(word完整版)椭圆知识点总结及经典习题,推荐文档

1、1 圆锥曲线与方程-椭圆 知识点 椭圆及其标准方程 1 椭圆的定义：平面内与两定点 F1, F2距离的和等于常数 2a 圆，即点集 M=P| |PF i|+|PF 2|=2a , 2a|FiF2|=2c; 这里两个定点 Fi, F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2 标准方程: 2 2 . 2 cab (2a F1F2 时为线段 F1F2, 2a F1F2无轨迹)。 焦点在 x 轴上: 焦点在 y 轴上: 2 X 2 a 2 y 2 a 2 y 1 .2 1 (a b 0)； F ( c, 0) b 2 x 彳 1 (ab0)； F (0, c) b 注意：在两种标准方程中，总有 a

2、 b 0,并且椭圆的焦点总在长轴上; 两种标准方程可用一般形式表示: x2 2 1 或者 mx2+ny2=1 n 椭圆的简单几何性质: 1.范围 (1)椭圆 2 X 2 a 2 1 (a b 0)横坐标-a x a ,纵坐标-b xb0) 横坐标-b x b,纵坐标-a x a b2 2.对称性 椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 (1)椭圆的顶点：A1 (-a , 0), A (a, 0), B (0, -b), B2 (0, b) (2)线段 AA, BB2分别叫做椭圆的长轴长等于 2a,短轴长等于

3、 2b, a 和 b 分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。 4 .离心率 F1F2的点的轨迹叫做椭 2 e 0是圆; 越接近于 0 (e 越小)，椭圆就越接近于圆 e 越接近于 1 ( e 越大)，椭圆越扁； 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关 小结一：基本元素 (1) 基本量：a、b、c、e、(共四个量)， 特征三角形 (2) 基本点：顶点、焦点、中心(共七个点) (3) 基本线：对称轴(共两条线) 5 椭圆的的内外部 6. 几何性质 (2)最大距离，最小距离 7. 直线与椭圆的位置关系 (1) 位置关系的判定：联立方程组求根的判别式; (2) 弦长公式：_ (3)

4、 中点弦问题：韦达定理法、点差法(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比 2c，即-称为椭圆的离心率, 2a a , 2 记作 e ( 0 e 1), e (1)点 P 在椭圆上, 最大角 F1PF2 max F1B2F2 , (1)点P(x), yo)在椭圆 2 y_ b2 1(a b 0)的内部 (2)点P(x),y)在椭圆 2 x 2 a 2 y b2 1(a b 0)的外部 2 x 2 a 2 -2 a y2 1 孑1 2 乌1 b2 3 例题讲解： 一.椭圆定义： 1 方程. x 2 2 y2 . x 2 2 y2 10 化简的结果是 _ 2若 ABC 的两个顶点 A 4,0 ,B 4,0

5、 , ABC 的周长为18，则顶点C的轨迹方程是 _ 2 =1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 9 二利用标准方程确定参数 2 2 1. 若方程 厶 +丄 =1 (1)表示圆，则实数 k 的取值是 5 k k 3 (2) _ 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 _ . _ (3) _ 表示焦点在 y 型上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 _ . _ (4) _ 表示椭圆，则实数 k 的取值范围是 . 2. 椭圆4x2 25y2 100的长轴长等于 _ ，短轴长等于 _ ,顶点坐标 是 _ , _ 焦点的坐标是 _ , _ 焦距是 _ 离 心率等于, _ 2 2 3. 椭

6、圆-1的焦距为 2，则 m= _ 。 4 m 4. 椭圆5x2 ky2 5的一个焦点是(0,2)，那么k _ 。 三待定系数法求椭圆标准方程 1 若椭圆经过点(4,0)，(0, 3)，则该椭圆的标准方程为 _ 。 2焦点在坐标轴上，且a2 13，c2 12的椭圆的标准方程为 _ 3. 焦点在 x 轴上，a: b 2:1， c ,6 椭圆的标准方程为 _ 4. 已知三点 P (5, 2)、F1 (-6，0)、F2 (6，0)，求以F1、F2为焦点且过点 P 的椭圆的标 x2 3.已知椭圆一+ 16 3,则 P 到另一焦点距离为 _ 4 准方程； 变式：求与椭圆4x2 9y2 36共焦点，且过点(

7、3, 2)的椭圆方程。4 5 四焦点三角形 2 2 1 椭圆 仝1的焦点为 F,、F2 , AB 是椭圆过焦点 F,的弦，则 ABF2的周长是 。 9 25 - 2设Fi , F2为椭圆 16x2 25y2 400 的焦点，P 为椭圆上的任一点，贝U PF1F2的周长是多 少？ PFi F2的面积的最大值是多少？ 2 2 3设点 P 是椭圆 孔1上的一点，Fi,F2是焦点，若 EPF?是直角，贝U F1PF2的面积 25 16 为 _。 变式：已知椭圆 9x2 16y2 144，焦点为F1、F2，P 是椭圆上一点. 若 F1PF2 60， 求PF1F2的面积. 五. 离心率的有关冋题 2 2

