随机变量的独立性

1、 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021 定义定义 设设( X , Y )是二维随机变量是二维随机变量, , 若对若对任意实数对任意实数对( x , y )均有均有随机事件随机事件A 与与B 相互独立，若相互独立，若P(AB)=P(A)P(B),yYPxXPyYxXP 成立，称成立，称X与与Y相互独立相互独立. 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021 意义意义 对任意实数对对任意实数对( x , y )，随机事件随机事件 X x 、 Y y 都相互独立都相互独立.例例3.2.1等价条件等价条件:1. .X与与Y相互独立相互

2、独立对任意实数对任意实数(x , y )均成立均成立.)()(),(yFxFyxFYX 2. ( (离散型离散型) )X与与Y 相互独立相互独立, ijijP Xx YyP Xx P Yy 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021对所有对所有(xi , yj )均成立均成立. 注注 若否定结论若否定结论, 只需找到一对只需找到一对(i, j)使使pij pi pj或或 pij = pi pj3. ( (连续型连续型)X与与Y相互独立相互独立在平面上除去在平面上除去“面积面积”为为0 的集合外成立的集合外成立.)()(),(yfxfyxfYX 例例3.2.2例例

3、3.2.3例例3.2.4练习练习 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021 定义定义 设设 n 维随机变量（维随机变量（X1 ,X2,Xn )的联的联合分布函数为合分布函数为 F(x1 , x2 , xn )， 若对任意实若对任意实数数x1 , x2 , xn 均有均有称称X1 ,X2,Xn 相互独立相互独立., )(),(121 niiinxFxxxF 注注 对任意实数向量对任意实数向量(x1 , x2, , xn), n个随机事个随机事件件 Ak=Xk xk,k=1,2, ,n， 都相互独立都相互独立. 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技

4、大学12/1/2021 思考思考 随机事件随机事件A1，A2，An 相互独立，相互独立，应有以下应有以下P(Ai1 Ai2Ais）= P(Ai1 )P(Ai2) P(Ais）2n- -n- -1个等式同时成立，缺一不可个等式同时成立，缺一不可.如何理解？如何理解？),(lim),(21, 4 , 321,21nnkxXXxxxFxxFk )()()()()(lim321211, 4 , 3 nkXXXXniiinkxFFxFxFxF)()(2121xFxFXX 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021 定理定理3.2.1 若若n维随机变量（维随机变量（X1 ,

5、X2,，Xn ) 相互独立，则任意相互独立，则任意k个随机变量个随机变量( 2 k n )也也相互独立相互独立. 注注 随机变量相互独立则一定两两独立，随机变量相互独立则一定两两独立，但逆不真但逆不真. . 例例3.2.5 定理定理3.2.1 若若n维随机变量维随机变量（X1 ,X2,，Xn ) 相互独立，则相互独立，则 2). 随机变量随机变量 g1(X1), g2(X2), gn(Xn)也也相互相互独立独立. . 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021 3) m维随机向量维随机向量(X1 ,X2,Xm ) 与与n-m维随机维随机向量向量(Xm+1 ,Xm

6、+2 ,Xn ) 也相互独立也相互独立. . 4) 随机变量随机变量 h (X1 ,X2,Xm ) 与与g(Xm+1 ,Xm+2,Xn ) 也也相互独立相互独立. .如如 3维随机变量维随机变量X1 ,X2 ,X3 相互独立相互独立，则，则 X12 , X22 , X32 也相互独立也相互独立.X1 +X2与与X3也相互独立也相互独立.sinX1 与与X3也相互独立也相互独立. . 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021X1 +X2与与X1 X2 不一定相互独立不一定相互独立.随机变量的独立性随机变量的独立性本质上是随机事件的独立性本质上是随机事件的独立性

