(完整word)高三总复习数列知识点及题型归纳总结,推荐文档

1、一、数列的概念(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1 项(或首项)，在第二个位置的叫第 2 项，序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作an；数列的一般形式：a1,a2,a3,an,，简记作an。例：判断下列各组元素能否构成数列(1)a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010 年各省参加高考的考生人数。(2) 通项公式的定义： 如果数列 叫这个数列的通项公式。例如：1 , 2 , 3 , 4, 511111 _ _ _ _，? ? ?2 3 4 5an=n(n7,n N),1an=(n N)。n说

2、明:1n2k 12同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an=( 1)n=(k Z);1,n 2k3不是每个数列都有通项公式。例如，1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,(3)数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N(或它的有限子集)的函数f(n)当自变量n从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2), f(3),f(n),通常用an来代替f n,其图象是一群孤立点。例：画出数列an2n 1的图像(4)数列分类：按数列项数是有限还

3、是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a, a, a,例：已知数列an的前 n 项和sn2n23，求数列an的通项公式高三总复习数列an的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就:数列的通项公式是数列的通项公式是an表示数列，an表示数列中的第n项，an=n表示数列的通项公式;(5)数列an的前n项和S

4、n与通项an的关系：anS1(n 1)SnA n2)练习：1 根据数列前 4 项，写出它的通项公式:(1) 1, 3, 5, 7;221321421521(2)2345(3)1111-。1*22*33*44*5(4)9, 99,999, 9999 (5) 7, 77, 777, 7777,(6)8, 88, 888, 88882 数列an中，已知an(1)与出ai,a2,a3,an 1,an2；2（2）792是否是数列中的项？若是，是第几项?33 （2003 京春理 14,文 15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（

5、_ ）内。304D6S收叫怪（:咸虬ft11011?120JSS130J145707S7-5J00關()4、由前几项猜想通项:根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式（） （）题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这n2n1(n5.观察下列各10 条直线相交，交点的个数最多是（）,其通项公式为_ ._A. 40 个 B 45 个2 条直线相 交，最多有 1 个交点、等差数列3 条直线相 交，最多有3 个交点4 条直线相 交，最多有6 个交点(1)( 4)(7)C . 50 个 D . 55 个

6、个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为anan 1d（n 2）或a. 1a.d（n 1）。例：等差数列an2n 1,anan, _题型二、等差数列的通项公式：ana,（n 1）d；说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。例：1.已知等差数列an中，a7a916，a41,则a12等于（）A. 15 B . 30 C . 31 D . 642.an是首项a11，公差d 3的等差数列，如果an2005，则序号n等于（A） 667（ B） 668（C） 669（D） 6703.等差数列an2n

7、1,bn2n 1，则an为_bn为_（填“递增数列”或“递减数列”）题型三、等差中项的概念：A. 1B.2C.4D.8a,A,b成等差数列A 2即:2an1anan2(2anan man m)例：1. （14 全国 1 ）设 耳是公差为正数的等差数列，若aa?8315,aa2a380，则a11a12a13()A.120B.105C.90D.75定义：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A则它的首项是（)48,2.设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为 12,前三项的积为题型四、等差数列的性质:（1）在等差数列an中,在等差数列an中,在等差数列an中,在等差数列an

8、中,从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项;对任意m,n N,anam(n m)d,am(m n);n man题型五、等差数列的前n和的求和公式：Sn(a1an)na1q，则amn(n 1)danapaq；（SnAn2Bn（代B为常数）an是等差数列递推公式：Snan)n2(aman (m 1)n例：1.如果等差数列an中,a3a4a512,那么a2a7(A) 14(B) 21(C) 28(D) 352.（2015 湖南卷Sn是等差数列的前 n项和，a611,S7等于（）A.1335.49633.（2015 全国卷I理）设等差数列an的前n项和为Sn，若S72,则a2a4a9=4.（20

9、15 重庆文）（2）在等差数列an中，a1a910,则a5的值为（）(2)相隔等距离的(3)(4)若m,n,p,q5.若一个等差数列前A.13 项3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146，且所有项的和为390,则这个数列有（D.10 项)B.12 项C.11 项6.已知等差数列an的前n项和为Sn，若Si221, 贝V a2a5a8aii7.（2014 全国卷n理）设等差数列an的前n项和为Sn，若a55a3则9_S58.（2014 全国）已知数列bn是等差数列，bi=1,bi+b2+bio=1OO.（I）求数列 bn的通项bn；aio10， 其前10 项的和Sio70,则其公差d等于（

