圆幂定理和托勒密定理

1、板块1.圆哥定理例1.如图，AB为圆。的直径,PA=3, PD : DB = 9 ： 16,则PA为圆O的PD =切线，PB与圆O相交于D.若;AB=.CT交于点D, CD=2 ,例2如图，PT切。于点T, PA交。于A、B两点，且与直径AD=3 , BD=6 ,求 PB 的值.例3自圆O外一点P引圆的一条切线 PA,切点为A, M为PA的中点，过点 M引圆的割 线交圆于 B, C两点，且/ BMP = 100°, / BPC=40°.求/ MPB的大小.例4如图，在平行四边形 ABCD中，过A、B、C三点的圆交 AD于点E,且与CD相切,若AB=4 , BE=5 ,求DE

2、的长例5 如图所示，已知 PA与。相切，A为切点，PBC为割线，弦CD/AP, AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且 DE2=EFEC.(1)求证：/ P=/EDF;(2)求证：CEEB=EFEP;若 CE : BE=3 : 2, DE = 6, EF=4,求 PA 的长.例6如图， ABC内接于。O, AB是/ O的直径，PA是过A点。O的切线，弦CD交AB 于 E, CD 的延长线交 PA 于 F, AC=8 , CE : ED=6 : 5, AE : BE=2 : 3,求 AB 的长.练习:1.如图,PT是。的切线，T为切点，PB是。的割线，交。于A、B两点，交弦 CD已知 CM=1

3、0 , MD=2 , PA=MB=4 ,则 PT 的长为2.如图,PAB、PCD 为。的两条割线，若 PA=5, AB=7 , CD=11 ,贝U AC: BD=3.如图,AB是。的直径，C是AB延长线上的一点， CD是。的切线,D为切点，过点B作。O的切线交CD于点F,若AB=CD=2 ,则CE=(第IK)逸I第3咽4.如图，AB是。的直径，弦CD_LAB,垂足为E, P是BA延长线上的点，连结PC交。O 于F ,如果PF =7, FC =13 ,且PAAE EB241那么CD的长是5.如图，BC是半圆。的直径,的延长线上，AB与半圆交于D,6.如图，O O的弦AB平分半径OC,交OC于P点

4、,方程x2 -12x +24 =0的两根，则此圆的直径为 (B. 6d2C. 4G 27.如图，BCBC于点D.若/ B=30 °已知PA、PB的长分别为且 AB=8, AE =2 ,EF _L BC 于点 F ,是半圆的直径，。为圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点,问AB与AP是否相等？请说明理由;(3)若 BD: DC=4: l,且 BC = 10,求 PC 的长.A, AD ±(2)求证：PD PO=PC PB;8.如图， ABC中，/ C=90°，。为AB上一点，以。为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点E,与AC相切于点BC=9.如图，已知 A、B

5、、C、D在同一个圆上,AC=8 , CD=4 ,且线段BE、ED为正整数，则BD=BC=CD , AC与BD交于E,若D,已知AD=2 , AE=1 ,那么10.如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PA切半圆于点 A, AH，BC 于 H,若 PA=1 , PB+PC= a ( a >2),贝U PH=( )B.C.D.11.如图， ABC是OO的内接正三角形，弦 EF经过BC的中点D,且EF / AB ,若 AB=2 ,贝U DE 的长为(C.D. 112.如图，PA、PB是。的两条切线,PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE=2,CD=1 ,求DE的长.板块2.托勒密定理

6、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.口口 设四边形ABCD内接于圆，则有：AB CD +AD BC = AC BD ；定理：在四边形 ABCD中，有：AB CD + AD BC > AC BD 并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立；例1. 如图，在 ABC中，/A的平分线交外接/圆于D,连结BD,求证:AD BC=BD(AB + AC).例 2.已知 a、b、cMAABC 的三边，且 a2=b(b + c),求证：/ A=2/B.例 3 在4ABC 中，已知/ A ： / B ： / C=1 ： 2 ： 4,求证:1 1 1- + = AB AC BC2.过圆外一点圆于C、例 4 若 a、b、x、y 是实数，且 a2+b2=1, x2+y2=1.求证：