2019-2020学年苏教版选修32超几何分布学案

1、2. 2超几何分布1. 了解超几何分布的背景.2理解超几何分布的概念及其推导过程.3掌握用超几何分布解决实际问题的方法.预习案4A汝导学二営试 «新知提炼1.超几何分布一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X= r)= cn，其中r = 0, 1, 2, 3,，cMcN-Ml, l = min(n, M),则称X服从超几何分布， 记为XH(n, M , N),并将P(X= r)= 禅 记 为 H(r; n, M , N).2.超几何分布的概率分布X012lPcMcNm CNcMcNM CNcMcN 4/i CNcMcN M CN为超几何分布的概率分布.參自我尝试1. 一盒中有12个乒

2、乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取 3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球的个数X是一个随机变量，则 P(X = 4)的值为()1A 220C瓷22027B.55D.2125【解】依题意知随机变量 X服从超几何分布，其中N = 10, M = 6, n= 4,解析：选C.由题意取出的3个球必为2个旧球，1个新球.故 p(x=勺=蟹=220.2.一个袋子里装有 4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取 4个球，则含有3个黑 球的概率为.解析：N = 15, M = 5,4, P(X= 3) = C= g.20273答案:探究点1 超几何分布的概念及应用也!厂家在产品出厂前，需对产品做检验，

3、厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有 2件都合格时才接收这批产品， 否则拒收.分别求出该商家检验出不合格产品为 1件和2件的概 率，并求该商家拒收这批产品的概率.【解】20件产品中，从中任取 2件，用X表示“2件产品中不合格品的件数 ”，则X 服从超几何分布 H(2, 3, 20),冲C3C17 51C33则 P(X=1)=CT所以商家拒收这批商品的概率为P(X > 1),即 P(X> 1) = P(X= 1) + P(X= 2)513

4、5427190 190一 190 95.27即该商家拒收这批产品的概率为95.在本题中，产现实生活及生产实际中的许多问题都需要超几何分布的概率模型来解决.品被拒收的概率为 P(X > 1), X> 1包含X = 1和X = 2两种情况.IS33EE3 1.在 20件产品中，有15件是一级品，5件是二级品，从中任取3件， 其中至少有1件为二级品的概率为多少？C?C25 105C5C?5 30C3C05解：设 E 表示二级品的件数，P(E= 1) = CCC = 105，P(= 2) = CCC- = 228，P(E 3) = -CC"2228.所以 P（E1） = P（ 1

5、） + P（片 2）+ P（片 3）105302137+ + =228 228+ 228 228'探究点2 超几何分布的概率分布某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出 4人参加数学竞赛考试，用 X表示其中的男生人数，求 X的概率分布.c§c4k所以 P(X = k)=矿(k= 0,1, 2, 3, 4),刚c8c41c6c44即 P(X=0)=页C6C48CeC2 3P(X=2)= CciC-=7，P(X=3)二页=21，P（X= 4）= 筈=右所以X的概率分布如下表:X01234P1 :43:812103572114方脳（UH解决此类问题的关键是

6、先判断出所给问题是否属于超几何分布问题，是超几何分布问题可直接利用公式求解，当数字较大时，需利用计算器求值.iSfcEEEJ 2从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数E的概率分布，并求至少取得一件次品的概率.解：设随机变量E表示取出次品的个数，则E服从超几何分布，其中 N= 15, M = 2, n =3.E的可能取值为0, 1, 2,相应的概率依次为:C0C1322P(片 1)=1235p® 2)=CCCT= 35.所以E的概率分布如下表所示:012P2212353535故至少取得一件次品的概率为p（片1）+p（ 2）=32+士=3f.探究点3 综合

7、问题M3盒中装着标有数字1, 2, 3, 4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求:(1) 抽出的3张卡片上最大的数字是 4的概率；抽出的3张中有2张卡片上的数字是 3的概率；(3)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.【解】(1) “抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意 P(A)=比2+ c2c6 9 C8 = i4.C?C 13(2) “抽出的3张中有2张卡片上的数字是 3”的事件记为B,则P(B) = CCC = 28.(3) “抽出的3张卡片的数字互不相同”的事件记为C, “抽出的3张卡片上有两个数字C 4 c 2c 63相同”的事件记为D，

8、由题意，C与D是对立事件，因为 P(D)=逾铲=734所以 P(C)= 1 P(D) = 1 7 = 7.本题融排列、组合、古典概型、分布列的知识于一体，在知识上相互联系，解决此类问题的关键在于正确地处理好等可能事件的概率、对立事件的概率间的关系， 并结合分布列的跟鑑训班:有关知识把相应的问题细化，从而解决.3在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券 1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券 3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数 X的概率分布;顾客乙从10张奖券中任意抽取 2张， 求顾客乙中奖的概率； 设顾客乙获得的奖品

9、总价值为Y元，求Y的概率分布.解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况.C14 2P(X= 1) = C1°=1O= 5，小23则 p(x= 0)=1 p(x= 1)= 15=5.因此X的概率分布为(2)顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中X01P3255奖.故所求概率P=C2C1 + C2C0C2o30 _ 245 = 3.Y的所有可能取值为 0, 10, 20, 50, 60,且C4C2151P（Y= 0） = c10 = 45= 3,CsC1182C10 -_45-=5,C2C03丄C10 = 45 =15,C

10、1C162C10 -_45-=15,C1C131C10 -_45-=15.P（Y= 10）=P（Y= 60）=P（Y= 20）=P（Y= 50）=因此随机变量Y的概率分布为Y010205060D12丄_2P35151515«素养提升1 超几何分布，实质是从总数为N(其中含有一类特殊物品M件)的物品中，抽取一个容量为n的样本，其中样本中含有这样特殊物品的件数X是一个随机变量，这个随机变量X的概率分布就是超几何分布.2. 解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决 问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.超几何分布中

