高等数学第五章菏泽学院

1、习题51(A)1判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）如果函数仅在区间上有界，它在上未必可积，要使其可积，它在上必须连续；（2）如果积分（）存在，那么；（3）性质5也常称为积分不等式，利用它（包括推论）结合第三章的有关知识，可以估计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式；（4）定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它既能达到去掉积分号的目的，还能计算被积函数在积分区间上的平均值.答：（1）前者正确如狄利克雷函数在区间（其中）上有界，但是它在区间上不可积，事实上：将任意分成个小区间，（其中）记第个小区间长度为，先在上取为有理数，则，再在上取为无理数，则，对于的不同取法黎曼

2、和的极限不同，所以在区间上不可积；后者不正确，参见定理1.1（2）正确事实上：由于在区间上可积，则对的任意分法，的任意取法，都有，现在对区间等分，去在小区间的右分点，则，并且等价于，所以（3）正确它是证明关于定积分不等式的基础，参见例题1.3、1.4、1.5等（4）正确它可以起到去掉积分号的作用；也可以用来表示连续函数在区间上的平均值，但是由于位置不好确定，一般不用它来计算平均值，而是直接计算.2自由落体下落的速度，用定积分表示前10秒物体下落的距离. 解：根据定积分引入的实例，变速直线运动的路程，所以3一物体在力作用下，沿轴从点移动到点，用定积分表示力所做的功.解：将位移区间任意分成个小区间

3、，（其中）记第个小区间长度为，在上任取一点，用近似代替物体从移动到时所受的力，则，于是，记，则（假定极限存在）.4用定积分的几何意义求下列积分值：（1）； （2）.解：（1）如图，上半圆的面积，根据定积分几何意义，所以， （2）如图，面积，根据定积分几何意义，所以，5若函数在区间上连续，用定积分的几何意义说明：（1） 当为奇函数时，；（2） 当为偶函数时，. 解：（1）如图1，当是奇函数时，由对称性，面积，根据定积分几何意义，. （2）如图2，当是偶函数时，由对称性，面积，根据定积分几何意义，.6比较下列各对定积分的大小：（1）与； （2）与；（3）与；（4）与.解：（1）因为在区间上，所以，

4、即 （2）因为在区间上，所以，即 （3）因为在区间上，所以，即 （4）因为在区间上，所以，即7估计下列定积分的值：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）设，在区间上显然，又，于是函数在区间上的最小值为，最大值，而区间长度，根据，得 （2）设，由于函数在区间上单调增加，于是在区间上的最小值为，最大值，而区间长度，根据，得 （3）设，则，在区间上，于是函数 在区间上单调减少，所以在区间上的最小值为，最大值，而区间长度，根据，得 （4）设，则，有，在区间内得驻点，又，所以函数在区间上的最小值为，最大值，而区间长度，根据，得8证明下列不等式：（1）； （2）.证明：（1）在区间上显然有，所以.

5、 （2）设，在区间上，于是函数在区间上单调增加，从而，即在区间上，所以.习题51(B)1右图给出了做直线运动的某质点在0到9s内的速度图象，求它在这段时间间隔内所走的路程.解：质点在0到9s内所走的有效路程为阴影面积的 代数和，即（单位）； 质点在0到9s内所实际走的路程为阴影面积的和，即（单位）2用定积分中值定理求下列极限：（1）； （2） 解：（1）由定积分中值定理，（其中），于是 （2）由定积分中值定理，（其中），由，有等价于，于是3若函数在区间（）上连续，且不恒等于，证明证明：设，由题目已知，在区间上函数连续且又不恒等于零，于是有，使得，由连续函数的性质，在区间内恒有，设区间（），所以

6、，即，再由定积分的线性性，得4证明下列不等式： （1）；（2）（其中是正整数）.证明：（1）设，则，由，在区间内得驻点，又，于是函数在区间的最小值为，最大值为，从而，因为 ，所以 （2）在区间上显然有，且等号不恒成立，而函数、 都连续，根据本节习题（B）3，有，而由用定积分的几何意义得，所以习题52(A)1判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）在定理2.1的证明中，被积函数连续的条件是不可缺少的；（2）在连续、可导时，的导数等于被积函数在上限处的值；（3）在连续、及可导时，通过将化成两个变上限定积分，可求得；（4）使用牛顿莱布尼兹公式计算定积分，首先要找到被积函数在积分区间上的一个原函数，然