10、）C.求通项an；若Sn=242,求n13.在等差数列an中，(1)已知S848,Si2168,求ai和d； (2)已知a610, S55,求a$和Q； (3)已知a3ai540,求Si7题型六.对于一个等差数列：（1） 若项数为偶数，设共有2n项，则S偶S奇nd；奇旦 ；S偶an 1S奇n（2） 若项数为奇数，设共有2n 1叽则S奇S偶ana中；也S偶n 1题型七.对与一个等差数列，Sn,S2nSn,S3nS?n仍成等差数列。例：1.等差数列&的前m项和为 30，前 2m项和为 100,则它的前 3m项和为（）A.130B.170C.210D.260(A) 5(B) 6(C) 8(D

11、) 109.已知an数列是等差数列,D.10. （2015 陕西卷文）设等差数列9n的前 n 项和为Sn,若a6S312,则an_11. （2013 全国）设an为等差数列,S为数列an的前n项和，已知S7= 7,S5= 75,Tn为数列 n的前n项和，求Tn。12.等差数列an的前n项和记为Sn,已知a1030,a20502. 一个等差数列前n项的和为 48,前 2n项的和为 60,则前 3n项的和为 _3 已知等差数列an的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为_4.设Sn为等差数列an的前n项和，S414,S,。Sy5. （2015 全国 II ）设 S

12、 是等差数列 an的前 n 项和，若里S610题型八.判断或证明一个数列是等差数列的方法:定义法:an 1and （常数）（n N）an是等差数列中项法：2an 1anan 2（n N ）an是等差数列通项公式法：ankn b（k,b为常数）an是等差数列前n项和公式法：SnAn2Bn （A, B为常数）an是等差数列例：1.已知数列an满足anan12,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列an,的通项为an2n5，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列an的前 n 项和S

13、n2n24，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列an的前 n 项和Sn22n，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.已知一个数列 an满足an22 an 1an0，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6.数列an满足a1=8,a42,且an 22an 1an0（n N）求数列an的通项公式;30,则S9=_S6A.B.D.7. (14 天津理，2)设S是数列an的前n项和，且 S=n2，则an是()A.等比数列，但不是等差数列B.等差

14、数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列题型九数列最值(1)数列an从哪一项开始小于 0?(2)求数列an前n项和的最大值，并求出对应n的值.(1)a,0,d 0时，Sn有最大值；a.0，d 0时，Sn有最小值;(2)Sn最值的求法：若已知Sn，Sn的最值可求二次函数 &an2bn的最值;可用二次函数最值的求法(n N)；或者求出an中的正、负分界项，即:若已知an，则Sn最值时n的值(n N)可如下确定an0或an0an 10 an 10例：1 等差数列an中，a10, S9S12，则前_ 项的和最大。2设等差数列an的 前n项和为3. （12

15、上海）设an (n N)是等差数列，Sn是其前n项的和，且Sv S6,S= SS，则下列结论错误 的是（ ）A.dv0B. a7= 0C.S9 S5D.S6与 S7均为 Sn的最大值4.已知数列an的通项n 98n U99N),则数列an的前 30 项中最大项和最小项分别是5.已知an是等差数列，其中a131, 公差d8。6.已知an是各项不为零的等差数列，其中ai 0,公差d 0,若 So0,求数列a.前n项和的最大值.题型十利用anS（n 1）求通项.S S1（n 2）2n 1.（ 1）试写出数列的前 5 项；（2）数列an是等差数列吗？（列an的通项公式吗?2. 已知数列an的前n项和S

16、nn24n 1,则_3. 设数列an的前 n 项和为 s=2n2，求数列an的通项公式；14.已知数列an中，a13,前n和Sn（n 1）（an1）12求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式7.在等差数列a.中，ai25，S|7S9，1.数列an的前n项和Sn3）你能写出数25. (2015 安徽文)设数列an的前 n 项和Snn,则氏的值为()等比数列等比数列定义一般地， 如果一个数列从第二项起.， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数.， 那么这个数列就叫做等比数 公比通常用字母q表示(q 0)，即：an1:anq(q 0)。二、等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c

17、的等比中项，且为b、ac,注：b2ac是成等 比数列的必要而不充分条件 .例：1.2.3和2,3的等比中项为()(A)1(B) 1(C) 1(D)22. (2013 重庆卷文)设an是公差不为 0 的等差数列，a12且a1.a3.a6成等比数列，贝Uan的前n项 和Sn=()2八n7nn25n2n3n2A.B.C.D. n n443324(A) 15(B) 16(C) 49(D) 64列，这个常数、递推关系与通项公式递推关系：通项公式:推广：anan 1anqn 1ana1qn mamq1.在等比数列an中，a12.在等比数列an中，a73.(2014 重庆文)在等比数列(A) 2( B) 3

