多元函数微分学填空题1

1、共 29 页第 1 页题目尽量简单，难度系数在0.1-0.5（每个题目都标上难度系数），格式如下：1、设。，则。等于（）（10，难度系数 0.2 ）第七章多元函数微分学1 多元函数1难度 0.1，答案2xy已知函数2,4fx yxy，则,f x yxy；2难度 0.1，答案332xy已知函数33,2fx yxy，则,fy x；3难度 0.1，答案5已知函数2,2xyfx yxy，则1,3f；4难度 0.1，答案12已知函数2,2xyfx yxy，则,0fx；5难度 0.1，答案224xyxy已知函数224,xyfx yxy，则1,xfy；6难度 0.2，答案32123xxyy已知函数321 1

2、,23fxxyyx y，则,fx y；7难度 0.2，答案22xxyy已知函数22,3f x y x yxy，则,fx y；共 29 页第 2 页8难度 0.2，答案222arctanytyxyxx已知函数22,arctanxf x yxyxyy，则,fty tx；9难度 0.2，答案364xyxy已知函数,32f x yxy，则,fxyfx y；10难度 0.2，答案211xyy已知函数22,yf x yxyx，则,fx y；11难度 0.3，答案22lny xy已知函数,4x yx yf x yexye，则,fx y；12难度 0.1，答案22,4x y xy224zxy的定义域是；13难

3、度 0.1，答案222,x y xyr2221zrxy的定义域是；14难度 0.1，答案,x y xy xr yr1zxy的定义域是；15难度 0.1，答案,0,0,x y xyxr yr12zxy的定义域是；16难度 0.2，答案2,0,0,4x yyxyx2zxy的定义域是；共 29 页第 3 页17难度 0.2，答案22,49x yxy49arcsin2222yxyxz的定义域是；18难度 0.2，答案,44,99x yxyarcsinarccos49xyz的定义域是；19难度 0.2，答案22,14x yxy2222arcsinln14xyzxy的定义域是；20难度 0.3，答案,0,

4、1,0,1x yxyxx yxxyx)ln(lnxyxz的定义域是；21难度 0.3，答案,2 ,24x yyx yxx2lnarcsin3zxyyxx的定义域是；22难度 0.1，答案202sinlimxyxyx；23难度 0.1，答案02222001limsinxyxyxy；24难度 0.2，答案02222001lim 52sin34xyxyxy；25难度 0.2，答案14( ,)(0,0)42limx yxyxy；共 29 页第 4 页26难度 0.2，答案160039limxyxyxy27难度 0.2，答案不存在二重极限22400limxyxyxy值为；28难度 0.2，答案不存在二重

5、极限26300limyxyxyx值为；29难度 0.2，答案2e二重极限102lim 1xxyxy；30难度 0.3 答案022()lim (exyxyxy ）；31难度 0.3 答案全平面函数0,0,sin),(xyxxxyyxf的连续范围是；32难度 0.1 答案22yx函数2222yxzyx在处间断；33难度 0.1 答案0 xy函数2sinzxxy在处间断；34难度 0.2 答案)0,0(函数0,00,2),(222222yxyxyxxyyxf在点不连续；共 29 页第 5 页35难度 0.2 答案)0,0(函数22( , )lnf x yxy在点不连续 . 1、设2,fxy xyxy

6、y，则,fx y（）（22xxy，难度系数0.2 ）1、2244limxyxyxy（）（0，难度系数0.1 ）共 29 页第 6 页2 偏导数1难度 0.2 答案既非充分条件又非必要二元函数),(yxf在点),(00yx处的两个偏导数),(00yxfx和),(00yxfy都存在，是),(yxf在该点连续的条件；2难度 0.2 答案2yx设22,fx yxyxy，则( ,)f x yx；3难度 0.2 答案2xy设22,fx yxyxye，则( ,)f x yy；4难度 0.3 答案1.已知理想气体状态方程rtpv，则pttvvp；5难度 0.1 答案 0 已知2222,0,0( , )0,0,

7、0 xyxyx yf x yxyx y，则0,0 xf；6难度 0.2 答案1已知2222,0,0( , )0,0,0 xyxyx yf x yxyx y，则0,1xf；7难度 0.2 答案y已知2222,0,0( , )0,0,0 xyxyx yf x yxyx y，则0,xfy；8难度 0.2 答案x已知2222,0,0( , )0,0,0 xyxyx yf x yxyx y，则,0yfx；9难度 0.3 答案2 2共 29 页第 7 页设)cos()2cos(),(yxyxyxf，则)4,(yf；10难度 0.2 答案1 设yxyxuarcsin)1(，则xu在(2,1)的值是；11难度

