拉普拉斯变换及其性质

1、 15.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换deFtfdtetfFttjj)j (21)( )()j (一个信号一个信号f(t)满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即0)(limttetf 当函数当函数 f (t)不满足绝对可积条件时，则其傅里叶变换不一定存不满足绝对可积条件时，则其傅里叶变换不一定存在。此时，在。此时，可采取给可采取给f(t)乘以因子乘以因子e t( 为任意实常数为任意实常数)的办法的办法，这样，这样即得到一个新的时间函数即得到一个新的时间函数 f (t)e t，使其

2、满足条件，使其满足条件则函数则函数 f (t)e t 即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子在。可见因子e t 起着使函数起着使函数 f (t)收敛的作用办法，收敛的作用办法，故称故称e t为收敛为收敛因子。因子。2dtetfsFts)()(它是它是 +j 的函数，可以写为的函数，可以写为dttfdttftfFtttt)j(je )(ee )(e )( 设函数设函数 f (t)e t 满足狄里赫利条件且绝对可积满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过选取恰当这可通过选取恰当的的 值来达到值来达到)，根据傅里叶变换的定义，则有，根据傅

3、里叶变换的定义，则有dttfFt)j(e)()j(dFFFtfttj1e)j(21)j(e)(dFtft )j(e )j(21)(F( +j )的傅里叶反变换为的傅里叶反变换为即即jje )(j 21)(dssFtfst5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换二拉普拉斯变换的定义二拉普拉斯变换的定义4dtetfsFts)()(s= +j ，s为一复数变量，称为复频率。为一复数变量，称为复频率。jje )(j 21)(dssFtfst以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换j1j( )( )( )ed1(

4、)( )( )e d 2 js ts tF sf tf ttf tf tF ss L LL0j1j( )( )( )ed1( )( )( )e d2js ts tF sf tf ttf tf tF ss LLj0( )( )edtFf tt正变换正变换反变换反变换( )( )f tF s( )( )f tF s记作记作 ， 称为原函数，称为原函数， 称为象函数称为象函数 0 采用采用 系统，相应的系统，相应的单边拉氏变换单边拉氏变换为为考虑到实际信号都是有起因信号考虑到实际信号都是有起因信号所以所以5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换5三三拉拉氏氏变变换换的的收收敛敛域域0lim( )e0 ()t

5、tf t 收敛域收敛域：使：使F(s)存在的存在的s 的区域称为收敛域。的区域称为收敛域。记为：记为：ROC(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；实际上就是拉氏变换存在的条件；5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换67例例 信号拉普拉斯变换的收敛域信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标即收敛坐标 0)解解: 要使该式成立要使该式成立，必须有，必须有 ， 故其收敛域为全故其收敛域为全s平面，平面， 0= 。0 )(e)( (4) )(cos)( )3()()( (2) )()( ) 1 (0atUtfttUtftUtfttfat0e)(lim ) 1 ( ttt0e

6、)(lim )2( tttU 0时时该式成立该式成立， 故其收敛域为故其收敛域为s平面的右半开平面，平面的右半开平面， 0= 0。0)ecos(lim )3( 0ttt 0时时上式成立上式成立， 故其收敛域为故其收敛域为s平面的右半开平面，平面的右半开平面， 0= 0。0elimeelim )4( )( tatttat要使该式成立要使该式成立，必须有，必须有a+ 0， 即即 a。故其收敛域为故其收敛域为 a以以右的开平面，右的开平面， 0= a。四一些常用函数的拉氏变换四一些常用函数的拉氏变换0( )1 edstu ttL L(0) 1.阶跃函数阶跃函数2.指数函数指数函数0eeed t ts

7、ttL L011estss()0e() s ts1s全全 s 域平面收敛域平面收敛 0( )( ) ed1sttttL L0000()() edeststtttttL L3.单位冲激信号单位冲激信号() 84幂函数幂函数 t nu(t) 0edsttttL20111estsss 0ednnsttttL1 0ednstntts 01destts 001eedststtts2n 2232212ttss ss LLLL3n 323433 26ttss ss LLLL1nnnttsLL0enstts 1 0ednstntts1!nnnts L1 n 所所以以所所以以四一些常用函数的拉氏变换四一些常用函