7、后求该原函数在积分区间上的增量答：（1）正确定理的证明中两次用到连续性，一次是使用定积分中值定理时，再一次是最后求极限时（2）不正确应该是，即被积函数在上限处的值与上限处函数的导数之积（3）正确将函数改写为，再根据（2）求导（4）正确这就是牛顿莱布尼兹公式（其中是在区间上的一个原函数），但是要注意被积函数的连续性，对分段函数（或分区间连续函数）要分区间求2计算下列定积分：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）（11）； （12）；（13）； （14），其中解：（1） （2） （3） （4） （5）（6） （7） （8） （9）（10） （

8、11） （12） （13） （14）3求下列函数的导数： （1）； （2）；（3）； （4）.解：（1） （2） （3） （4）4求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）.解：（1） （2） （3） （4）习题52(B)1 求变力沿数轴从点到点所做的功.解：如图，此图形面积为两个曲边梯形面积之差 2设函数由方程，求.解：方程两边同时对求导，有，解得3若函数连续，设，求.解：，根据乘积求导法则，4证明：当时，函数取得最小值.证明：函数在内有定义，由得唯一驻点，又，于是是函数的唯一极小值点，从而也是最小值点，所以当时，函数取得最小值.5若函数在区间上连续，在内可导，且，设，在区间内证明.

9、证明： （方法1）由定积分中值定理， （其中），由，有函数单调减少，而，得， 所以在区间内证明. （方法2）因为，所以（）， 由，有函数单调减少，而，于是，得，所以在区间内证明. （方法3）设，则， 于是函数在区间上单调减少，所以.6若函数可导，且，求极限.解： （注：由于未必连续，因此极限不能再用洛必达法则）7设函数在闭区间连续，且，证明方程在开区间有且仅有一个实根.证明：设，根据已知函数在闭区间连续，又 ，由于连续函数，则，从而，由零点定理，方程在开区间至少有一个实根.而，单调增加，于是方程至多有一个实根，即方程在开区间至多有一个实根. 综上，证明方程在开区间有且仅有一个实根.8若函数求函

10、数在内的表达式解：当时，；当时，；当时，所以，习题53(A)1判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）在定积分的换元积分法中，要求被积函数在区间上连续，换元函数在以为端点的区间上有连续的导数，就能保证在或上可积；（2）对定积分进行换元时，需要注意的是换元的同时要换积分限，这时还要特别注意换元后积分的下限要小于上限；（3）定积分也有与不定积分类似的凑微分法与三角代换法等换元法，具体采取哪种换元法，其依据与不定积分是相同的；（4）在利用奇、偶函数的积分性质时，不仅要注意被积函数的奇偶性，而且还要注意积分区间关于坐标原点必须是对称的.答：（1）正确此时在或上是连续的，因此它可积.（2）不正确如，则，

11、其中下限大，上限小；对积分作换元，原积分下限对应的值在换元后积分的下限上，原积分上限对应的值在换元后积分的上限上. （3）正确.（4）正确但是还需注意函数是可积的2计算下列定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）；（9）； （10）（11）； （12）；（13）； （14）； （15）； （16）.解：（1）令，则，于是 （2）令，则，于是 （3）令，则，于是 （4）令，则，于是 （5）令，则，于是（6）令，则，于是 （7）令，则，于是 （8） （9） （10）（11） （12） （13） （14） （15） （16）3计算下列定积分：（1）； （2）；

12、（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）. 解：（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7）因为 ， 有，所以 （8）对积分，令，则，于是，所以，4试选择简便的方法计算下列定积分：(1) ； (2) ；(3) ； （4）.解：（1）因为是奇函数，所以 （2）设，于是是奇函数，所以 （3）因为是偶函数，所以 （4）因为是为周期的奇函数，所以5若函数连续，证明下列定积分等式：（1）； （2）.（3）；（4） .证明：（1）令，则 （2）令，则 （3）令，则 （4）令，则习题53(B)1计算下列定积分：（1）； （2）； （3）， 其中（4）， 其中.解：（1）令，则，于是 .（

