(完整word)对数函数知识点总结,推荐文档

1、对数函数 (一)对数 1.对数的概念: 一般地，如果 ax N (a 0,a 1)，那么数x叫做以a为底N的对数, 记作：x loga N ( a 底数，N 真数，loga N 对数式) 说明：注意底数的限制a 0,且a 1； ax N loga N x ； 注意对数的书写格式. 两个重要对数： 常用对数：以 10 为底的对数lg N ; 自然对数：以无理数 e 2.71828 为底的对数的对数In N . (二)对数的运算性质 如果a 0,且a 1 , M 0 , N 0，那么： lOg a(M N) lOga M + lOga N ； lOga lOga M - lOga N ； N lO

2、ga M n n lOga M (n R). 注意：换底公式 , , lOg c b 小 口 lOg a b - ( a 0，且 a 1 ； c lOgc a 利用换底公式推导下面的结论 (1)lOgambn lOgab ； (2) lOg a b m (二)对数函数 1、对数函数的概念：函数 y loga x(a 数，其中x是自变量，函数的定义域是(0, +8). 辨别。如：y 2 log 2 x , y log 5 都不是对数函数，而只能称 5 其为对数型函数. (a 0 ,且 a 1). 2、对数函数的性质: a1 0a0 定义域 x 0 值域为 R 值域为 R 在 R 上递增 在 R

3、上递减 函数图象都 过定点(1, 0) 函数图象都过定点 (1, 0) 1 log b a 0 ,且a 1)叫做对数函 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意 注意: 对数函数对底数的限制: 例 4.比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 2 3.4 , log 2 8.5 ； (2) log 0.31.8 , log 0.3 2.7 ； 解：(1)对数函数y log2X在(0,)上是增函数，于是log 2 3.4 log2 8.5 ; (2) 对数函数y log0.3 x在(0,)上是减函数，于是log .31.8 log0.3 2.7 ; (3) 当a 1时，对数函数y

4、logax在(0,)上是增函数，于是log a 5.1 loga 5.9 , 当o a 1时，对数函数 y logax在(0,)上是减函数，于是log a 5.1 loga 5.9 . 例 5.比较下列比较下列各组数中两个值的大小： ()log 6 7 , log76 ; (2) log 3 , log2 0.8 ; 0 9 (3) 1.V , log1.10.9 , log 0.7 0.8 ; (4) log 53 , log 6 3 , log7 3 .对数函数例题解析 例 1.求下列函数的定义域: (1) y log a x2 ； (2) y log a (4 x) ; (3) y lo

5、g a (9 x2). 解: 由x2 0 得 x 0 ,函数 y log a 2 x的定义域是 x x 0 ; (2) x 0得x 4，二函数y lOg a (4 X)的定义域是 X 9- 0得-3 3 , 函y log a (9 x2)的定义域是 x2 2. 求函数y 2和函数y 2 (x 0)的反函数。 y-2 f 1 (x) log：(x 2) (x 5 -2); (2 x |). (3) log a 5.1 , loga5.9. f-1(x) log1 (x-2) 解: ( 1)：Tog6 7 log 6 6 1 , logy6 log 7 7 1 , A log6 7 log 7 6

6、 ； (2).Tog3 log31 0, log20.8 log21 0 , log3 log2 0.8 . (3 ) T 1.109 1.10 1 , log1.10.9 log1.11 0 , 0 log。/ log 0.70.8 log 0.7 0.7 1, 0 9 A 1.1 log0.70.8 log1.10.9 . (4)T 0 log 3 5 log 3 6 log 3 7 , A log 5 3 log 6 3 log 7 3 . 例 7.求下列函数的值域： 2 2 (1) y log2(x 3) ； (2)y log? x ) ； (3) y loga(x 4x 7) ( a

7、 0且 a 1). 解: (1 )令 t x 3 , 则y log2t, /1 0, A y R，即函数值域为R. (2)令 t 3 x2, 则0 t 3, A y log 2 3,即函数值域为（,log2 3. (3)令 t x2 4x 7 (x 2)2 3 3, 当 a 1 时，y log a 3 , 即值域为 解: 1 x恒成立，故f（x）的定义域为（ )，f( x) Iog2( x2 1 x) log a3,)， 当0 a 1时, y 叽3 , 即值域为 ( ,log a 3. 例8 .判断函数 f(x) gc X2 1 x）的奇偶性。 1 为奇函数。 又x 3x 2 0 , x 2

8、或 x 1, 故u 2 x 3x 2 在(2, ）上递增，在（ ,1）上递减， 又 y 2 log 1 u为减函数, 3 所以，函数y 2log 1（x2 3x 2）在（2,）上递增，在（，1）上递减。 3 例 10.若函数y log2（x2 ax a）在区间（,1 .3）上是增函数，a的取值范围。 2 解：令 u g(x) x ax a, 函数y log2 u为减函数， -u g(x) x2 ax a 在区间（,1 .3）上递减，且满足u o , a 1 2 .3 ，解得2 2 3 a 2 , g(1 3) 0 所以，a的取值范围为2 2、3, 2.log 2 - 、x2 1 log2 x2