8、 0.3 答案31设(21)arcsinxuxyy，则xu在(1,2)的值是；12难度 0.3 答案13设(21)arccosxuxyy，则xu在(1,2)的值是；13难度 0.2 答案25设(1)arctanxuyyy，则xu在(1,2)的值是；14难度 0.3 答案65设2arctan(21)arctanyxueyy，则xu在(1,2)的值是；15难度 0.2 答案12设(21)arctanyuxxx，则uy在(1, 1)的值是；16难度 0.2 答案22lnyxx设2arctan2yuxx，则uy；17难度 0.2 答案212yyx设2arcsin2yuxy ，则ux；共 29 页第 8

9、 页18难度 0.2 答案25设22,zfx yxyxy，则3,4xf19难度 0.答案12设,ln2yfx yxx，则10 xyfy；20难度 0.3 答案0设2exyu，则2uuxyxy；21难度 0.3 答案2221x yxx y e设2x yue，则2ux y22难度 0.2 答案0 设2sinxuxzy，则42uxy z；23难度 0.3 答案4曲线22:44xyzy在点2,4,5处的切线与ox轴正向的倾角是；24难度 0.3 答案2ln2lnlnxyyyx设xyzln，则22zx；25难度 0.3 答案lnlnln1xyxyxy设xyzln，则2zx y；共 29 页第 9 页26

10、难度 0.3 答案0 设yxzuarctan，则222222uuuxyz；27难度 0.3 答案0 设函数2221sin,0,0,0 xxyxfx yxx，则0,yfy；28难度 0.3 答案不连续设 函 数2221sin,0,0,0 xxyxfx yxx， 则,fx y的 偏 导 函 数,xfx y在0,3点处； （填连续或不连续）29难度 0.3 答案连续设 函 数2221sin,0,0,0 xxyxfx yxx， 则,fx y的 偏 导 函 数,yfx y在0,3点处； （填连续或不连续）30难度 0.3 答案1 设函数22222222,0,0,0 xyxyxyxyfx yxy，则0,0

11、yxf；31难度 0.3 答案1设函数22222222,0,0,0 xyxyxyxyfx yxy，则0,0 xyf；32难度 0.3 答案2zy设222xyzye，则22zzyxy；33难度 0.3 答案4设22,fxy xyxy，则1ffxyy；共 29 页第 10 页2、设函数222222,0,0,0 x yxyzfx yxyxy，又,xt yt，则0tdzdt（）（12，难度系数 0.2 ）3 全微分及其应用1难度 0.1 答案必要函数,fx y在点, x y处可微是它在该点偏导数zx与zy连续的条件（填必要、充分或充要）；2难度 0.1 答案3412dxdy设432zx yx ，则1,

12、2dz; 3.难度 0.2 答案22ydxxdyxyarctanxzy，则dz；4难度 0.3 答案 充分,fx y在00,xy的一阶偏导数连续是,fx y在00,xy可微的条件；5难度 0.2 答案3dxdy若22,ln1fx yxy，则1,1df；6难度 0.2 答案dx22xuxy在点 0,1 处的du；7难度 0.2 答案22xdyydxxy设),0(arctanxxyz则dz；共 29 页第 11 页8难度 0.3 答案22xy dxxy dyxy设yxyxyxzarctanln22，则d z；9难度 0.3 答案zdzo dz设,zfx y 在点00,xy处的 全增 量 为z,全微

13、分为dz,则,zfx y 在点00,xy处的全增量与全微分的关系式是；10难度 0.2 答案22dxdz函数)ln(22zyxu，则在点) 1 ,0, 1(a处的全微分为；11难度 0.3 答案连续且两个偏导数)0, 0(),0, 0(yxff都存在，但不可微函数32),(yxyxf在点)0,0(处；12难度 0.3 答案b 若,zfx y在点00,xy处可微，则下列结论错误的是(a）,zfx y在点00,xy处连续；(b) ,xyfx yfx y在点00,xy处连续；(c) ,xyfx yfx y在点00,xy处存在；(d) 曲面,zfx y在点0000,xyfxy处有切平面；13难度 0.