7、随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021 例例3.2.1 设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 - - - -xxexf,21)(问问 X 与与X是否相互独立是否相互独立.分析分析 1) 直观判断直观判断X 与与X是否相互独立？是否相互独立？bXPaXPbX,aXP 对所有实数对对所有实数对(a, b) 均成立均成立.2) 判定判定X 与与X相互独立，则需验证相互独立，则需验证 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021 3) 随机事件随机事件 Xa 与与X a 有下述关系有下述关系aXaXaaX - - ,aXP

8、aXaXP 从从而而解解 对于任意给定的实数对于任意给定的实数 a 0 有有aXaXaaX - - ) 1 (,aXPaXaXP 从从而而1010 aXPaXP，又又 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021)2(,aXPaXPaXP ,aXPaXPaXaXP 即即 X 与与X 不相互独立不相互独立. 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021 例例3.2.3 已知二维随机变量已知二维随机变量( X , Y )的概率密的概率密度为度为 .,0;10,8),(其其他他xyxyyxf问问 X , Y 是否相互独立？是否相互独立？解解

9、dyyxfxfX - -),()( . 10,4; 10, 03xxxorx . 10,8; 10, 00 xxydyxorxx 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021 - - . 10,44; 10, 0)(3yyyyoryyfY)()(),(yfxfyxfYX 10),( xyyxG在在区区域域., 不不相相互互独独立立故故YX 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021例例3.2.4 设随机变量设随机变量 X , Y 相互独立相互独立, XU( 0, a ) , Y U(0, / 2)且且 0 b a 试求试求 P X

10、b cosY 解解 ;, 0;0,1)(其其他他axaxfX .,0;20,2)(其其他他 yyfY因为随机变量因为随机变量 X , Y 相互独立，则相互独立，则)()(),(yfxfyxfYX 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021a/2bx = b cosy dxdyaYbXPD 2cos .22 abDSa ., 0;20,2其其他他yaxoa 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021 练习练习 设随机变量设随机变量 X 与与 Y 相互独立相互独立, 填出填出空白处的数值空白处的数值. 11/61/8x2 1/8x1y

11、3y2y1X Y. ipjp.3/41/4 1/21/24 3/8 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021 例例3.2.2 设随机变量设随机变量 ( X, Y ) 具有联合概率密具有联合概率密度度其他其他xyxyxf 0, 1002),(问问: X、Y 是否相互独立？是否相互独立？ 分析分析 f (x, y) 在如图所在如图所示区域内不等于示区域内不等于 0, 在其在其余区域均等于余区域均等于 0。oxy11 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021因为因为 - - - -xdyyxfxfX,),()(当当 x0 或或 x1

12、时时,在整个积分路径上在整个积分路径上被积函数被积函数 f (x, y) 始始终为终为 0; 因此因此y = x00 - -dyxfX)(当当 0 x 1 时时,xdyxfxX220 )(oxy11 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021类似地类似地, - - - -ydxyxfyfY,),()(当当y0 或或 y1时时,00 - -dxyfY)(当当 0 y 1 时时,)()(ydxyfyY- - 1221y = xoxy11 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021于是于是,其其他他1002 xxxfX)(其他其他100

13、)1(2)( - - yyyfY故当故当 0 x 1 且且 0 y x 时时,f (x, y) = 2fx(x) fy(y) = 4x(1- -y)因此因此, X 与与 Y 不相互独立不相互独立.找出了一个找出了一个面积不为面积不为0的区域的区域 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021 例例3.2.6 将一枚均匀硬币独立地掷两次，引将一枚均匀硬币独立地掷两次，引进随机事件如下进随机事件如下1掷第一次出现正面掷第一次出现正面 A2掷第二次出现正面掷第二次出现正面 A3正、反面各出现一次正、反面各出现一次 A令令 .0, 111否则否则，发生；发生；当事件当事件A .0, 122否则否则，发生；发生；当事件当事件A 随机变量的独立性随机变量的独立性电子科技大学电子科技大学12/1/2021 .0, 133否则否则，发生；发生；当事件当事件A 有有0041)(0, 0212121 PPAAPP014