13、2）令，则，于是 或：令，则，于是 （3）令，则 （4） 对积分，令，则，所以2设，证明并计算.证明：.3证明，并由此计算该积分值.证明：记，令，则.4若函数连续，设，求.解：（方法1）令，则，所以 （方法2）设的原函数为（连续函数一定有原函数），则 ， 所以，5若函数连续，证明下列定积分等式：（1）；（2）；（3）.证明：（1）令，则 ，于是，所以， （2）令，则 （3），在右式第二个积分中，令，则，所以6设函数在区间上连续，且满足，求.解：记，则，此等式两边同时乘，然后再区间上求积分，有，即 ，所以，习题54(A)1下列叙述是否正确？并按照你的判断说明理由：(1)无论是无穷（限）积分还是无

14、界函数的积分（瑕积分），它们的收敛性都是利用“定积分”与“极限”这两个基本概念作“已知”来定义的；（2）积分收敛，是指与都收敛，若发散，则与都发散；(3) 无论是无穷（限）积分还是无界函数的积分（瑕积分），在它们收敛时，要计算其值，一般可以利用推广的牛顿莱布尼兹公式，而不必再利用定义转化为求定积分的极限.答：（1）正确见定义4.1及定义4.2.（2）前者正确见4.4式及以下（注意积分限中的“0”可以是某一个实数）；后者不正确若发散，则两个积分与中可能只有一个发散，如，也可以两个都发散如（3）正确参加教材第13至17行，第1至7行2先判断下列广义积分是否收敛，对于收敛的积分再计算其值：（1）；

15、（2）；（3）（）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）；（11）； （12）.解：（1），所以，此无穷积分收敛，且积分值为 （2），所以，此无穷积分发散 （3），所以，此无穷积分收敛，且积分值为 （4），所以，此无穷积分发散（5）因为， ， 以上两个积分都收敛，所以收敛，且 （6）， 所以，此无穷积分收敛，且积分值为（7），所以，此无穷积分收敛，且积分值为 （8）因为，所以下限是瑕点，所以，此瑕积分发散（9）因为，所以上限是瑕点， 所以，此瑕积分收敛，且积分值为 （10）因为，所以上限是瑕点，所以，此瑕积分收敛，且积分值为 （11）因为，所以是瑕点此积分应分为与

16、讨论，因为，所以，瑕积分发散，从而瑕积分发散（12）因为，所以下限是瑕点，所以，此瑕积分收敛，且积分值为 习题54(B)1有一个长为的细杆均匀带电，总电量为，若在杆的延长线上距点为处有一个单位正电荷，现将单位正电荷从处沿杆的延长线方向移动到无穷远处，试求克服电场引力所做的功.解：如图取坐标，点为原点，设单位正电荷位于处时，受细杆产生的电场力为，则（其中是引力系数） 2下列广义积分是否收敛？（1）； （2）（）. 解：（1） （2）因为，所以下限是瑕点（方法1）令，则，于是 （方法2）令，则，于是 （方法3）令，则，于是3建立的递推公式，并由此计算.解：.4已知广义积分 求广义积分.解：由于，所

17、以不是瑕点.，令，则5当为何值时，广义积分收敛？当为何值时，这个广义积分发散？又问当为何值时，这个广义积分取得最小值？解：当时，广义积分发散；当时，广义积分发散；当时，广义积分收敛所以，当时，该广义积分收敛于，当时，该广义积分发散在时，记，则，由，得唯一驻点，当时，当时，所以是函数的极大值点，也是最大值点，从而是的最小值点，所以当广义积分取最小值习题55(A)1下面的叙述是否正确？并说明理由：利用微元法时首先要确定所求的量可以看作是定义在哪个区间上的非均匀变化的连续量，在该区间上任取一个微小区间，在上 “以匀（常）代变”，即：将区间上对应的量的局部量看作从起是连续均匀变化的，从而用初等方法求出