18、4,q2，则an _12,q近,则a19 _.4.在等比数列an中，a22，a554，则a8=5.在各项都为正数的等比数列anA 33 B 72 C 84 D189三、等比数列的基本性质，1.(1)若m n p q,则ama.apaq(其中m,n, p, q N )(2)qn m屯,an2an man m(n N )am(3)an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.(4)an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列5(B)乎11(A)-(C)(D)-22222.在等比数列an，已知a15,a9a10100,则a18=3.在等比数列an中，a1a633,a3a432,anan

19、 1求an若Tnlg a1lg a2lg an,求Tn2例：1 在等比数列 坯 中，ai和aio是方程2x 5x 1 0的两个根，则a?()4.等比数列a*的各项为正数，且a5a6a4a718,则log3a-ilog3a2Llog3ai0(A . 12 B . 10 C . 8 D . 2+|og351,2丄2勿(n 3)，则当n 1时,log2a1log2a3Llog2a2n 1()A.n(2n1)B.(n 1)2C.n2D.(n 1)22.前n项和公式na1(q1)Sna1(1 qn)a1anq(q1)1 q11 q例：1.已知等比数列an的首相a15，公比q2，则其前n 项和Sn2.已知

20、等比数列an的首相a15，公比q1,当项数n 趋近与无穷大时，其前 n 项2和Sn3.设等比数列 an的前 n 项和为Sn,已a26, 6a1a330,求an和Sn5. (2014 广东卷理)已知等比数列an满足an0, n且a5a2n 54.(2015 年北京卷)设f(n) 2 2427210L 23n 10(n N)，则f(n)等于()“ 2,八2,i八2,3八2,4八A.(81)B. (81)C .- (81)D .- (81)77775.(2014 全国文，21)设等比数列an的前n项和为S,若S3+S6=2S9,求数列的公比q；6设等比数列an的公比为 q,前 n 项和为 S,若S+

21、1,Sn,S+2成等差数列，则 q的值为 _._3.若数列 an是等比数列,Sn是其前n 项的和，k N，那么 Sk,S2kSk，S3kS2k成等比数列6例：1. （2014 辽宁卷理）设等比数列an的前 n 项和为Sn，若Ss=3 ,则S6 =78A. 2B.3C.3D.32. 一个等比数列前|n项的和为 48,前 2n项的和为 60,则前3n项的和为 ()A. 83 B . 108 C . 75 D . 633.已知数列an是等比数列，且Sm10, S2m30,则Ssm _4.等比数列的判定法2(2)中项法：an 1anan 2(an0)an为等比数列;（3）通项公式法：ank qn（k,

22、q为常数）an为等比数列；（4）前 n 项和法：Snk(1qn)(k, q为常数)an为等比数列。Snk kqn（k,q为常数）an为等比数列。例：1.已知数列an的通项为an2n，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列an、卄2i满足an 1anan2（an0），则数列an为()A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断（1 ）定义an 1anq（常数）an为等比数列;3.已知一个数列an的前 n 项和1Sn22n 1，则数列an为（)A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.利

23、用anSl(n 1)求通项.SnSn 1(n 2)1例：1. （2015北京卷）数列an的前n项和为 S,且ai=1,an1Sn,n=1,2, 3, ，求a2,as,a43的值及数列an的通项公式.2. （ 2015 山东卷）已知数列an的首项a1列an1是等比数列.5,前n项和为Sn，且51Snn 5（n N ），证明数四、求数列通项公式方法（1 ）公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1 已知等差数列an满足：a37,a5a726,求an；2.已知数列an满足a12, anan 11），求数列an的通项公式;3. 数列an满足a1=8,a42,且an 22a“ 1an0（n

24、 N），求数列an的通项公式;n,a11，求数列an的通项公式。an227.等比数列an的各项均为正数，且2a13a21,as8.已知数列an满足a12,an3an,n 1），求数列an的通项公式;4.已知数列an满足a12,丄an 12，求数列an的通项公式;an5.设数列an满足ai0且-1 an 111 an1，求an的通项公式6.已知数列an满足an 19a2a6，求数列an的通项公式式;9.已知数列a*满足ai2,a24且an 2an10.已知数列an满足a111.已知数列an满足a1an 1(n N),求数列a*的通项公式;2,且an 15n 12(an5n)(nN),求数列an的