8、数的拉氏变换95正余弦信号正余弦信号000j-j000220sin() ( )1() ( ) 2111()2 ttt u teeu tjj sjsjsL LL L收敛域收敛域 Re s0000j-j00220cos() ( )1() ( )2111()2 ttt u teeu tsjsjssLL收敛域收敛域 Re s0四一些常用函数的拉氏变换四一些常用函数的拉氏变换106衰减的正余弦信号衰减的正余弦信号000(j)(j)000220sin() ( )1() ( )2111()2 ()tttet u teeu tjj sjsjsLL收敛域收敛域-s Re000(j)(j)00220cos() (

9、 )1() ( )2111()2 ()tttet u teeu tsjsjssLL收敛域收敛域-s Re四一些常用函数的拉氏变换四一些常用函数的拉氏变换115.2 拉普拉斯变换的基本性质线性性质线性性质延时特性延时特性尺度变换特性尺度变换特性复频移特性复频移特性时域微分定理时域微分定理时域积分定理时域积分定理频域微积分定理频域微积分定理初值定理和终值定理初值定理和终值定理卷积定理卷积定理12一线性性质一线性性质解：解：例：例：F sF sF ssssssss( )( )( )()()()()121111211212已知已知f tF ss1111( )( )ftF sss22112( )( )(

10、)()f tf t12( )( )求求 的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换F s ( )1122121 1221122( )( ), ( )( ),( )( )( )( )f tF sf tF s K KK f tK f tK F sK F sLLL若若 为常数为常数则则13二延时特性（时域平移）二延时特性（时域平移）000( )( ) () ()( )estf tF sf t t u t tF sLL若若则则000000 () () 0()( ) ()() ( )f tt u tttf ttf t u ttf tt u t。，注意：注意：(1)一定是一定是 的形式的信号才能用时移性质的形式的信号才

11、能用时移性质(2)信号一定是右移信号一定是右移(3)表达式表达式 等等 所表示的信号不能用时移性质所表示的信号不能用时移性质14例：例：已知已知01 0 ( )0 t tf t其其余余求求F s ( )()()(0ttututf000( ) ( ) ( ) ()111(1)ststF sf tu tu tteesssLLL因为因为所以所以解：解：二延时性质（时域平移）二延时性质（时域平移）15解：解：4 4种信号的波形如图种信号的波形如图例：例：21020304001 ( ) ( )( )() ( )( )()( )() ()t u tsf tttf ttt u tf ttu ttf tttu

12、 tt ，已知单位斜变信号已知单位斜变信号 的拉普拉斯变换为的拉普拉斯变换为求求的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换二延时性质（时域平移）二延时性质（时域平移）16只有信号只有信号 可以用延时性质可以用延时性质 4( )f t010022111( )stF stttsssL020121( )() ( )( )stF stt u tF ssL040021( )() ()stF stt u ttesL003000000042( )()() ()()1( )ststF stu tttt u ttt u tttstF seessLL二延时性质（时域平移）二延时性质（时域平移）17时移性质的一个重要应用是求单边

13、周期信号的拉普拉斯变换。时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。 111( )( ) ( )( ) ( )() ()(2 ) (2 )Tf tft u tf t u tf tT u tTf tT u tT21111( )( )( )( ) 1( ) 1TsTsTsF sF sF s eF s eF se结论：结论：单边周期信号的拉普拉斯变换单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以 Tse11例：例：周期冲击序列周期冲击序列 的拉氏变换为的拉氏变换为( ) ( )Tt u t1( ) ( )1TTst u te二延时性质（时域

14、平移）二延时性质（时域平移）1822211( )111ssF ssss( )2cos() ( ),( )4f ttu tF s已已知知求求。例例解：解：( )2cos cos2sin sincossin44f ttttt已知已知s)F(tt u(t) f求求,1) 解解：例例2( )(1)(1) (1)(1)11()sF stu ttu tu tessLL二延时性质（时域平移）二延时性质（时域平移）19三尺度变换三尺度变换时移和尺度变换都有时移和尺度变换都有: :1()( )e (0,0)bsasf atbFabaaL( )( )1 ( )( ) (0)f tF ssf atFaaaLL若若则