18、的近似值，即的微元.答：正确这就是建立“微元”的方法，核心是在区间上“以匀（常）代变”，但是要注意微元必须满足：（1）函数连续，（2）（这一点通常是凭经验）2求由下列各平面图形的面积A：（1） 由抛物线与直线及围成；（2） 由曲线，与直线围成；（3） 由抛物线，与直线围成；（4） 由双曲线及三条直线围成；（5） 椭圆周所围的内部；（6） 星形线所围的内部；（7） 位于圆周外部及圆周内部；（8） 由阿基米德螺线上对应于从到一段与极轴围成.解：（1）由 得（舍去），于是. （2）由 得，又由图形的对称性，于是. （3）按型区域计算，由 得，于是. （4）由 得，于是. （5）由对称性. （6）由对

19、称性. （7）两圆的极坐标方程分别为，由 得， 由对称性， . （8） 3求下列各平面图形绕指定坐标轴旋转一周所产生的旋转体的体积： （1）由，与围成，绕轴旋转；（2）由，及轴围成，绕轴旋转；（3）由，及轴围成，分别绕轴、轴旋转；（4）由摆线的第一拱与轴围成，绕轴旋转.解：（1）.（2） . （3）由 得，于是；. （4） 4一个垂直于轴的正三角形沿轴移动，而在移动过程中底边的两个端点分别在曲线、（）上，求由移动到它所生成的立体体积.解：在区间上任取一点，该点对应的正三角面积为 ，所以 5由半径为球体上截取一个高为（）球缺，求该球缺的体积.解：如图取坐标，球缺的体积可以看作阴影部分图形绕轴旋转

20、的旋转体体积，于是 6计算下列平面曲线的弧长：（1）上，从到的一段；（2）悬链线上从到的一段；（3）星形线的全长；（4）心脏线的全长.解：（1），所以 （2），所以 （3）， ，由对称性，（4）， ， 由对称性， 7一物体在力的作用下，从处移动到处，求力所作的功.解： 8由物理实验知道：弹簧在拉伸过程中，需要的力（单位：）与伸长量（单位：cm）成正比，即（为比例系数），如果把弹簧由原长拉伸6 cm，计算力所做的功.解：（J）9一个半径为1m，高为4m的圆柱形储水罐，其内盛满了水，现将水全部从上口吸出，求克服重力所做的功.解：铅直向上取为轴，原点在罐底（如图），则积分区间为， 在上任取一个小区间

21、，将该层水吸出克服重力 所作的功的微元为： ，所以（kJ）10一个容器的侧面是由介于之间的一段抛物线绕轴旋转而成的旋转抛物面，其内盛满了密度为的液体，现将液体全部从上口吸出，求克服重力所做的功. 解：如图，积分区间为，在上任取一个小区间，将该层水吸出克服重力所作的功的微元为： ，所以11有一长为3 m，宽为2 m的长方形薄板铅直沉入水中，顶部距水面2 m，且短边与水面平行，求薄板所受的水压力.解：如图取坐标，轴铅直向下，原点在水面，则积分区间为， 在上任取一个小区间，则该小条薄板所受 侧压力的微元为： ，所以 (kN) 12有一条横截面边缘为抛物线（）（单位：m）的水渠，渠内有一个铅直的闸门，

22、就下列两种情形分别计算闸门一侧受到的水的压力（1）渠内水深2 m时；（2）渠内水满时.解：（1）积分区间为，在上任取一个小区间，则该小条薄板所受侧压力的微元为：，所以 (kN) （2）积分区间为，在上任取一个小区间，则该小条薄板所受侧压力的微元为：，所以(kN) 习题55(B)1若曲线（）与两坐标轴围成区域面积被抛物线平分，求值.解：由 得，则 ， 而 ，由，有，所以，即，得 2求抛物线及其在点和点处的切线所围成的图形的面积.解：， 在点，切线斜率，切线方程为 ，即， 在点，切线斜率，切线方程为，即.所以 .3过点求一条开口向下的抛物线，使它与轴围成区域面积最小.解：根据抛物线过原点，设所求抛