9、 1 (厂1)2 x2 log x 1 x f (x)，所以，f (x) 例 9.求函数y 2log1(x2 3 3x 2）的单调区间。 3 3X X (X(X -在-,）上递增，在（，3上递减, 4 2 2 u 令 (2)求函数 y = - (a 0,且 a* 1)的定义域. J1 loga(x a) 已知函数 f(x)的定义域是0, 1,求函数 y = flog 1(3 x)的定义 3 【例 1 (1)求函数 y= log u 3x 2 1的定义域. 解(1)由 3x 2 log 1 0 2 2x 1 3x 2 - 0 1 1工 0 2x 2x 3x 2 W1 2x 1 (3x 2)(2x

10、 1) 0 1 x工一 2 x 1 w 0 2x 1 1 十 2 xv 或 X 2 1 xZ - 2 1 v xw 1 2 1 、 2 xv 或 x 二 2 3 1 xz 1 2 3 V X1 2 所求定义域为x| - v X 0 , log a(x + a) v 1. 当 a 1 时，Ov x + av a,.函数的定义域为 (一 a, 当 Ov av 1 时，x + aa,.函数的定义域为 (0 ,+ ). 解(3) /f(x)的定义域为0, 1 ,函数 y = flog1(3 x)有意义, 3 0) 1 必须满足 0 w log 1 (3 x) w 1,即 log11 w log 1 (

11、3 x) w log 1 - , 3 3 3 33 8 x W 1,.2 W x W-.故函数 ynfllogMB x)的定义域为2 , 3 3 8 8- 10 x 【例 2 已知函数 y= x，试求它的反函数，以及反函数的定义 域和值域. 1 10 10 x 10 x 解 已知函数的定义域为 R yi，由 y 得 1 10 1 10 反函数的定义域为(0 , 1)，值域为 y R. 【例 3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间. (1)y=lg( x)y=log 2|x + 1| (3)y=|log1(x 1)|, (4)y = log2(1 x). 2 解(1)y=lg( x)的图像与

12、 y=lgx 的图像关于 y 轴对称，如图 2. 8 3 所示, 单调减区间是(一8, 0). 解(2)先作出函数 y=log 2|x|的图像，再把它的图像向左平移 1 个单位就得 y= log 2|x + 1|的图像如图 2. 8 4 所示. 单调递减区间是(一8, 1).单调递增区间是(一 1, ). 解 把 y = logM的图像向右平移 1个单位得到 y=log,x 1)的图像，保留其在 x 2 2 轴及 x轴上方部分不变，把 x 轴下方的图像以 x轴为 对称轴翻折到 X轴上方，就得到 y=|log1(x 1)|的图像如图 2. 8 5 所 示 (1 y)10 x = y，二 10 x

13、 0 V y V 1,即为函数的值域. 由10 x lg1 y 即反函数f 1(x) = Ig 可先作 y=log 2( x)的图像，再把 y = log 2( x)的图像向右平移 1 个单位得到 y=log 2（1 x）的图像.如图 2. 8 6 所示. 单调递减区间是(一8, 1). b A , a b 一 hUoga： v 0,如一 a b a 0, 0vlogbav 1, logab 1.由 a2 ba1 得 a- 1 - logb vlogbav a a 【例 4】 图 2. 8 7 分别是四个对数函数， 的图像，那么 a、b、c、d 的大小关系是 A. d c b a B. a b

14、cd C. b ad c D. b cad 解 选 C,根据同类函数图像的比较，任取一个 y=log ax y=log bX y=log cx y=log QX x 1 的值，易得 ba 1 dc. 【例 5】 解法一 令 yi=log ax, y2=log bx, 所以它们的图像，可能有如下三种情况： (1) 当 log a3log b30 时，由图像 (2) 当 0log a3log b3 时，由图像 (3) 当 log a30log b3 时，由图像 Tog ax log b3，即取 x = 3 时，y2, 2. 8 8,取 x=3，可得 b a 1. 2. 8 9,得 Ov av bv

15、 1. 【例a b 若 a2 b a 1,则 log a 、log b 、log ba logab的大小 b a a 解/a2 ba 1,二 0v v1, b 2. 8 10,得 a 1 b 0. a b 1 故得：loga- Vlgb； VTgb.6.下列函数图象正确的是 ( ) 【例8】 已知函数f(x) = loga(x +、.1 x2)(a 0,且1)，判断其 奇偶性. 解法一 已知函数的定义域为 R 则一 x R f( x) = log a CJ+ x2 x) =loga 1 =loga - =loga 1 x2 x)( . 1 x2 x) .1 2 x x . 2 2 1 x x

