(word完整版)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案,推荐文档

1、抛 物 线 y2 2px (P 0) y ( 2 2px p 0) x ( y 1 X. 0 2 2py p 0) 工 x l x2 (p y F 2py )0) - 1 定义 平面内与一个定点F和一条定直线 1 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫 做抛物线的焦点，直线 1 叫做抛物线的准线。 M |MF|=点 M 到直线 1 的距离 范围 x 0, y R x 0, y R x R, y 0 x R, y 0 对称性 关于x轴对称 关于y轴对称 隹占 八、 、 八、 、 (少0) (l0) （。自 (0,自 焦点在对称轴上 顶点 0(0,0) 离心率 e=l 准线 方程 x 2 x号 y

2、号 y 1 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准 线的距离 卫 2 焦点到准 线的距离 P 焦半径 A( xi, yi) AF x1 2 AF x1 卫 2 AF y11 AF %子 焦点弦 长 |AB| (xi X2) p (Xi x2) p (yi y2)p (yi y2)p 焦点弦 |AB|的几 条性质 A(Xi,yJ BXy) - o y dLx XX2，y2 以AB为直径的圆必与准线 1 相切 若AB的倾斜角为 ，则|AB 2p 2 sin 若AB的倾斜角为 ，贝AB 2p cos 2 P 2 x/2 yM p 4 1 1 AF BF AB 2 AF BF AF ?B

3、F AF ?BF p 切线 方程 yy P（X Xo） yy p（X Xo） XoX p（y y。） XoX p（y y。） 直线与抛物线的位置关系 抛物线(1) 当 k=0 时，直线 I 与抛物线的对称轴平行，有一个交点; (2) 当 kM 0 时， 0,直线 I 与抛物线相交，两个不同交点；2 点差法: 设交点坐标为 A(xi, yi)， B(x2,y2)， =0,直线 l 与抛物线相切，一个切点； v 0,直线 l 与抛物线相离，无公共点。 (3)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗 (不一定) 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线 I : y kx b 抛物

4、线 联立方程法： y kx b 2 2 2 2 k x 2(kb p)x b 0 y 2px ，(p 0) 设交点坐标为 A(xi,yj, B(X2,y2)，则有 0,以及为 X2,XiX2 ，还可进一步求出 y1 y2 k b kx2 b k(x1 x2) 2b 2 2 yiy2 (kxi b)(kx2 b) k X1X2 kb(xi X2) b 在涉及弦长， 中点， 对称， 面积等问题时， 常用此法， 比如 相交弦 AB 的弦长 1. b. AB i k2 Xf / i AB 屮討 或 yi 中点 M (x, y), X0 i k (Xi X2)2 4xix2 i k2 X2 yi 厂，y

5、0 “2 处2 * a 代入抛物线方程，得 2 yi 2pxi 2 y2 2px2 将两式相减，可得 （yi y2）（% y?） 2p（xi x?） yi y? 2p Xi X2 yi y? （注意能用这个公式的条件：i）直线与抛物线有两个不同的交点, 在，且不等于零） 抛物线练习及答案 i、已知点 P 在抛物线 y2 = 4X上，那么点 P 到点 Q（2，- i）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之 和取得最小值时，点 P 的坐标为 。 /1 ，-1) 4 2、已知点 P 是抛物线y2 2x上的一个动点，则点 P 到点（o，2）的距离与 P 到该抛物线准线的 距离之和的最小值为 .i7 。 2

6、 2 3、 直线y X 3与抛物线y 4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分 别为P,Q，则梯形APQB的面积为 _ 。 48 2 uur 4、 设0是坐标原点，F是抛物线y 2px（p 0）的焦点，A是抛物线上的一点， FA与x轴正 b.在 涉 及中点 轨迹 问 题 时，设线段AB的 中 点为 M（xo，yo）， yi y2 2p 2p p Xi X2 yi y2 2 yo yo 即k AB E yo 同理，对 【寸抛物线X2 2py( p 0)， 若直线 I 与抛物线相父于 A、 B 两点，点 M (Xo, yo) kAB 2p yi y2 a.在涉及斜率问题时, 是

