2022年2022年初中圆知识点总结与练习

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点圆一圆的熟悉学问点晴1圆的定义（1）在一个平面内,线段oa 绕它的一个端点o 旋转一周,另一个端点a 随之旋转所形成的图形叫做圆；固定的端点o叫做圆心,线段oa 叫做半径,如右图所示；ao（2）圆可以看作为平面内到定点的距离等于定长的点的集r合,定点为圆心,定长为圆的半径；说明：圆的位置由圆心确定,圆的大小由半径确定,半径相等的两个圆为等圆；2圆的有关概念（1）弦：连结圆上任意两点的线段；（如右图中的 cd ）；（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的ab）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载直径等于半径的2 倍；（3）弧：圆上任意两

2、点间的部分叫做圆弧；（如aob精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载右图中的 cd . cad ）cd其中大于半圆的弧叫做优弧,如cad ,小于半圆的弧叫做劣弧；（4）圆心角：如右图中cod 就为圆心角；3与圆相关的角（1）与圆相关的角的定义圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角；弦切角：顶点在圆上,一边和圆相交,另一连轴和圆相切的角叫做弦切角；（2）与圆相关的角的性质圆心角的度数等于它所对的弦的度数；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角相等；弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；两个弦

3、切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等；圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角；4圆心角.弧.弦.弦心距之间的关系；（1）定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦的弦心距相等；（2）推论：在同圆或等圆中,假如两个圆心角.两条弧.两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点例题精讲【例 1】 下面四个命题中正确的一个为（） a 过弦的中点的直线平分弦所对的弧b过弦的中点的直线必过圆心c弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心d弦的垂线平分弦所对的弧【答案 】c二

4、与圆有关的位置学问点晴1点与圆的位置关系假如圆的半径为r ,某一点到圆心的距离为d,那么：（ 1）点在圆外.dr（ 2）点在圆上.dr（ 3）点在圆内.dr2直线和圆的位置关系设 r 为圆的半径, d 为圆心到直线的距离精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）直线和圆相离（ 2）直线和圆相切（ 3）直线和圆相交 3两圆的位置关系.dr.dr.dr,直线与圆没有交点；,直线与圆有唯独交点；,直线与圆有两个交点；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 r.r 为两圆的半径,d 为圆心距精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）两圆外离.（ 2）两圆外切.dr +

5、 r ；dr + r ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）两圆相交.rr <d < r +r r .r ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4）两圆内切.dr-r r >r ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 5）两圆内含.dr-r r >r ；（留意：假如为d = 0 ,就两圆为同心圆； ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 切线的性质与判定定理（ 1）切线的判定定

6、理：过半径外端且垂直于半径的直线为切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即： mnoa 且 mn 过半径 oa 外端精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 mn 为 o 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；oman精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；5. 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点b和圆心的连线平分两条切线的夹角；o即： pa . pb 为的两条切线p papbapo 平分bpa例题精讲【例 2】 已知 o 的半

7、径为1,点p 到圆心o 的距离为d,如关于x 的方程 x2 2x d=0 有实根,就点pa 在 o 的内部b 在 o 的外部c在 o 上d 在 o 上或 o 的内部【答案 】d【例 3】 已知： 如图, pa,pb 分别与 o 相切于 a,b 两点 求证： op 垂直平分线段ab【答案 】略【例 4】 已知：如图, pa 切 o 于 a 点, po ac, bc 为 o 的直径请问：直线pb 为否与 o 相切 .说明你的理由【答案 】直线 pb 与 o 相切提示：连结oa,证 pao pbo精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点【例 5】已知：如图, o1 与 o2

8、外切于 a 点,直线 l 与 o1. o2 分别切于 b,c 点,如o1 的半径 r 1=2cm , o2 的半径 r 2=3cm 求 bc 的长精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案 】 26cm提示：分别连结o1b, o1o2, o2c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 6】如图,点 a, b 在直线 mn 上, ab=11cm , a, b 的半径均为1cm a 以每秒2cm 的速度自左向右运动,与此同时,b 的半径也不断增大,其半径rcm与时间ts之间的关系式为r =1 tt 01 试写出点a,b 之间的距离dcm与时间 ts之间的函数表达式；2 问点 a

9、 动身多少秒时两圆相切.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案 】1当 0t 5.5 时, d 11 2t；当 t>5.5 时, d 2t 112 第一次外切,t3；第一次内切,t11;3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其次次内切,t 11；其次次外切,t 13三垂径定理及推论学问点晴垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1：（ 1）平分弦（不为直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；aoecdb推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；cdoab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

10、迎下载学习必备精品学问点即：在 o 中, ab cd弧 ac弧 bd例题精讲【例 7】 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如下列图,假如油的最大深度为 16cm,那么油面宽度ab 为 cm.【答案 】 4159【例 8】 如图, f 为以 o 为圆心, bc 为直径的半圆上任意一点,a 为的中点, ad bc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于 d ,求证： ad=1bf.2faebdoc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案 】提示：连接of,证明ado 、foe 、boe为全等三角形；精品学习资料精选学