16、1 x2 x 1 1 x2 x (1 x2 x) f(x) 匚奇函数. 解法二 已知函数的定义域 R =loga f(x)是 由 f(x) + f( x) =loga( .1+ x2 + x) + log(+ x2 x) =loga( 1 + , -a、 x2 x)( 1+ x2 x) =log a1=0 f(x)= f(x) 、选择题(每小题 ，即 f(x)为奇函数. 单元测试 5 分，共 50 分). 1. 对数式log a 2 (5 a) b中，实数 a 的取值范围是 2. 3. 4. 5. A. ( ,5) B. (2,5) c. (2, D. (2,3) (3,5) 如果 lgx=l

17、ga+3lgb A. x=a+3b c 5lgc，那么 B. x型 5c C. x ab3 5 c D. x=a+b3 c3 设函数 y=lg(x 2 5x)的定义域为 M 函数 y=ig(x 5)+lgx 的定义域为 N, A. MU N=R B. M=N 若 a0，b0，ab 1， log 1 a =ln2，则 log ab 与 log1 a 的关系是 2 A. log abv log 1 a 2 C log ab log a 2 若函数 log 2(kx 2+4kx+3)的定义域为 R, C. M N D. M B. log ab=log1 a 2 D. log ab w log 1 a

18、 2 则 k 的取值范围是 ) ) ) ) ) A. 0,3 4 B. 0,3 4 C. 0, 4 ,0 12. 方程 log 2(2x+1)log 2(2 x+1+2)=2 的解为 13. 将函数y 2x的图象向左平移一个单位，得到图象 O,再将 C 向上平移一个单位得到 图象作出 G 关于直线 y=x 对称的图象 G,则。的解析式为 14. 函数 y=log1 (x2 4x 12)的单调递增区间是 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (共 76 分). 7. 9. 已知函数g(x) f(x) f(x) A.是奇函数又是减函数 C.是奇函数又是增函数 如果 y=log 2

19、a 1x 在(0 , A.| a | 1 10.下列关系式中, A. log 3 4 C. log 3 4 B.是偶函数又是增函数 D.是偶函数又是减函数 ，其中 log 2f(x)=2x , x R,则 g(x) +R)内是减函数，则 a 的取值范围是 B.| a | 2 成立的是 C. D. 、2 log 1 10 3 10 log1 3 二、填空题：(每小题 6 分, B. D. log1 10 3 log 3 4 11.函数 y log 1 (2 2 5 共 24 分). X2)的定义域是 log! 10 3 log 3 4 ,值域是 6.下列函数图象正确的是 ( ) x 1 15.

20、(12分)已知函数 f (x) log2 log2(x 1) log2 (p x). x 1 (1)求函数 f (x)的定义域；(2)求函数 f (x)的值域. 16.( 12 分)设 x, y, z ，且 3x=4y=6z. 1 1 1 求证： ；(2)比较 3x, 4y, 6z 的大小. z x 2y 17. (12 分)设函数 f(x) lg(x ,x2 1). 确定函数 f (x)的定义域； 判断函数 f (x)的奇偶性； 证明函数 f (x)在其定义域上是单调增函数; 求函数 f(x)的反函数 18现有某种细胞 100 个，其中有占总数 丄的细胞每小时分裂一次，即由 1 个细胞分裂成

21、 2 个 2 细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过 10 10个？(参考数据: 6.下列函数图象正确的是 ( ) lg3 0.477,lg 2 0.301) 20. (14 分)已求函数y loga(x x2)(a 0,a 1)的单调区间 DCCAB 必修 1 数学章节测试(7) BDBDA 第二单元(对数函数) 14. 15. 16. 17. 11 . 解: (2)3 解: X10, y 0, z 0, . t 1, lgt lgt lgt x log 31 ,Z ig3 lg 4 lg6 1 1 lg 6 lg 3 lg2 lg4 1 . z x lg t lgt lg

22、t 2 lgt 2y 当 p 3 时，f (x)的值域为(汽 2log 2(p+1) 2); 解: xv 4y v 6Z. lgt (1)由x x2 1 0得 x R,定义域为 x2 1 0 R. (2)是奇函数. 0, 设 X1, X2 R 且 t2 (X1 . xf 1) (X2 x； 1). 2 2 X1 1 X2 1 二 11 t 2 0, 0 v t 1 t2, 0 19.解：(1)过 A,B,C,分别作 AA|,BB1，CC1 垂直于 x轴，垂足为 A1，B1，C1, 则S=S梯形 AAB1B+SB形 BBCC S梯形 AACC 则 则 f (X1) X1 f (X2) lg X2 X1 1 .令 t X , x2 x； 1 (X1 X2) ( X12 1 xf 1) (X1 X2) (x1 X2)(X1 X2) X2 1 x| 1 (X1 X2)( Xf 1 X； 1 X1 x2 由100 X 3 1010，得 3 108， 两边取以 10 为底的对数，得 xlg弓 2 2 2 8 8 8 X 45.45， ig ig2 lg3 lg 2 0.477 0.301 X 45.45.