7、弦AB的中点，则有kAB Xi X2 2p 2xo 2p Xo p 2）直线的斜率存 uuu 向的夹角为60，则OA为 _ 。 5、 抛物线y2 4x的焦点为F，准线为I，经过F且斜率为-3的直线与抛物线在 x轴上方的部 分相交于点A , AK 丄 l，垂足为K ,则 AKF的面积是 _ 。 4、3 6、 已知抛物线C : y2 8x的焦点为F ,准线与x轴的交点为K ,点A在C上且AK J2|AF 则AFK的面积为 _ 。 8 x2 y2 7、 已知双曲线 1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程 4 5 为 _ 。 8、 在平面直角坐标系 xoy中，有一定点 A(2,1)

8、,若线段0A的垂直平分线过抛物线 y2 2px(p 0)则该抛物线的方程是 _ 。 9、在平面直角坐标系 xoy中，已知抛物线关于 x轴对称，顶点在原点 0，且过点 P(2，4)，则该抛 4 。 3 11、已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(X1,y1),B(X2,y2)两点，贝U y12+y22的最小 值是 。32 12、若曲线y2 = |x|+ 1 与直线y = kx + b没有公共点，则 k、b分别应满足的条件 (1)证明线段AB是圆C的直径; 物线的方程是 。y2 8x 10、抛物线y x2上的点到直线4x 3y 8 0距离的最小值是 是 13、 已知抛

9、物线 _。k=0,-1 b1 y-x2+3 上存在关于直线 x+y=O 对称的相异两点 A、B ,则 |AB| 等于( )C A.3 B.4 14、 已知抛物线 y2 2px(p 0)的焦点为 F，点 P, yj, P2(x2，y2 ) ， P3(x3, y3 )在抛物线 上, 且 2x2 x( X3 , 则有( A. FR FP2 FR 15、 FP3 FP3 已知点 A(x(,yi),B(X2,y2)(XiX2 向量 uuu 一 一 ,OB 满足 OA OB E. D. FP1 FP2 0)是抛物线 FP2 FP3 FPr FP3 y2 2 px(p 0)上的两个动点，0是坐标原点， uu

10、u uuu uuu 0A uuu OB .设圆C的方程为x 2 y (为 X2)x (y1 y2)y 0。 的值。 uuuu uuu u uu 解： (1)证明 1： Q OA OB OA OB (OA uuu uuu uuu uuu uuu2 uuu uuu uuu2 OA 2OA OB OB OA 2OOB OB uuu 2 OB) uu (OA uuu 2 OB), uuu ,整理得：OA UULT OB 0 , X1 X2 y1 y2 0 , 的距离的最小值为 当圆 C 的圆心到直线 x-2y=0 2 LUU LUIT 设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点，则MA M

11、B 0 , 去分母得：(x Xi)(x X2) (y yi)(y y?) 0, 点(Xi, yi),(Xi, y2),( X2,yi)(X2, y?)满足上方程，展开并将(1)代入得: 2 2 X y (Xi X2)X (yi y2)y 0， 故线段AB是圆C的直径。 以线段 AB 为直径的圆的方程为 故线段AB是圆C的直径 解法 i:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 x-i x2 X 2 yi y2 y V 2 2 Q yi 2pxi, y2 2px2(p 0), XiX2 2 2 yi y2 厂，又因Xi X2 yi 4p y2 0, Xi X2 0, yi y2 0, yi y2 4

12、p2, 即(x xi)(x X2) (y yi)(y y?) 0, LLL 111x1 证明 2： Q OA OB OA OB ,(OA LLL LLL 2 UUU2 OA 2OA OB OB OA 2OA OB Xi X2 yi y2 0 .(i) 2 2 整理得：X y (Xi X2)X (yi y2)y 0, OB) lUU (OA OB), UUU2 OB ，整理得 LLL :OA LILT OB 0, 1(x x1, x x2), UUL UUL 证明 3: Q OA OB LLL2 LLL LLL OA 2OA OB LILL 整理得：OA OB UUL OA 2 OB 10! O

13、B UUU2 X-I X2 inL 2 ILL ILL 2 (OA OB)2 (OA OB)2， 2OA OB UUU2 OB， yi y2 0(i) Xi Xn 2 (x (y yi y2 i 4(Xi 2 2 X2) (yi y2), 展开并将(i)代入得：x2 y2 (Xi X2) (yi y2)y 0， 故线段AB是圆C的直径。 设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则即 乞上 匕一 x x2 x x1 x-i x2 i 2 2 i 2 x 丁 4-p(yi y2) 4p(yi y22 2y2) 晋丄(y2 4p p 2p2)， 所以圆心的轨迹方程为 y2 px 2p2， 设圆心 C