23、物线方程为， 又抛物线过点，有，得，所以，令，得，抛物线与轴围成区域面积为： . 由，得驻点， 在两侧附近不变号，不是极值点；在左侧附近，在右侧附近，所以函数只有唯一极小值点，因此也是最小值点，所以当抛物线与轴围成区域面积最小，所求抛物线方程是4求双纽线位于圆外的面积及位于圆内的面积.解：由 在内得，于是 ， ，5求圆盘绕直线（）旋转一周所得的旋转体体积.解：6求由曲线与直线及围成的区域绕直线旋转一轴所形成的立体体积.解：按平行截面面积已知立体体积计算，在区间上任取一点，过这点用垂直于轴的平面截立体，则截面是一个圆，其面积为，所以 7将半径为的球体沿一条直径打一个直径为圆孔，求剩余部分的体积.

24、解：如图取坐标，剩余部分的体积是阴影部分区域绕轴旋转的旋转体体积.由得，所以，剩余部分的体积为 8设直线与抛物线围成图形面积记作；由直线、抛物线及直线围成图形面积记作.（1）求值，使最小；（2）求取最小值时对应的图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积.解：由 得.（1） . 记（），由，在内得唯一驻点，又，于是是唯一极小值点，也是最小值点，所以当时，最小（2） 当，得9两个半径为的圆柱体的中心线垂直相交，求这两个圆柱体公共部分的体积.解：如图，取为积分变量，积分区间为，在 上任取一点，用垂直于轴的平面截立体，截得一个边长为正方形，其面积为，由对称性， 10求由在区间定义的两条曲线及轴所围成的图形分别

25、绕轴、轴旋转一周所得的旋转体体积. 解： ； 11一个密度为的瓷质容器，其内壁和外壁分别是抛物线和绕轴旋转而成的旋转面，外高为10 cm，将它铅直放入密度为1的水中，再注入密度为3的液体，为使容器不沉没，问注入液体的最大深度为多少？解：设注入液体最大深度为，当容器上端与水面相齐时，排水量为： 此时容器与注入液体的总重量为： 由，有，得，（舍去），所以，注入液体的最大深度为5 12求曲线上，从到的一段弧的弧长解：，于是 13一颗人造地球卫星的质量为173kg，在高于地面630km处进入轨道问把这颗卫星从地面送到630km的高空处，克服地球引力要做多少功？解：将轴取为铅直向上，原点位于地心，则卫星

26、位于处时，所受地球引力为（其中是卫星质量，是地球质量，是引力系数）, 地球半径为，把这颗卫星从地面送到630km的高空处，克服地球引力做功为 （J）(kJ)14用铁锤将一铁钉垂直击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉被击入木板的深度成正比.在击第一次时，将铁钉击入木板1cm 如果铁锤每次打击铁钉所做的功都相等，问第二次打击时，铁钉又被击入多少？第三次呢？ 解：设铁钉入木(cm)时，木板对铁钉的阻力为，则，设第次击打铁钉，铁钉又入木(cm)，克服阻力所做的功为（， ， 由，有，即，得(cm)，（舍去）； ，由，有，即，得(cm)，（舍去），所以，第二次打击，铁钉被击入(cm)；第三次打击，铁钉被击入

27、(cm) 15设有一长度为，线密度为的均匀细棒，另有一质量为的质点，若（1）质点在棒的延长线上，距离棒的近端为个单位处；（2）质点在与棒的一端垂直距离为个单位处在这两种情况下求细棒对质点的引力 解：（1）如图1取坐标，在区间上任取一个小区间，该小段细棒对质点的引力微元为，所以，细棒对质点的引力为（其中为引力系数） （2） 如图2取坐标，在区间上任取一个小区间，该小段细棒对质点的引力的微元为，于是 ； 所以，细棒对质点的引力为总习题五1填空题： （1）定积分 ；（2）定积分 ；（3）若函数连续，设，则 ；（4）当正数满足 时，广义积分收敛；（5）用定积分表示由曲线围成第一象限区域的面积为 解：（