14、3 答案b 二元函数),(yxf在点),(000yxm处连续，且),(00yxfx和),(00yxfy都存在，这是),(yxf在点可微的条件(a)充分非必要；(b)必要非充分；(c)充分必要；(d)既非充分亦非必要；14难度 0.3 答案22212lnyyy xdxyxxdx设2yux，则du；15难度 0.1 答案必要共 29 页第 12 页),(yxfz在点),(00yx处偏导数存在是),(yxfz在该点可微的条件；16难度 0.1 答案0.2040402004函数23zx y在点2, 1处，当0.02,0.01xy时有全增量z；17难度 0.1 答案0.20函数23zx y在点2, 1处

15、，当0.02,0.01xy时有全微分d z；18难度 0.3 答案coscos(ln )lnlnsinlnxxyyxdxdyyyxyucos)(ln, 则du；19难度 0.3 答案( )lnzxzzxdxdydzyxyyzyxu)(, 则du；20难度 0.2 答案32222xyzxdxydyzdz2221zyxu,则du；21难度 0.2 答案不可微,fx yxy在点0,0处连续，0,0 xf与0,0yf存在，但在0,0处；22难度 0.2 答案可微的设函数222222221sin,0,0,0 xyxyxyfx yxy在点0,0处是；23难度 0.2 答案21edxedy设xyzxey ，

16、则1,1dz；24难度 0.2 答案22222 sin2sinsin 2xyexzdxyzdyzdz设222sinxyuez，则du；共 29 页第 13 页共 29 页第 14 页4 多元复合函数的求导法则1难度 0.2 答案221sincossinaxea axbxacoaxbxab设22)(bazyeuax，而xbzxaycos,sin，则dxdu；2难度 0.2 答案223222ln 3232yyyxxxyx设2ln ,32yzuv uvyxx，则zx；3难度 0.2 答案333sincossin 2 sinsin2 cosuvvvvvv设22,cos ,sinzx yxyxuv yu

17、v，则zv；4难度 0.2 答案222 lnzxyxyxxyxy设22,zuxyzxy，则ux；5难度 0.2 答案cos22 sinxxx设2,sinzxy yx，则ddzx；6难度 0.2 答案1cosyfxy设,sin,arctanzf u vuxyvy ，又f为任意可微函数，则zx；7难度 0.2 答案1221cos1xfxyfy设,sin,arctanzf u vuxyvy， 又f为 任 意 可 微 函 数 ，zy；8难度 0.3 答案d 设yzxyfx，且 fu 可导，则zxxzyy为共 29 页第 15 页(a)2xy；(b) 2 xy z；(c) 2 xy ； (d) 2z；9

18、难度 0.3 答案b 设vufz,，其中e ,xuvxy，下面运算中:exzffixuv，222:vfyxzii(a)i、ii都不正确；(b) i正确，ii不正确；(c) i不正确，ii正确；(d) i、ii都正确 .10难度 0.2 答案c 设)(22yxz，其中具有连续的导数，则下列等式成立的是(a)yzyxzx(b) yzxxzy(c) yzxxzy(d) yzyxzx；11难度 0.2 答案1fy设,x yufy z其中f具有一阶连续偏导数，求ux；12难度 0.2 答案1221xffyz设,x yufy z其中f具有一阶连续偏导数，求uy；13难度 0.2 答案22yfz设,x yu

19、fy z其中f具有一阶连续偏导数，求uz；14难度 0.3 答案1322ff设, ,ufx y z,zy tty x，其中,f均可微，则ux；15难度 0.3 答案231321fff共 29 页第 16 页设, ,ufx y z,zy tty x，其中,f均可微，则uy；16难度 0.3 答案0 设23yzxyx，其中可微，则22zzxxyyxy；17难度 0.2 答案22xyff设22yzfxy，其中f u可微，则zx；18难度 0.2 答案2212y fff设22yzfxy，其中f u可微，则zy；19难度 0.3 答案2zy设22yzfxy，其中f u可微，则11zzxxyy；20难度

20、0.3 答案31222224yyffx设22 ,yzxfxx其中函数f具有二阶连续偏导数，求2zx y；21难度 0.3 答案1 12122fff已知设zyxyxfz,，其中,f均为可微函数，dzdx；22难度 0.3 答案0 设)()(xyxxyu其中函数,具有二阶连续偏导数，则22222222uuuxxyyxx yy；23难度 0.3 答案1122222yxxfgggxyy共 29 页第 17 页设),(yxxygxyxfz，其中gf ,均为二阶可微函数，则2zx y；24难度 0.3 答案1122yf dxxffdyf dz设,ufxy yzfs t 可微，则du；25难度 0.2 答案

21、1221fyfdyffdxxx设,yzfxyx，其中,f u v具有一阶连续偏导数，则dz；26难度 0.2 答案122fyfdxxf dy设,zfx xyf u v 有连续偏导数，则 dz；27难度 0.2 答案2244322xyxyxyx yex y设2222xyxyzxye，则zx；28难度 0.3 答案3122cosx fx fxy设22sin ,cos ,lnzfxyxy，则zx；29难度 0.2 答案22242sincosxyzeyxyy设2222,cosxyzuezxy，则zy；30难度 0.2 答案242yfxy设22zfxy，则zy；4、设2xyze，而3sin ,xt yt