14、 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则 i 2 2 |-(y2 2p2) 2y| d |x 2y| p | d .5 2 2 y 2py 2p | 、5p |(y_P)2_ 、.5p p2| 当 y=p 时,d 有最小值 p ,由题设得匕 45 45 2、5 _5- p 2. 解法 2:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 X-I x2 X 2 yi y2 2 2 Q yi 2 2pxi, y2 2px2(p 0)， X1X2 2 yi y2 4p2 ,又因Xi X2 yi y2 0，为 X2 yi 2 2 y2 等，QXi X2 0, yi y2 yi y2 4p2， X2 i 2 2 厂

15、 47(yi y) 4p(yi2 2 y2 2yiy2) 4p i 2 2 (y 2p)， p 所以圆心的轨迹方程为 y2 px 2p2， 2J5 设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为 ,则m 5 2 2，因为 x-2y+2=0 与 y px 共点, 所以当 x-2y-2=0 与y2 px 2p2仅有一个公共点时，该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为 yi y2， 2 2 p无公 2.5 5 x 2y 2 0L y2 px 2p2L 将代入得y2 2py 2p2 2p 0， 4p2 4(2 p2 2p) 0 2. 解法 3:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 x-i

16、x2 2 yi y2 2 -(yi y2)I _2 _ ：5 4、5p 点坐标为（,0）,该焦点不在直线 AB 上. i6 （2）解法一 当 C2的焦点在 AB 时，由（I）知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y k（x i）. y k(x i) 由 x2 y2 消去 y 得(3 4k2)x2 8k2x 4k2 i2 0 4 3 设 A、B 的坐标分别为（Xi,yi） , （X2,y2）, 8k 2 则 Xi,X2是方程的两根， Xi + X2= . 3 4k 因为 AB 既是过 Ci的右焦点的弦，又是过 C2的焦点的弦,(yi y2 2p)2 4p2 当yi y2 2p时,d有

17、最小值.；，由题设得-p_ 2,5 5 P 2. 2 x i6、已知椭圆 Ci：- 4 2 y_ 3 i,抛物线 C2： (y m)2 2px(p 0),且 Ci、 C2的公共弦 AB 过椭圆 Ci 的右焦点. （1） 当 AB 丄x轴时，求m、 （2） 是否存在 m、p的值, 值；若不存在，请说明理由 解：（i）当 AB 丄 x轴时, p的值，并判断抛物线 使抛物线 C2的焦点恰在直线 AB 上？若存在, C2的焦点是否在直线 AB 上； 求出符合条件的 点 A、B 关于 x轴对称，所以 m= 0,直线 AB 的方程为 x=i，从而点 A 的坐标为（i ,-）或（i,-）.因为点 A 在抛物

18、线上，所以-2 p，即 p 2 .此时 C2的焦 2 2 4 8 圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则 Qyi2 2pxi, x1x2 2 2 Vi y -，又因 Xi X2 yi y2 0, 4p X| x2 yi y2, yi 2 2 y2 带,QXi X2 0, yi y2 2 0, yi y2 4p , i 2 2 I47(yi y2) (yi y2)| I yi2 2%y2 4p(yi y?) 8p2 | 1 1 所以 AB (2 X1) (2 X2) 4 2(X1 X2)，且 A (X, f) (X2 亍) X1 2 从而 X1 X2 p 4 如 X2). 所以 X1

19、4 X 2 6p ，即- 8k2 3 3 4k 解得 k2 6,即 k 向 X2 2 因为 C2的焦点 2 (,m)在直线 3 _6 3 . y k(x 1)上，所以 m 解法 、6 十 或 m 3 6时，直线 AB 的方程为y 3 时，直线 AB 的方程为y 、-6(x 1). 3 当 为 、6(x 1)； C2的焦点在 AB 时，由(I)知直线 AB 的斜率存在，设直线 y k(x 1). 由(y m)2 k(x 8 3 x消去 y 得(kx k 1) m)2 AB 的方程 因为 C2的焦点 F(|，m)在直线y k(x 1)上, 所以 m 即 k2x2 2 1 2k o k(- 1)，即