15、则20四复频移特性（四复频移特性（s 域平移）域平移）( )( )( )e()tf tF sf tF s LL若若则则0220:cos() ( )s t u tsL已已知知0220 ecos() ( )()ts t u ts所所以以00220:esin() ( )()t t u ts同同理理0ecost t例：例：求求 的拉氏变换的拉氏变换解：解：21五时域微分定理五时域微分定理222d( )( )(0 )(0 )d( )(0 )(0 )fts sF sffts F ssffL11( )0d( )( )(0 )dnnnn rrnrfts F ssft L推广：推广：( )( )d( )( )(

16、0 )df tF sf tsF sftLL若若则则22六时域积分定理六时域积分定理0( )df00( )dedtstft 000e1( )d( )edstttstff ttss 01( )edtstf tts01( )dfs( )F ss( )( )f tF sL0( )1( )d( )dtF sf fssL若若则则因为第一项与因为第一项与 t 无无关，是一个常数关，是一个常数23例：例：求图示信号的拉普拉斯变换求图示信号的拉普拉斯变换 求导得求导得 11( )( )(2)(2)(2)(4)22f tt u tu ttu tu t d ( )11( )(2)(2)(4)d22f tu tu t

17、u tu tt224221d ( )1 111( )(1)d222ssssf teeeF setsss221211( )( )(1)2sF sF sess所以所以 解：解：六时域积分定理六时域积分定理24七七s 域微积分定理域微积分定理d( )( )dF stf ts L常常用用形形式式：( )( )d( )( )dd( )()( )dnnnf tF sF stf tsF stf tnsLLL若若 则则 取正整数取正整数证明：证明：对拉普拉斯正变换定义式对拉普拉斯正变换定义式 求导得求导得 00d ( )d( )d() ( )dddststF sf t ett f t etss( )( )(

18、)( )dsf tF sf tFtLL若若则则222d( )( )dF st f ts L25七七s 域微域微积积分定理分定理f tt u t( )()21例例u ts( ) 1解：解：因为因为所以所以22232d1221(1)()()dsst u teessssssestu1) 1(26八初值定理和终值定理八初值定理和终值定理0d( )( )( )( )d lim( )(0 )lim( )tsf tf tf tF stf tfsF s若若 和和 拉氏变换存在，且拉氏变换存在，且则则( )F s为真分式为真分式终值存在的条件终值存在的条件:0lim( )lim( )tsf tsF sd( )(

19、 ),( )( )df tf tf tF stL若若 的拉氏变换存在，且的拉氏变换存在，且则则初值定理初值定理( )sF s 的所有极点有负实部的所有极点有负实部终值定理终值定理初值存在的条件初值存在的条件: 当当 t 0时，时，f (t)=0，且，且 f (t)不包含冲激信号及其各阶导数项不包含冲激信号及其各阶导数项27d( )( )(0 )df tsF sftL0d( )eddstf ttt000d( )d( )ededddststf tf ttttt0d( )( )(0 )eddstf tsF sftt00d( )d( )limedlimed0ddststssf tf ttttt由时域微

20、分定理可知由时域微分定理可知0d( )(0 )(0 )eddstf tfftt所以所以初值定理证明：初值定理证明：所以所以0lim( )(0 )lim( )tsf tfsF s八初值定理和终值定理八初值定理和终值定理28终值定理证明终值定理证明0d( )( )(0 )eddstf tsF sftt000d( )lim( )(0 )limeddstssf tsF sftt(0 )lim( )(0 )tff tf根据初值定理证明时得到的公式根据初值定理证明时得到的公式八初值定理和终值定理八初值定理和终值定理29(0 )lim( )sfsF sF(s)为真分式为真分式( )sFs 的所有极点有负实部的所有极点有负实部0( )li