离散数学集合论部分综合练习

1、1 离散数学集合论部分综合练习本课程综合练习共分3 次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习， 这 3 次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次是集合论部分的综合练习。一、单项选择题1若集合 a=a，b，b= a，b， a，b ，则（）aa b，且 a bba b，但 a bca b，但 a b da b，且 a b2若集合 a2，a， a ，4，则下列表述正确的是 ( )aa， a ab a ac2ada3若集合 a a， a，1，2 ，则下列表述正确的是 ( )a a，aab2

2、ac aada4若集合 a=a，b， 1，2 ，b= 1，2，则（）ab a，且 b abb a，但 b acb a，但 b adb a，且 b a5设集合 a = 1, a ，则 p(a) = ( )a1, a b,1, a c,1, a, 1, a d1, a, 1, a 6若集合 a 的元素个数为 10，则其幂集的元素个数为（）a1024 b10 c100 d1 7集合 a=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8上的关系 r=|x+y=10 且 x, ya ，则 r的性质为（）a自反的b对称的c传递且对称的d反自反且传递的8设集合 a = 1，2，3，4，5，6 上的二元关系 r

3、=a , ba , ba , 且a +b = 8，则 r 具有的性质为（）a自反的b对称的c对称和传递的d反自反和传递的9如果 r1和 r2是 a 上的自反关系，则 r1r2，r1r2，r1- r2中自反关系有（）个a0 b2 c1 d3 10设集合 a=1 , 2 , 3 , 4上的二元关系r = 1 , 1，2 , 2 ，2 , 3 ，4 , 4，2 s = 1 , 1 ，2 , 2，2 , 3，3 , 2 ，4 , 4，则 s是 r的（）闭包a自反b传递c对称d以上都不对11设集合 a = 1 , 2 , 3 , 4 , 5上的偏序关系的哈斯图如图一所示，若a 的子集 b = 3 , 4

4、 , 5 ，则元素 3为 b 的（）a下界b最大下界c最小上界d以上答案都不对12设 a=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，r 是 a 上的整除关系， b=2, 4, 6 ，则集合b 的最大元、最小元、上界、下界依次为( )a8、2、8、2 b无、 2、无、2c6、2、6、2 d8、1、6、1 13设 a=a, b，b=1, 2 ，r1，r2，r3是 a 到 b 的二元关系，且 r1=, ，r2=, , ，r3=, ，则（）不是从 a 到 b 的函数ar1和 r2br2cr3dr1和 r3二、填空题1 设集合 a 有 n 个元素，那么 a 的幂集合 p(a)的元素个数为2 设集合

5、a a， b， 那么集合 a的幂集是应该填写： ,a,b, a, b 3设集合 a=0, 1, 2, 3，b=2, 3, 4, 5 ，r是 a 到 b 的二元关系，,bayxbyaxyxr且且则 r的有序对集合为4设集合 a=0, 1, 2 ，b=0, 2, 4, r 是 a 到 b 的二元关系，,bayxbyaxyxr且且则 r的关系矩阵 mr5设集合 a=a,b,c，a 上的二元关系r=, ，s=, 则(r?s)1=6设集合 a=a,b,c，a 上的二元关系 r=, , , ，则二元关系 r具有的性质是7若 a=1,2 ，r=|x a, y a, x+y=10，则 r 的自反闭包为8设集合

6、 a=1, 2 ，b=a, b ，那么集合 a 到 b 的双射函数是2 4 1 3 5 图一3 9 设 a=a， b， c， b=1， 2， 作 f： ab， 则不同的函数个数为三、判断说明题 （判断下列各题，并说明理由）1设 a、b、c 为任意的三个集合，如果ab=ac，判断结论 b=c 是否成立？并说明理由2如果 r1和 r2是 a 上的自反关系，判断结论：“ r-11、r1r2、r1r2是自反的”是否成立？并说明理由3 若偏序集 的哈斯图如图一所示，则集合 a 的最大元为 a，最小元不存在4若偏序集 的哈斯图如图二所示，则集合 a 的最大元为 a，最小元不存在5设 n、r 分别为自然数集