11、习资料 - - - 欢迎下载四圆周角定理学问点晴c1.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；即：aob 和acb 为弧 ab 所对的圆心角和圆周角boaob2acba2.圆周角定理的推论：dc推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；bo同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧为等弧；a即：在 o 中,c .d 都为所对的圆周角cd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点推论 2：半圆或直径所对的圆周角为直角；c圆周角为直角所对的弧为半圆,所对的弦为直径；oba即：在 o 中, ab 为直径或c90c90 ab 为直径推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半

12、,c那么这个三角形为直角三角形；即：在abc 中, ocoaobboa abc 为直角三角形或c90例题精讲【例 9】已知：如图, ab 为 o 的直径,弦cd ab 于 e, acd =30°, ae=2cm 求 db精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案 】 43cm.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 10】已知：如图,o 的直径 ae=10cm , b= eac 求 ac 的长【答案 】提示：连结ce不难得出ac52cm.五与圆有关的运算精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点学问点晴精品学习资料精选学习资料 - - -

13、欢迎下载1 圆周长：c = 2 p r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 弧长： l =np r；180精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 圆面积：s = p r2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 扇形面积：s扇形1 lr =np r2；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2360例题精讲【例 11】如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条ab, ac 夹角为 120°, ab 的长为 30c m ,贴纸部分bd 的长为 20cm,就贴纸部

14、分的面积为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 100 cm2c 800 cm2b 400 cm2 3d 800 cm2 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案 】d【例 12】已知：如图,以线段ab 为直径作半圆o1,以线段ao 1 为直径作半圆o2,半径o1c 交半圆 o2 于 d 点试比较与的长【答案 】的长等于的长提示：连结o2d六圆幂定理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点学问点晴精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等；即：在 o 中,弦ab . cd 相交于点

15、p , papbpcpd推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半为它分直径所成的两条线段的比例中项；即：在 o 中,直径abcd ,dbopcacboea精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ce 2aebed精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长为这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；a即：在 o 中, pa 为切线, pb 为割线de精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pa2popcpbcb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两

16、条线段长的积相等（如上图） ；即：在 o 中, pb . pe 为割线 pcpbpdpe例题精讲【例 13】如图, p 为o外一点, pc切o 于点 c,pab为o 的割线,交o 于 a.b 两点, 假如 pa： pb 1： 4, pc 12cm,o 的半径为10cm,就圆心o到 ab的距离为 【答案 】9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点七正多边形与圆学问点晴1. 正三角形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 o 中 abc 为正三角形,有关运算在rtbod 中进行：od : bd: ob1:3 : 2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

17、载cobda2. 正四边形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同理,四边形的有关运算在rtoae 中进行,oe : ae : oa1:1:2 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bcoaed3. 正六边形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同理,六边形的有关运算在rtoab 中进行,ab : ob : oa1:3 : 2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载oba例题精讲a【例 13】已知正多边形的边长为a 与外接圆半径r 之间满意 12 ,就这个多边形为r（）a. 正三边形b.正四边形c.正五边形d.正六边形【答案 】c提示：正多边形的边数越多,就

18、边长越小,而有ra2 r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 a6r , a42 r ,所以 a6aa 4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 a 6a5a4 ,为正五边形,应选c；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载八课后练习题【例 1】 如 p 为半径长为6cm 的 o 内一点, op 2cm,就过 p 点的最短的弦长为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 12cmb 2【答案 】d2cmc 42cmd 82cm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 2】 如 o 的

19、半径长为4cm,圆外一点a 与 o 上各点的最远距离为12cm,就自 a 点所引 o 的切线长为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 16cmb 4【答案 】b3cmc 42cmd 46cm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 3】 o 中, aob 100°,如 c 为上一点,就acb 等于 a 80°b 100°c 120°d 130°【答案 】a【例 4】 三角形的外心为a 三条中线的交点b 三个内角的角平分线的交点c三条边的垂直平分线的交点d 三条高的交点【答案 】c【例 5】如图, a 为半径为2 的 o

20、外的一点, oa 4,ab 为 o 的切线,点b 为切点,弦bc oa,就的长为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2a 37 题图8b 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2c d 33【答案 】a【例 6】如图,图中的五个半圆,邻近的两半圆相切,两只小虫同时动身,以相同的速度从a 点到 b 点,甲虫沿,路线爬行,乙虫沿路线爬行,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点就以下结论正确选项8 题图a 甲先到 b 点b 乙先到b 点c甲.乙同时到b 点d 无法确定【答案 】c【例 7】 如图,同心圆半径分别为2 和 1, aob 120°

21、,就阴影部分的面积为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4a b3【答案 】c9 题图c 2d 4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 8】如图, 在 o 中,ab 为 o 的直径, 弦 cd ab, aoc 60°,就 b 【答案 】30【例 9】如图,将半径为2cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心o,就折痕 ab 的长为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案 】 23cm.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 10】已知：如图,在两个同心圆中,大圆的弦ab 切小圆于c 点, ab 12cm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点求两个圆之间的圆环面积【答案 】36 cm