11、，只要知道M , N , n,就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X =k),从而求出X的分布列. |恵豹 某大学志愿者协会有 6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自 数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动 (每位同学被选到的可能性相同 ).(1) 求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2) 设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率分布.【解】(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院为事件 A，则P(A)=C3 C2 + c3 c7 49C3o60'所以，选出的3名

12、同学是来自互不相同学院的概率为60(2)随机变量X的所有可能值为0, 1, 2, 3.ck c6kP(X= k) = C3(k= 0, 1, 2, 3).所以，随机变量X的概率分布是X0123P11316210307 珀此(1)解答本例的3个关键步骤：首先确定随机变量 X的取值，是正确作答的关键. 要明确X取不同值的意义，才能正确求X所对应值的概率.c12+ c3c7 49 解答本题时易文字叙述严重缺失，如第(1)问只写出P(A) =3=(2)解答本类问题一是要正确理解题意，将实际问题转化为数学问题，二是在明确随机变量取每一个值所对应的随机事件外，还必须准确求出每个随机事件的概率.、当堂*&#

13、169;测"1由12名志愿者组成的医疗队中，有5名共产党员，现从中任选6人参加抗洪抢险,用随机变量X表示这6人中共产党员的人数，则P(X = 3)=.解析：依题意知，XH(6, 5, 12), P(X = 3)=25一373C答案:25662. 在100张奖券中，有4张有奖奖券，从中任取2张，则2张都中奖的概率是 c2i解析：设X为2张中的中奖数，贝y P(X= 2) = 825.答案:18253. 从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出 2个球，设其中有 X个红球，则随机变量X的概率分布为X012P解析：p(x = 0)= C2= Io = 0.1,C CP(X= 1) = 0.6

14、,P(X= 2) = C2= 0.3.答案：0.10.6 0.3应用案.国如© A基础达标1.一个坛子里有编号为1, 2，12的12个大小相同的球，其中 1到6号球是红球,其余的是黑球.若从中任取2个球，则取到的都是红球， 且至少有1个球的号码是偶数的概率为()B.£解析:选d.由题意得p=CC尹L务C22112. 已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选 个村庄中交通不方便的村庄数，则P(X= 4)=()10个村庄，用X表示102835140A.429B.429C.429D280429解析：选C.X服从超几何分布，基本事件总数为 C10，所求事件数为C4C80

15、-4，所以P(Xc7x C6140=4) = c15 = 429.3. 袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,则P(X= 2)=()A 丄 B 5C ZD 1112 12 12 12C20-m7解析：选B.设10个球中有白球 m个，则一需 =1-9解得：m = 5.P(X= 2)=c2C5=5C10 = 12.4. 从3台甲型彩电和 2台乙型彩电中任取 3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是解析：P c1c2 c3c29c3 + cl = 10.答案：910N= 20, M = 2, n= 2,5. 在

16、20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取 2瓶，取到已过保质期的饮料的概 率为.C°Cl8则所求事件的概率为解析：取到已过保质期饮料的瓶数服从超几何分布，其中参数为答案：37 而6.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取 2件，那么以£为概率的件是解析：p（都不是一等品）c2=110,C3C16p（恰有一件一等品）厂=10,p（者$是一等品）=C5=io，1 QP（至少有一件一等品）=1 10= 10,P（至多有一件一等品）=1 Cl=话.答案：至多有一件一等品7老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵，规定至少要背出2篇才能及格.某同

17、 学只会背诵其中的6篇，试求：（1）抽到他会背诵的课文的数量的概率分布；（2）他能及格的概率.解：（1）设抽到他会背诵的课文的数量为X,则X服从参数N= 10, M = 6, n= 3的超几 何分布.C0C3 1c6c4 3则有 P(X = °)=CC* 五，P(X =1)=CC* 后,C2c1 1c6c4 1P(X=2)=頁=2, P(X=3) = = 6因此x的概率分布为X0123P131 11 130261 1 2 他能及格的概率为P(X > 2) = P(X = 2) + P(X= 3)= 2 + 6= 3.&已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球

18、得 2分，取出一个黑球 得1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等 )3个球，记随机变量 X为取出此 3球所得分数之和，求 X的概率分布.解：X的可能取值有：3, 4, 5, 6.C3 5CsCi 20 10P(X= 3) = Ci= 42； P(X = 4) = CT = 42 = 21；C5C2 155C321P(x= 5)=-=42=和；P(X= 6)=C3=42=2?故所求X的概率分布为X3456P:510_5142211421B能力提升1 某国科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一国家的概率为 (结果用分

19、数表示)ch c4+ c11 c?+ c4 c1p=119190 .解析：成员有11 + 4+ 5= 20人，从中任选2人的不同选法有 C2o种，其中不属于同一国 家的有C11C4+ chC5+Ci c5种，根据等可能性事件发生的概率计算公式，可得所求概率为C20答案:1191902.10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是 解析：设随机变量X为中奖人数，X服从超几何分布，由超几何分布的概率公式得P(X> 1)cc7 c2c7 c3c7 11 =P(X=1)+P(X=2) + P(X=3)=CC"+C¥+ CC7=1?答案:11123. 某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了 2名男生, 3名女生，理学院推荐了 4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训,由于集训后学生水平相当， 从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.（1）求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；（2）某场比赛前，从代表队的6名学生再随机抽取 4名参赛，记X表示参赛的男生人数,求X的分布列.解：（1）由题意，参