7、与实数集，f：n r，f (x)=x+6，则 f 是单射四、计算题1设集合 a a, b, c ，b=b, d, e ，求（1）ba；（2）ab；（3）ab；（4）ba2设 a= a, b, 1, 2 ，b= a, b, 1, 1 ，试计算（1）（a b）（2）（ab）（3）（ab） （ab）3设集合 a=1,2,1,2，b=1,2,1,2 ，试计算（1）（a b）；（2）（ab）；（3）ab4设 a=0，1，2，3，4 ，r=|x a，y a 且 x+y0，s=|x a，y a 且 x+y 3，试求 r，s，r?s，r-1，s-1，r(r)5 设 a=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8、 8, 9, 10, 11, 12， r 是 a 上的整除关系，b=2, 4, 6 （1）写出关系 r的表示式；（2）画出关系 r的哈斯图；（3）求出集合 b 的最大元、最小元6设集合 a a, b, c, d 上的二元关系 r的关系图如图三所示（1）写出 r的表达式；（2）写出 r的关系矩阵；（3）求出 r27设集合 a=1，2，3，4，r=|x, y a；|x y|=1或 x y=0，试（1）写出 r的有序对表示；（2）画出 r的关系图；（3）说明 r满足自反性，不满足传递性五、证明题1试证明集合等式： a (bc)=(a b) (ac)2试证明集合等式a (bc)=(ab) (a c)图

9、一图二adbc图三4 3设 r 是集合 a 上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a a，存在b a，使得 r，则 r是等价关系 4若非空集合 a 上的二元关系 r和 s是偏序关系，试证明：sr也是 a上的偏序关系参考解答一、单项选择题1a 2b 3c 4b 5c 6a 7b 8b 9b 10c 11c 12b 13b 二、填空题12n2,a,b, a, b 3， 40110000115, 6反自反的7, 8, ，, 98 三、判断说明题 （判断下列各题，并说明理由）1解： 错设 a=1, 2 ，b=1 ，c=2 ，则 ab=ac，但 b c2解：成立因为 r1和 r2是 a 上的自反关系，

10、即iar1，iar2。由逆关系定义和 iar1，得 ia r1-1；由 iar1，iar2，得 ia r1r2，ia r1r2。所以， r1-1、r1r2、r1r2是自反的。3解：正确对于集合 a 的任意元素 x，均有 r（或 xra），所以 a 是集合 a 中的最大元按照最小元的定义，在集合a 中不存在最小元4解：错误集合 a 的最大元不存在， a 是极大元5 5解：正确设 x1，x2为自然数且 x1x2，则有 f(x1)= x1+6x2+6= f(x2)，故 f 为单射四、计算题1解：（1）b a= a, b, cb, d, e= b （2）ab=a, b, c b, d, e= a, b

11、, c, d, e （3）ab=a, b, cb, d, e= a, c （4）ba= a bba= a, b, c, d, e b = a, c, d, e 2解：（1）（a b）= a, b, 2 （2）（ab）= a, b, 1, 2, a, b, 1 （3）（ab） （ab）= a, b, 2, a, b, 1 3解：（1）a b =1,2 （2）ab =1,2 （3）a b= ， ， ， ， ， ， ，, 4解：r=, s=, r?s=，r-1=，s-1= s，r(r)=ia5解：（1）r=i, , , , , , , , , , , , , , , （2）关系 r的哈斯图如图四（3

12、）集合 b 没有最大元，最小元是：2 6解： r, , , 1000000001000101rmr2 = , , , ?, , , =, , 7解： （1）r=, , （2）关系图如图五（3）因为 ,均属于 r，即 a 的每个元素构成的有序对均在r 中，故 r在a 上是自反的。因有与属于 r，但不属于 r，所以 r在 a 上不是传递的。1 2 3 4 6 9 5 7 8 10 11 12 图四：关系r 的哈斯图1 2 3 4 图五6 五、证明题1证明 ：设，若 xa (b c)，则 xa 或 xb c，即 xa 或 xb 且 xa 或 xc即 xab 且 xac ，即 xt=(ab) (a c

13、)，所以 a (b c) (ab) (ac)反之，若 x(ab) (ac)，则 xa b 且 xa c，即 xa 或 xb 且 xa 或 xc，即 xa 或 xbc，即 xa (bc)，所以(ab) (ac) a (bc)因此 a (bc)=(a b) (ac)2证明：设 s=a(bc)，t=(ab)(ac)， 若 xs，则 xa 且 xbc，即 xa 且 xb 或 xa 且 xc，也即 xab 或 xac ，即 xt，所以 s t反之，若 xt，则 xab 或 xac，即 xa 且 xb 或 xa 且 xc也即 xa 且 xbc，即 xs，所以 t s因此 t=s3设 r 是集合 a 上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a a，存在b a，使得 r，则 r是等价关系 证明：已知 r 是对称关系和传递关系，只需证明r是自反关系a a， b a，使得 r，因为 r 是对称的，故 r；又 r 是传递的，即当 r， r r；由元素 a 的任意性，知 r是自反的所以， r是等价关系4若非空集合 a 上的二元关系 r和