复数基础知识点

1、1、复数的定义：设i为方程21x的根，i称为虚数单位，形如()abi abr、的数，称为复数 .所有复数构成的集合称复数集, 通常用c来表示. a 为实部， b 为虚部2复数集整数有理数实 数 (0)分数复数(,)无 理数(无 限不循环小数)纯 虚数 (0)虚数 (0)非 纯 虚数 (0)babia braba3. 复数的几何意义对任意复数 z=a+bi （a,b r ） ，a 称实部记作 re(z),b称虚部记作 im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b) 作为坐标平面内点的坐标，那么 z 与坐标平面唯一一个点相对应， 从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点

2、构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示， 表示复数的平面称为复平面， x 轴称为实轴， y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将 (a,b) 作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。4. 两个复数相等的定义：a bicdiac且bd（其中abcdr， ， ， ，）特别地，00a bia b. 5. 复数的四则运算设111zab i，222zab i（1） 加法：121212zzaabbi，即实部与实部相加， 虚部与虚部相加；（2）减法：121212zzaabbi ，即实部与实部相减， 虚部与虚部相减；（3）乘法：1212122112z za abba ba bi ，

3、特别22z zab；复数biaz复平面内的点z（a,b）平面向量oz（4）除法cdizabi（,a b是均不为 0 的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：22acbdadbc icdicdiabizabiabiabiab；（5） 四则运算的交换率、 结合率；分配率都适合于复数的情况。 即对,m nn有: mnm nzzz, ()mnmnzz, 1212()nnnz zz z6 共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数； 【注：两个共轭复数之差是纯虚数

4、 . （） 之差可能为零，此时两个复数是相等的 】若 z=a+bi ，则zabi的共轭复数记作zabi；zz 为实数， zz 为纯虚数 (b 0). 共 轭 复 数 的 性 质：22|zzab; azz2； i2bzz; 2222,z z abrz zzz; （5）nnzz)(； （6）若1z，则zz1. 7 复数的摸若向量oz表示复数z，则称oz的模r为复数z的模，22|zabiab一些常用的结论1 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等（两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.） 。若21, zz为复数1：当120zz时，则12zz （）21, zz为复数，而不是实数 ；2：当12zz 时，则120zz.（）若ccba,，则0)()()(222accbba是cba的必要不充分条件.（当22)(iba，0)( , 1)(22accb时，上式成立）2i性质：t=4 ；iiiiiinnnn3424144, 1, 1；;03424144nnniiii3 复数相等的充要条件：两个复数实部和虚部分别对应相等。4 复数 z 是实数的充要条件是z= z;z 是纯虚数的充要条件是：