25、通项公式;2,且an 15 2n 12 3(an5 2n2)(nN),求数列an的通项公12.数列已知数列an满足a1：an24an 11(n1).则数列an的通项公式=_(2)累加法1、累加法适用于：an 1anf(n)a2若an 1anf (n) (na32)，则La2f(1)f(2)Lanf (n)两边分别相加得an 1nf (n)k 1例：1已知数列an满足a112,an 114n2-，求数列an的通项公式。12.已知数列an满足anan2n1,求数列an的通项公式。3.已知数列an满足anan1,a13，求数列an的通项公式。4.设数列an满足a11an22n 1，求数列an的通项公

26、式(3) 累乘法适用于：an 1f(n)an若空f(n),则ana2aia3a“ if(i),f(2)丄L,亠f(n)a2an两边分别相乘得，an iainf(k)k i(4) 待定系数法例：1.已知数列an满足an 12(n 1)5nan,ai3，求数列an的通项公式。2已知数列an满足ai2，an i3，求an。3.已知ai3，an i3n3nan(n i)，求an。适用于an iqanf(n)解题基本步骤：1、确定f(n)2、设等比数列an 1f (n)，公比为4、比较系数求1，26、解得数列an的通项公式例：1已知数列an中，印1,an2an 11(n 2)，求数列a.的通项公式。项公

27、式；3、列出关系式an 11f(n 1)2an2f (n)5、解得数列an1f (n)的通项公式2. (2015，重庆，文,14)在数列a.中，若a11,an 12an3(n1)，则该数列的通项an _3.(2014. 福建.理 22.本小题满分14 分)已知数列an满足a11,a. 12a.1(n N*).求数列an的通4已知数列an满足an 12an3 5.，a16，求数列a.的通项公式。解：设an 1x 5n 12(anx 5n)3an5 2n4,ai1，求数列an的通项公式。s t ps，t 满足5.已知数列an满足an 1解：设an 1x 2n 1y 3(anx 2ny)6已知数列a

28、n中，a15,an163an/1 n 1(2)，求an7.已知数列an满足an 122an3n 4n 5,印1,求数列an的通项公式。解：设an 1x(n 1)22y(n 1) z 2(anxn yn z)8.已知数列an满足an 1n 12an4 3,a11，求数列a.的通项公式。递推公式为an 2pan 1qan（其中 p, q 均为常数）。先把原递推公式转化为an 2san 1t（an 1san）其中st q5an 16an,ai1赴2，求数列an的通项公式。及数列an的通项公式.2. (2015 山东卷)已知数列an的首项a15,前n项和为Sn，且Sn 1Snn 5(nN*)，证明数列

29、an1是等比数列.(5 )递推公式中既有 Sn分析：把已知关系通过anS,n 1Sn & 1,n2转化为数列an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。1. (2015 北京卷)数列&的前n项和为S，且ai=1，an 13Sn，n=1,2，3,，求a2，a3，a4的值9.已知数列an满足an 213已知数列an中，a13,前n和Sn(n 1)(an1) 12求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式14.已知数列an的各项均为正数，且前 n 项和Sn满足Sn(an1)(an2)，且a2,a4,a9成等比数列，求数6列an的通项公式。(6)倒数变换法适用于分式关系的递推公式，

30、分子只有一项2a例：1.已知数列an满足an1n1，求数列an的通项公式。an2(7)对无穷递推数列消项得到第n 1与n项的关系例：1.(2014 年全国 I 第 15 题，原题是填空题)已知数列an满足a11，ana12a?3agL (n 1)an 1(n 2)，求an的通项公式。2n 1n*2.设数列an满足a13a23 a?3 an,a N求数列a.的通项;3五、数列求和1 直接用等差、等比数列的求和公式求和。例: 1.已知等差数列an满足a11, a24.设f (n)22427210L23n 10(n N)，则f(n)等于()A.2(8n71)B.2n 17(81)C. 討32n 4八D.(81)72 .错位相减法求和: 如:an等差,bn等比,求 a1b1a2b2anbn的和.例：1.求和 &1 2x 3x2L nxn 1na.)2n(n 1)d2Snnaq 1)a1(1 qn)公比含字母时一定要讨论 (q 1)1 q(理)无穷递缩等比数列时,a11 q2.等差数列an中，a1=1,a3+a5=14.其前n项和 S=100,则n=(A. 9 B.10 C11123.已知等比数列a.满足a11,a23，求前n项和Sn3，求前