20、 m k .代入有(kx ) 3 3 3 4 2 4k2 (k 2)x 0. 3 9 设 A、B 的坐标分别为(X1,y1) , (X2,y2), 2 4(k 2) 2 . 3k2 则 X1,X2是方程的两根，X1 + X2 = y k(x 1) 由 x2 y2 消去 y 得(3 4k2)x2 J 1 4 3 8k2x 4k2 12 由于 Xl,X2也是方程的两根，所以 8k2 X1 + X2= - 2 . 3 4k 从而 2 4(k2 2) 3k2 因为 C2的焦点 喚解得k2 3 4k 2 F (一，m)在直线 y 3 -6 3 . k(x 1)上，所以 m - 6 卡 或 m 3 6时，

21、直线 AB 的方程为y i6(x 1)； 3 当 m 仝时 ，直线 AB 的方程为y V-（x 1）. 3 解法三 设 A、B 的坐标分别为（X1,y1） 由 （I） 知 x1 x2，于是直线 AB 的斜率k y2 y1 m 0 3m , 2 1 3 X2 X1 且直线 AB 的方程是 y 3m(x 1), 所以y1 y2 3m(x1 X2 2)迥 3 又因为 3xj 3xf 2 4y12 12，所以 3(X1 4y； 12 X2)4( y1 y2) y2 X2 y1 0 X1 将、 ,(X2,y2) 因为 AB 既过 Ci的右焦点 F（1,0），又是过 C2的焦点 2 ,m)， 所以|AB

22、(Xi (X2 夕） X1 X2 p (2 2Xi) 1 (2 X2). 2 即 x1 x2 |(4 p) 19 3 9 、代入得 m2 2，即 m 3 时，直线 AB 的方程为y 3 6 -时，直线 AB 的方程为y 3 -6(x i)； 1). 17、如图，倾斜角为 a 的直线经过抛物线 y2 8x的焦点 F， 且与抛物线交于 A、B 两点。 2 答（21）图 （2）解法一：如图（21）图作 AC 丄 I, BD 丄 I，垂足为 C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记 A、B 的横坐标分别为 Xxxz, 则 |FA|= |AC| = xx p | FA |

23、cos a 夕|FA|cosa 4解得 4 |FA| E， 类似地有 | FB | 4 |FB|cosa , 解得| FB | 4一 1 cosa 记直线 m 与 AB 的交点为 |FE| |FA| |AE| |FA| E,则 |FA| |FB| 1(|FA| |FB|) 4 1 cosa 所以|FP| 匹1 。故 |FP| cosa sin a | FP|cos2a (1 sin a cos2a) 4 1 cosa 2 4 -2sin a 4 cos a .2， sin a 解法二：设 A(XA，yA)，B(XBB)， 直线 AB 的斜率为 k 将此式代入 y2 8x,得 k2x2 4(k2

24、 2)x 4k2 0，故 XA 记直线 m 与 AB 的交点为 E(xE,yE)，则 sin2 a tana，则直线方程为 XB 2 k(k2 2) k(x 2)。 XE雪B斗 2 k2 yE k(XE 2) 4 匚，故直线m的方程为 2k2 4 令 y=o,得 P 的横坐标 xP 从而 |FP| | FP |cos2a 2k2 4 4(k2 1) 2 4 故|FP | XP 2 2 2 。 k k sin a 4 (1 cos 2a) sin a 2 4 -2sin a 2 8 为定值。 sin a 18、已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线 内接圆（点C为圆心） （1）求圆C的方程； (

25、2)设圆M的方程为(x 4 7cos )2 (y 2 y 2x上，其中O为坐标原点，设圆 C是OAB的 7cos ）2 1，过圆M上任意一点P分别作圆C的 uuu uuu 两条切线PE, PF，切点为E, F，求CE,CF的最大值和最小值. （1）解法一：设 A B两点坐标分别为 2 专,y2 ，由题设知 2 2 y1 2 2 72 2 2 y1 y2 2 2 2 y1 y2 2 2 (y1 y2)2 . 解得 y； y； 12，所以 A(6,2、3) B(6, 2巧)或 A(6, 243 , B(6,23). 2 设圆心C的坐标为(r,0)，则r - 3 所以圆C的方程为(x 4)2 y2

26、16 . 解法二：设 A, B两点坐标分别为(治, yi)， (x2, y2)，由题设知 2 2 2 2 2 X1 y1 X2 y2 又因为 y1 2为, 2 y2 2 2 2x2，可得 x1 2x1 x2 2x2 .即 (x1 x2)(x-i x2 2) 0 .由 X| X2 0 ,可知x1 X2，故A, B两点关于x轴对称, 所以 圆心C在x轴上.设C点的坐标为 (r ,0),则A点坐标为 |r,亍，于是有 .3 r 2 解得r 4，所以圆C的方程为(x 4)2 y2 16. uuu uuu (2)解：设 ECF 2a，贝y CEgCF mu umr |CE |gCF |gcos2 16c

