199100这为一个几位数？这个数的各位上的各个数字和为多少精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6运算11112111213131411920精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（提示把每个分数写成两个分数的差）7a 为正整数,试比较aa+1 和a+1 a 的大小 .8.如图把长方形的四条边涂上红色,然 后把宽 3 等分,把长8 等分,分成24 个小长方形,那么这24 个长方形中,两边涂色的有个,一边涂色的有个,四边都不着色的有个；此题假如改为把宽m等分、 长 n 等分m、n 都为大于 1 的自然数 那么这 mn个长方形中, 两边涂色的有个,一边涂色的有个,四边都不

9、着色的有个9把表面涂有红色的正方体的各棱都4 等分,切成64 个小正方体,那么这64 个中,三面涂色的有个,两面涂色的有个,一面涂色的有个,四周都不涂色的有个；此题假如改为把长m等分、 宽 n 等分、 高 p 等分,（ m、n、p 都为大于2 的自然数）那么这mnp个正方体 中,三面涂色的有个,两面涂色的有个,一面涂色的有个,四周都不涂色的有个；10一个西瓜按横,纵,垂直三个方向各切三刀,共分成块,其中不带皮的有块；11已知两个正整数的积等于11112222,它们分别为,；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三.练习 14 参考答案：1.3, 30,3×102,3×10n-1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.10n-1 an-2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 +10a2 _+10an-1 +an精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载24. 33333 、3332n 个 33342 ,9 位33342n位精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 192 位, 901 位（ 50 个 18,加上 1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.1 1 1111211129220精品学习资料精选学习资料 - -