8、1 1. 椭圆乂 1的离心率为-，则 m 4 m 2 2. 从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 1200，贝吐匕椭圆的离心率 e 为 _ 3. 椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，贝 U 椭圆的离心率为 _ 4. 设椭圆的两个焦点分别为 R、F2,过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 卩，若厶 FPF 为等腰 直角三角形，求椭圆的离心率。 5. 在厶 ABC 中，A 30,|AB| 2,S ABC 3 .若以A B为焦点的椭圆经过点C ,贝U该椭圆 的离心率 e _ . 六、最值问题： 2 1、已知椭圆一寸1，A（1，0），P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 4 值 _。 最

9、小 6 1两焦点为 R、F2,点 P 在椭圆上，则|PF1| |PF2|的最大值为2.椭圆 7 七、弦长、中点弦问题 1、已知椭圆4x2 y2 1及直 y x m 线. (1) 当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ (2) 若直线被椭圆截得的弦长为 仝卫，求直线的方程. 5 2 2已知椭圆7 y2 1， (1)求过点(1,0 )且被椭圆截得的弦长为2、2的弦所在直线的方程 求过点丐，扌且被p平分的弦所在直线的方程; 同步测试 1 已知 R(-8 , 0) , F2(8 , 0)，动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16，则点 P 的轨迹为() A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线 2 2

10、2、椭圆L 1左右焦点为 F1、F2, CD 为过 F1的弦，则 CDF 的周长为 _ 16 9 2 2 3 已知方程- 匚 1表示椭圆，则 k 的取值范围是() 1 k 1 k 4、求满足以下条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长为 10,短轴长为 6 _ (2) 长轴是短轴的 2 倍，且过点(2 , 1) _ (3) 经过点(5 , 1) , (3 , 2) _ A -1k0 C k 0 D k1 或 k-1 8 2 2 5. 椭圆 笃 爲1(a b 0)的左右焦点分别是 Fi、F2,过点 Fi作 x 轴的垂线交椭圆于 P 点 a b 若/FIPFF60。，则椭圆的离心率为 _ 2 2 6已知

11、椭圆的方程为X4 3 1，p点是椭圆上的点且FiPF2 60 ,求PF1F2的面积 7.若椭圆的短轴为 AB,它的一个焦点为 Fi,则满足 ABF 为等边三角形的椭圆的离心率为 2 2 8.椭圆 L 1上的点 P 到它的左焦点的距离是 12,那么点 P 到它的右焦点的距离是 100 36 2 9已知椭圆x2 a 2 y 1(a 25 5)的两个焦点为 F1、 F2，且 F1 F2 8，弦 AB 过点 F1，则 ABF2 的周长 2 2 2 2 10、椭圆+ L =1 与椭圆+乙=( 0)有 3 2 2 3 (A)相等的焦距 (B) 相同的离心率 (C) 相同的准线 (D) 以上都不对 2 2

12、11、椭圆厶 2 1与X 2 y 1 (0kb0)的左、右焦点 F1、F2作两条互相垂直的直线 11、12，它们 的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 ( A (0,1) B.0, # C.#1 D. 0,孑 积是() 2 椭圆盖+ 64= 1 的焦点为 Fi、F2,椭圆上的点 P 满足/ FiPF2= 60则厶 F1PF2的面 A 63 A - 3 B. 64 D-64 3已知椭圆 E 的短轴长为 6, 焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9,则椭圆 E 的离心 率等于() 4 已知点 F， 2 A 分别是椭圆?+淳=1(ab0)的左焦点、右顶点，B(0, b)满足FB AB=

13、0, x2 则椭圆的离心率等于( ) .5- 1 Bh 5+ 1 Dh 2 2 5.已知椭圆X + 2 二 1 的左右焦点分别为 F1、F2,过 F2且倾角为 45 的直线 I 交椭圆于 A、 8 B 两点，以下结论中： ABF1的周长为 8;原点到 I 的距离为 1;|AB 匸 3；正确结论的 个数为() A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6 .已知圆(x+ 2)2+ y2= 36 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N(2,0)，线段 AN 的垂直平 分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( ) A .圆 B .椭圆 C.双曲线 D .抛物线 2 2 7.过椭圆 C:拿+ *= 1(ab0)的一个顶点作圆 x2 + y2= b2的两条切线，切点分别为 A, B,若/ AOB = 900 为坐标原点)，则椭圆 C 的离心率为 _ . 10 2 2 8 若椭圆字+治=1(ab0)与曲线 x2 + $ = a2- b2无公共点，则椭圆的离心率 e 的取值范 围是 _ X