22、，则dzdt（）（22cos6xyett，难度系数 0.2 ）4、 设,ufx xy xyz， 其中f具有一阶连续偏导数，则ux（） （123fyfyzf，难度系数 0.2 ）共 29 页第 18 页4、设21axeyzua，而sin ,cosyax zx，则dudx（）（sinaxex，难度系数0.2 ）共 29 页第 19 页5 隐函数求导法1难度 0.2 答案22xyxy设3330 xyxy，则ddyx；2难度 0.2 答案2yzzxy设函数,zz x y 由方程333zxyza 所确定，则zx；3难度 0.2 答案2xyzxzyzxyz已知220 xyzxyz，则xy；4难度 0.2

23、答案2lnlnz dyyzzdxxyyzy设xzzy，则dz；5难度 0.2 答案sin 2sin2sin 2xdxydyz设222coscoscos1xyz，则d z；6难度 0.2 答案(1)zx z设,zfx y为由zexyz确定的隐函数，则zx；7难度 0.2 答案2dxdy由方程2222zyxxyz所确定的函数),(yxzz在点1,0, 1处的全微分dz；8难度 0.2 答案z设zyzx，其中为可微函数，则zzxyxy；共 29 页第 20 页9难度 0.2 答案12121zf dxf dyxff设,zfxz zy，其中f具有一阶连续偏导数，则dz；10难度 0.2 答案122fyf

24、dxxf dy设,zfx xyf u v 有连续偏导数，则 dz；11难度 0.3 答案2222112111222212221231212y fffyfffyfyf ff ffyffyf设,0,f yz xyyz其中f具有二阶连续偏导数，则22zx；12难度 0.3 答案z若,zz x y由方程,0yzfxx确定，则zzxyxy；13难度 0.3 答案13xz由方程组222222320zxyxyz所确定的y x及z x的导数dzdx；14难度 0.3 答案626xxyyyz由方程组222222320zxyxyz所确定的y x及z x的导数dydx；15难度 0.3 答案221xdxydy设,z

25、z x y 是由方程22xyzxyz 确定的函数 ,其中为可导函数 ,且1, 则dz；16难度 0.3 答案0 设函数zf u，又方程dxyuup tt确定u是,x y的函数，其中f u与u均可微；,p tu连续，且1u. 则zzp yp xxy；共 29 页第 21 页6 方向导数与梯度1难度 0.1 答案充分函数,fx y在点, x y处可微是它在该点有方向导数的条件（填必要、 充分或充要） ；2难度 0.1 答案 最大在梯度向量的方向上，函数的变化率；3难度 0.1 答案 模函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的；4难度 0.1 答案16,18函数2249zxy在点2,1的梯度为gra

26、dz；5难度 0.1 答案coscoscos函数xyzu在点)1, 1, 1(处沿方向cos,cos,cosl的方向导数是；6难度 0.1 答案1,1,1函数xyzu在点)1, 1, 1(处的梯度是；7难度 0.2 答案1, 1,0函数xyxu在点)1 , 1 , 1 (的梯度为；8难度 0.1 答案d 二元函数),(yxf在点),(00yx处的两个偏导数),(00yxfx和),(00yxfy都存在，则),(yxf（）(a) 在该点可微；(b) 在该点连续可微；(c)在该点沿任意方向的方向导数存在；(d) 以上结论都不对. ；9难度 0.2 答案23函数e cos()xuyz在点)0,0,0(

27、处沿方向2, 1,2l的方向导数是；10难度 0.3 答案12函 数)l n(22zyxu在 点) 1,0, 1(a处 沿a指 向 点)2, 2, 3(b方 向 的 方 向 导 数是；共 29 页第 22 页11难度 0.1 答案16,18函数2249zxy 在点 2,1 的梯度为gradz；12难度 0.2 答案1 2 3函数22zxy在点01,2p处沿从点01,2p到点12, 23p方向的方向导数是；13难度 0.2 答案3 55函数22zxxyy在点( 1,1)沿方向2,1l的方向导数为；14难度 0.2 答案1,0函数,arctanxfx yy在点0,1m的梯度mgradu；15难度

28、0.2 答案3,1,2设函数uxxyxyz在点 1,2,0 的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向；16难度 0.2 答案1 函数22zxy在点 0,0 处沿方向 1,0 的方向导数zl；17难度 0.1 答案1,4,0函数uxxyxyz在点1,0,3m的梯度mgradu；18难度 0.2 答案222222222246,232323xyzgraduxyzxyzxyz数量场222,ln23u x y zxyz的梯度；19难度 0.3 答案d 设2)0, 0(, 1)0, 0(yxff，则(a),(yxf在点)0,0(处连续；(b) dydxyxdf2),()0,0(；(c) cos2cos)0