27、os 2 2 32cos 16. 在 RtA PCE 中, cos x 4 HPCI 两，由圆的几何性质得 |PC | |MC | 1 7 1 6 , uuu UULT 16 uuu uuu 由此可得 8 CEgCF 贝y CEgDF 9 1 所以一2. (1) 证明：点 P (X0,0)的所有 相关弦”的中点的横坐标相同； (2) 试问：点 P (X0,0)的相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在, 若不存在，请说明理由. 解：(1)设 AB 为点 P (X0,0)的任意一条 (X1 X2)，则 y21=4x1, y22=4x2,两式相减得( 的最大值为 9 ，最小值为 y2=4x 上的不同

28、两点，弦 AB (不平行于 y 轴) P 的一条 相关弦”已知当 x2 时，点 P (x,0) X 轴相交于 存在无穷多条 相关弦”给定 的垂直平分线与 求其最大值(用 X0表示)： 相关弦”且点 A、B 的坐标分别是 .因为 X1 y1+y 2) ( y1-y2)=4 (X1_X2) (x1,y1) (X2,y2) X2,所以 y1+y2 0. 设直线 AB 的斜率是 k，弦 AB 的中点是 M (Xm, ym),贝卩 k= y1 y X1 x2 从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y ym y1 y2 ym 又点 P (X0,0)在直线|上，所以 ym 号(X Xm). 2 ym (

29、、 m(X0 Xm). 2 而ym 0,于 是xm X0 2.故点 P (X0,0)的所有 相关弦”的中点的横坐标都是 X0-2. 由(1)知，弦 AB 所在直线的方程是 y ym k(x Xm)，代入y2 4x 中, 整理得 k2-2 2k(ym k-m) 2X (ym kXm)2 0. 则为、x2是方程()的两个实根，且 x1 (ym kXm)2 k1 设点 P 的 相关弦” AB 的弦长为 I，则 l2 2 (X1 X2) (yi 2 2 y2) (1 k )(X1 X2)2 (i k2)(X X2)2 4(1 (ym 2 ym)(4Xm 2 2 4(Xm 1) ym 2(Xm 1) (

30、4 y：) 2 - 4X2 4(1 k2)(Xm2 2 2 -m) ym 4 2 ym ym 4ym(m 2 4(-0 XM) I I 2 因为 0 ym 3,则 2(xo-3) (0, 4X0-8),所以当 t=2(xo-3),即 ym=2(x0-3)时,i 有最大值 2(X0-1).若 2X03 时，点 P 2 X0 3 时，点 P ( X0,0)的 (0，4 X0-8)上是减函数，所以 2 Ol20)的焦点为 F,准线为 I，经过 F 的直线与抛物线交于 A B 两点，交准线于 C 点，点 A 在 x 轴上方，AKll，垂足为 K,若|Bq 二 2|BF，且| A” =4,则AAKF 的

31、面积是 ( ) A. 4 B . 3 3 C . 4 3 D . 8 例 4、过抛物线 y2 = 2px( p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 若|Bq 二 2|BF，且|AF 二 3 则此抛物线的方程为 ( ) 联立方程组 4x, my 1, 消去x得: 2 (4m) 12 0,故 * y2 4m, y2 4. uur UH ujir uuj 由MA 1AF , MB 2BF 得: 2 2 y1 1Y1 y2 2Y2， 整理得 m m 2 2 1 1 2 1 my1 my2 2 1 1 m y1 y2 2 4m A B,交其准线 I 于点 C, A. y2 二 |x B. y2= 9x C

32、 . y2=|x D y2 4my 4 0, 1 2 m y2 2 三、抛物线的综合问题 例 5、(2011 江西高考)已知过抛物线2px(p0)的焦点，斜率为 2 2 的直线交抛 物线于 A(xi，yi)，B(x2，y2)( X1VX2)两点，且 | AB = 9. (1) 求该抛物线的方程； uuu uuu uuu (2) 0 为坐标原点，c 为抛物线上一点，右 OC = OA +入OB，求入的值. 例 6 (2011 湖南高考)(13 分)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴 的距离的差等于 1. (1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2) 过点 F