28、1），填： （2），填： （3）令，则，于是 ，填：（4）因为，所以上限是瑕点当时，广义积分发散；当时，广义积分收敛；当时，广义积分发散综上，只有在时广义积分收敛，填： （5）由得；由得； 由得；由得， ，填：2单项选择题： （1）在下列式子中，不正确的是（ ）；（A）； （B）；（C）； （D）（2）设、，则、的大小关系是（ ）； （A）； （B）； （C）； （D）（3）设是区间上连续单调减少的凹曲线，设、，则、的大小关系是（ ）； （A）； （B）；（C）； （D）（4）双纽线所围成图形的面积可表示为（ ）；（A）； （B）；（A）； （B）（5）设函数在区间上连续，且（为常数）则由曲线

29、及直线和所围成的图形绕直线旋转一周所得的旋转体体积（ ） （A）；（B）；（C）；（D）解：（1）选B，事实上：因为定积分的结果是与积分限有关的数值（是的函数，而与积分变量无关，所以，都是正确的，只有B不正确 （2）选A，事实上：根据定积分的保号性，及奇函数在对称区间上的积分性质，有、，所以 （3）选D，事实上：由是区间上连续单调减少的凹曲线，有，在区间上求定积分得，而，所以 （注：本题可以根据定积分的几何意义：长方形面积，曲边梯形面积，梯形面积，如图则）（4）选A， （5）选B， 3估计定积分的值（）.解：设函数，则在区间上单调增加，于是在区间上的最小值，最大值，而区间长度，由，得4设函数在

30、区间上连续，试证： .证明：由，得，根据定积分的保号性，有 ， 再根据定积分的线性性，得.5当时，证明.证明：在区间上，有，且等号不恒成立，又三个函数、都连续，所以，而，所以6求下列极限： （1）； （2）； （3）.解：（1）因为在区间上，所以， 而，由“夹逼准则”，得. （注：如果用定积分中值定理，由有，使得，尽管，但是不能保证，） （2） （3）由于，不妨设，于是，当时，所以是“”型未定式极限，用洛必达法则，7求的值，使得，其中解：由存在且不为零，又分子极限，必定有分子极限是零，于是（介于0与之间），而，所以此时，左式存在，必须有，得 于是，所以，8设函数由方程确定，求 解：将代入方程，

31、有，得，方程两边同时对求导，有，用代入上式，有，得9计算下列定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）（ 为自然数）解：（1） （2）令，则 （3）令，则 （4）令，则，于是（5） （6） （7） （8） （9） （10）令，则，记根据教材第五章例3.14，当为偶数时，为奇数，则 ； 当为奇数时，为偶数，则10判断下列广义积分的敛散性，对收敛的积分求其值： （1）； （2）；（3）； （4）解：（1）令，则 所以，该广义积分收敛，且积分值为 （2） 所以，该广义积分收敛，且积分值为（3）因为，所以积分上限是瑕点所以，该广义积分收敛，且积分

32、值为 （4）因为，所以积分下限是瑕点所以，该广义积分收敛，且积分值为11设函数，求积分.解：12设函数在区间上连续，试根据下面的条件分别求 （1）； （2）解：（1）设，则，该式两边同时在上求定积分，有 ，即，得 ，所以 （2），则，于是，该式两边同时在上求定积分，有，即，得，所以13设函数 , 证明证明：，对积分作换元，则 所以，14设函数连续，证明证明：对左式进行分部积分，得 15证明证明：（方法1），对作换元，所以 （方法2）令 则 16若函数在区间上连续，且，设 证明：（1）；（2）方程在区间内有且仅有一个实根证明：（1）由，利用均值不等式，得 （2）由，知道单独增加，于是方程在区间内至多有一个实根；又因为在区间上连续，所以在区间上连续，而，（用到习题5-1（B）3结论），根据零点定理，得方程在区间内至少有一个实根综上，方程在区间内有且仅有一个实根17若函数连续，且满足，当时，求解：对积分作换元，则，于是，即，两边对求导，有，即，所以18求圆与心脏线围成公共部分的面积解：由得，（方法1）（方法2） 19在抛物线（）