29、,0(lf，其中cos,cos为l的方向余弦；(d) ),(yxf在点)0,0(处沿 x轴负方向的方向导数为1。共 29 页第 23 页20难度 0.3 答案2222zyxu在点)0,0,(aa及点)0,0(ab处的梯度间的夹角；21难度 0.2 答案11,22二元函数22zxxyy在点1,1沿方向减少得最快；22难度 0.2 答案11,22二元函数22zxxyy在点1,1沿方向z的值不变；23难度 0.3 答案1sin22设x轴正向到l得转角为，则函数222222,0,0,0 xyxyxyfx yxy在点0,0处沿着方向l的方向导数fl；24难度 0.2 答案8 33函数222, ,2u x

30、 y zxyz 在点1,1,1p处沿 po方向的方向导数为；6、设uxyz在点1,1,1处沿点1,1,1到2,2,2的方向导数为（）（3，难度系数 0.2 ）共 29 页第 24 页7 偏导数的几何应用1难度 0.2 答案36248 164xxx曲线2,1,1tztyttx对应于2t处的切线为；2难度 0.3 答案12,021xyz曲面23zzexy在点(1,2,0)处的法线方程是；3难度 0.2 答案0 xayzac曲线cos:sinxatyatzct在点,0,0a的切线方程为；4难度 0.2 答案0 xza曲面333xyzza 在点 0, , aa 处的切平面方程是；5难度 0.3 答案(

31、1,1,2)已知曲面224zxy上点p的切平面平行于平面221xyz，则点p的坐标是；6难度 0.2 答案24xy曲面e23zzxy在点1,2,0处的切平面方程是；7难度 0.3 答案12180,3030由曲线2232120 xyz绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点0,3,2m处的指向内侧的单位法向量为；共 29 页第 25 页8难度 0.3 答案122146xyy曲面2222321xyz在点1, 2,2处的法线方程是；9难度 0.2 答案1,1, 1或1 11,3 927已知曲线23,xt ytzt上点p的切线平行于平面24xyz， 则点p的坐标是；10难度 0.2 答案522xyz曲面1x

32、yyzzx在点 3, 1,2 处的切平面方程为；11难度 0.2 答案12352yzx曲面1xyyzzx在点 3, 1,2 处的法线方程为；12难度 0.3 答案122211xyz已知曲面xyz上的点p处的法线l平行于直线2121326:1zyxl， 则该法线的方程为；13难度 0.3 答案b 在曲线23,xt ytzt的所有切线中，与平面24xyz平行的切线（a）只有 1 条；（b）只有 2 条；（c）至少有3 条；（d）不存在；14难度 0.3 答案12180,3030由曲线0122322zyx绕y轴旋转一周得到的旋转面在点2,3, 0处指向外侧的单位法向量；15难度 0.2 答案1111

33、0222,11012xzxyzy曲线22sin,sin cos ,cosxt ytt zt在对应于的点4t处的切线方程为；16难度 0.2 答案110,022xzxz共 29 页第 26 页曲线22sin,sin cos ,cosxt ytt zt在对应于的点4t处的法平面方程为；17难度 0.2 答案111222,111xyz两个圆柱面的交线22221:1xyxz在点111,222m处的切线方程为；18难度 0.2 答案102xyz两个圆柱面的交线22221:1xyxz在点111,222m处的法平面的方程为；19难度 0.3 答案2231:20 xzczy设p为222:1s xyzyz椭球面

34、上的一动点 ,若s在点p处的切平面与xoy面垂直,则点p的轨迹c为；20难度 0.3 答案切平面为0001ax xby ycz z，法线为000000 xxyyzzaxbycz曲面22210axbyczabc在点000,xyz处的切平面及法线的方程；21难度 0.3 答案222 abngradznab函数22221xyzab在点,22abm处沿曲线22221xyab在此点的外法线方向的方向导数zn；22难度 0.3 答案64设n是曲面222yxz在3 ,2, 1p处指向外侧的法向量，则函数xzyxu22233在点p处沿方向n的方向导数un；共 29 页第 27 页7、曲线sin ,1cos ,4sin2txtt yt z的切线的方向余弦为（）（1cossincos,cos,cos222ttt，难度系数 0.2 ）7、空间曲线222222452xyzxyz在点02,1,6p处的切线方程为（）（216252812xyz，难度系数0.2 ）7、空间曲线22