33、作两条斜率存在且互相垂直的直线 丨1，12,设丨1与轨迹 C 相交于点 A，B， uuu uuu 12与轨迹 C 相交于点 D, E,求 AD EB 的最小值 例 7、已知点 M1，y)在抛物线 C： y2 = 2px(p0)上, M 点到抛物线 C 的焦点 F 的距离 1 为 2，直线 I : y = x + b 与抛物线 C 父于 A, B 两点. (1)求抛物线 C 的方程； 若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的方程. 例题答案解析 一、抛物线的定义及其应用 例 1、(1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是 x= 1. 由抛物线的定义知：点 P 到直线 x 二一 1

34、 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离. 于是，问题转化为：在曲线上求一点 P,使点 P 到点 A 1,1)的距离与点 P 到 F(1,0) 的距离之和最小.显然，连结 AF 交曲线于 P 点，则所求的最小值为| AF，即为寸 5. 如图，自点B 作 BQ 垂直准线于 Q,交抛物线于点 P1,则|P1Q 二| P1F|.则有|PB| + |PF | P1B| + |P1Q = |BQ = 4.即 |PB + |PF| 的最小值为 4. 例 2、解析：圆心到抛物线准线的距离为 p,即 p= 4,根据已 知只要|FM|4 即可.根 据抛物线定| FM = y0+ 2 由 y0 + 24,解得 y0

35、2,故 y0 的取值范围是(2 , ). 二、抛物线的标准方程和几何性质 例 3、设点 A(X1,1)，其中 y10.由点 B 作抛物线的准线的垂线，垂足为 B1.则有| B” | BB| 1 n =| BB| ；又 | CB = 2| FB，因此有 | CB = 2| BB| , cos/ CBB =帀不=2，CBB= n p n f 即直线 AB 与 x 轴的夹角为亍又|AF = |AK| = X1 + 2= 4,因此 y 4s in3 = 2p3,因 1 1 此AAKF 的面积等于 2|AK y1 = 2X 4X 2 曲=4 百. 例 4 .分别过点 A、B 作 AA、BB 垂直于 I，

36、且垂足分别为 A1、B1,由已知条件| Bq = 2|BF 得| Bq = 2|BB| ,/ BCB= 30，又 | AA| = | AF| = 3, 二 | Aq = 2| AA| = 6,二 | CF| = | Aq | AF| = 6 3= 3,二 F 为线段 AC 的中点.故点 F 1 3 到准线的距离为 p = q|AA|= 2,故抛物线的方程为 y2= 3x. 三、抛物线的综合问题 例 5、(1)直线 AB 的方程是 y = 2 2(x |)，与 y2= 2px 联立，从而有 4x2 5px+ p2 = 0, 5p 所以：X1 + X2= 4，由抛物线定义得：| AB = X1 +

37、 X2+ p= 9, 所以 p= 4,从而抛物线方程是 y2= 8x. 由 p = 4,4X 5px+ p2 = 0 可简化为 X 5x+ 4= 0,从而 Xi= 1, X2= 4, yi= 2 : 2, y2 = 4 :2,从而 A(1 , 2 ,B(4,4 ：2); uuu 设 OC =(X3, y3)= (1 , 2 羽)+ 入(4,4 x/2) = (4 入 + 1,4 眉入-2/2). 又 y3= 8X3,即2 ：2(2 入1) 2= 8(4 入 + 1). 即(2 入1)2 = 4 入+ 1.解得X = 0,或入=2. 例 6 (1)设动点 P 的坐标为(x, y)，由题意有、；x

38、 1 2+ y2 | x| = 1.化简得 y2= 2x + 2|x|. 当 x0 时，y2 = 4x；当 x0)和 y= 0(x8 + 4X2 k2 2= 16. uuu uuu 当且仅当 k2= 1，即 k = 1 时， AD - EB 取最小值 16. 2 p 例 7、(1)抛物线 y = 2px( p0)的准线为 x = 2，由抛物线定义和已知条件可知 p p o I MF = 1 ( 2)= 1 + 2= 2,解得 p= 2,故所求抛物线 C 的方程为 y= 4x. 1 u y = x+ b, 2 联立 2 消去 x 并化简整理得 y2 + 8y 8b = 0. y2= 4x 依题意

39、应有= 64 + 32b0,解得 b 2.设 A(x1, yj , B(x2, y?),则 y1 + y2= 8,4 4 . 一 、 Xi+ X2 yi + y yiy2= 8b,设圆心 C(Xo, yo)，则应用 Xo= 2 , y0= 2 =一 4. 因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，所以圆的半径为 r = | y| = 4. 又| AB = ： Xi X22 + yi y22 = ； 1 + 4 屮一y 2= ；5_ yi+y 24yy=75 64+ 32b _ 8 所以| AE| = 2r = ；5 64+ 32b = 8,解得 b= 5. 48 所以 Xi + X2 = 2b

40、2yi+ 2b 2y2 = 4b + 16=5- 一 24 24 2 2 则圆心 Q 的坐标为(5, 4).故所求圆的方程为(X -5) + (y+ 4) = 16. 练习题 1.已知抛物线 x2= ay 的焦点恰好为双曲线 y2 x2=2 的上焦点，则 a 等于 ( A. 1 B. 4 D. 16 2.抛物线 y = 4X2上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是 ( 17 A一亦 15 B一亦 C. 7_ 16 15 D.亦 3. (2011 辽宁高考)已知 F 是拋物线 y2= x 的焦点, + | BF = 3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 ( A, B 是该拋

41、物线上的两点, |AF| A. B. 1 C. 7 4.已知抛物线卄2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 （ ） A.相离 B.相交 C .相切 D 不确定 5. （2012 宜宾检测）已知 F 为抛物线 y 2 = 8x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交抛物 线 于 A 、 两点 ， 则 | FA |FB | 的值等于 ( )A . 4 2 B. 8C. 8 2 D. 16 6. 在 y = 2x2上有一点 P,它到 A（1,3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点 P的 坐标是 ( ) A. ( 2,1) B. (1,2) C .(2,1) D.( 1,2) 7.

42、设抛物线 y2= 8x 的焦点为 F,准线为 l , P 为抛物线上- 一占 八、PAL l , A 为垂足.如 果直线 AF 的斜率为Q3,那么| PF| = ( ) A. 4 3 B .8 C .8 3 D .16 8. （2011 陕西咼考）设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x= 2，则抛物线的方程 是 ( ) A. y2= 8x B . y2 = 8x C . y2= 4x D . y2 = 4x 9. （2012 永州模拟）以抛物线 x2= 16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的 方程为 _ . 10. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，抛物线上一点 Q 3, m）

43、到焦点的距 离是 5,则抛物线的方程为 _. 11. 已知抛物线 y2= 4x 与直线 2x + y 4= 0 相交于 A、B 两点，抛物线的焦点为 F,那 uuu uuu 么 I FA | + | FB | = _ . 12. 过抛物线 y2= 4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x1，y1），B（x2， y 2）两点，若 x1 + x2= 6,那么| AB 等于 _ 13. 根据下列条件求抛物线的标准方程： （1） 抛物线的焦点是双曲线 16 x2 9y2= 144 的左顶点； （2） 过点 P（2 , 4）. 14已知点 A 1,0)，B(1， 1)，抛物线 C： y1 2 = 4x，O

44、为坐标原点，过点 A 的动直 uuur uuu 线 I 交抛物线 C 于 M P 两点，直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q 若向量 OM 与 OP 的夹 n 角为玄，求 POM勺面积. 练习题： 1 解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题 a 意则有=2 解得 a = 8. 4 2 y 1 2解析：抛物线方程可化为 x = 4,其准线方程为 y=屁.设 M：x。，y。)，则由抛物线 1 15 的定义，可知 花y0= 1?y= 花. 1 3.解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段 AB 中点到 y 轴的距离为：2(1 AF| 1 +1 BF|)

45、= 2i AB =半径，故相切. 1 + |BF） - 2= 3_ 23_ 2 4解析：设抛物线焦点弦为 AB,中点为 M 准线 I , A、Bi分别为 A B 在直线丨上的 1 1 射影，则 | AA| = | AF| , | BB| = | BF|，于是 M 到 I 的距离 d=-(| AA| + | BB|) = ?(l AF| 12x + 4 = 0.设心，y”，盼,y?），则 | FA| | FB| =1（X1 + 2） （X2+ 2）| = “一 X2I = ,（X1+ X2）2 4X1X2= . 144 16= 8 , 2. 6. 解析：如图所示，直线 I 为抛物线 y = 2x2的准线，F 为其焦 点，PN 丄 I , AN 丄 I，由抛物