高中物理竞赛基础：电路化简

1、可以看作电动势为                               I§2. 4、电路化简241、等效电源定理实际的直流电源erR0  r        Re&

2、#160;，内阻为零的恒压图 2-4-1             图 2-4-2源与内阻 r 的串联，如图 2-4-1 所示，这部分电路被称为电压源。不论外电阻 R 如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。实际电源 e 、r 对外电阻 R 提供电流 I 为I =e   

3、0;e r= ×R + r  r R + r其中 e/ r 为电源短路电流 I 0 ，因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并联的电流源，如图 2-4-2 所示。实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。利用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。等效电压源定理又叫戴维宁定理，内容是：两端有源网a有源网络   

4、60; b Rer00abR络可等效于一个电压源，其电图 2-4-3图 2-4-4动势等于网络的开路电压，内阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻。如图 2-4-3 所示为两端有源网络 A 与电阻 R 的串联，网络 A 可视为一电压源，r等效电源电动势 e0 等于 a、 b 两点开路时端电压，等效内阻 0 等于网络中除去电动势的内阻，如图 2-4-4 所示。等效电流源定理又叫诺尔顿定理，

5、内容是：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的 I0 等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源外网络的电阻。例 4、如图 2-4-5 所示的电路中，1       2       12        1        

6、0;2 Ee   re = 3.0V , e= 1.0V , r = 0.5W, r = 1.0W, R = 10.0W, R = 5.0W,11R3D（1）试用等效电压源定理计算从电源  (e正极R = 4.5W, R = 19.0W34流出的电流 I 2 ；（2）试用等效电流

7、源定理计算从结点2 2、r )Ae2R1r2R4B R2CB 流向节点 A 的电流 I1 。分析： 根据题意，在求通过 e图 2-4-52 电源的电流时，可将 ABCDE 部分电路等效为一个电压源，求解通过源。R1 的电流时，可将上下两个有源支路等效为一个电流解：  （1）设 ABCDE 等效电压源电动势  e 0 ，内阻   0等效电压

8、源定理，应有r，如图 2-4-6 所示，由R1e =e = 1.5V0r + R + R + R1e0      r2r  =   R (r + R  + R )r + R + R  + R01 1 2 311

9、 1 2 3123= 5We2 r2R4、r2 串联，故                 图 2-4-6电源 e0 0 与电源e、r2r  + R  + rI =e 2 + e 02= -0.02 A

10、042I2 0，表明电流从e2 负极流出。（2）将 A、B 两个节点短接，构成等效电流源（ I 0、r0 ）如图 2-4-7 所示，由等效电流源定理，   0 为原电路流经 A、B 短接后的支路电流。因为有  e 、eI12 两电源，必须用线性叠加原理，所谓叠加原理与力学中“力的独立作用原理”极为相似，其内容为：若电路中有多个电源，则通过任一支路的电流等于各个电动势单独存在时该支路产生的电流之和。+

11、0; e由叠加原理eI =120r + R + Rr + R13224(r + R + R )(r + R )r ¢ =132240r + R + R + r + R= 0.35 A= 6.7WAII0r0R1      B1图 

12、2-4-713224由¢r0 和 R1 的分流关系I =r0¢I = 0.14 A1r ¢ + R001242、变换在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的 Y 型或，如图 2-4-8 所示，有时把Y 型联接代换成等效的型联接，或把型联接代换成等效的 Y 型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y 型联接三个端纽的电压U 、U 、U122331 及

13、流过的电流 I1、I 2、I3 与型联接的三个端纽相同。在 Y 型电路中有I R - I R = U112212I R - I R = U331131I + I + I = 0123可解得I11R1R2OR3I332I2I11R31R12I33R232I2图 2-4-8I =R31R R + R R 

14、;+ R RR2U -               U12 R R + R R + R R31122331122331在型电路中I=12I=31U12R12U31R31I = I- I11231I =1等效即满足：U12 -R12U31R31R R  +

15、60;R R  + R RU12 -RURR331 =                 U -12R2R R + R R + R RU311231122331122331R即R R + R R + R RR&#

16、160;= 1 2 2 3 3 1123                                         

17、0;        RRR =31类似方法可得R R + R R + R R1 2 2 3 3 12                        &

18、#160;                         R R + R R + R RR = 1 2 2 3 3 1231       

19、                                 、式是将 Y 型网络变换到型电路中的一组变换。同样将型电路变换到 Y 型电路，变换式可由、式求得：、R  + R  

20、;+ RR =112 23 31R R12 31R   + R   + RR =2R R12 2312 23 31                   R   + R &

21、#160; + RR =R31R2331223311W       6W例 5、试求如图 2-4-9 所示电路中的电流。分析： 这是包含一个 Y 型电路和一个型电路的网络，解决问题的方向可将左边 Y 型网络I4 V11¢1W 6W     6W2¢1W      

22、60;         3¢2 3图 2-4-9元变换成型网络元，或将右侧型网络元变换成 Y 型网络元。12                   6W解：将左侧 Y 型网络换成型，如图 2-4-10所示已知R = R&#

23、160;= R = 1W123则有R = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1= 3W12R3R4 V21         1¢R31 6WR 3 2¢ 6W23图 2-4-103¢RR =23R R + R R +

24、0;R R1 2 2 3 3 11= 3WR = R1 R2 + R2 R3 + R3 R131R2= 3W4V       2W  2W6W6W由图 2-4-10，可进一步电路整理为图 2-4-112W6WR = 4所示。总3W图 2-4-114R =将右侧型网络元换成

25、0;Y 型网络元同样可求得总 3243、对称性原理等势节点的断接法在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点，（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也W，这里不再叙述。ACDB图 2-4-12总     2UI点间的电压  AB ，再由        即可求出等效电阻。可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。例&#

26、160;6、用导线连接成如图 2-4-12 所示的框架，ABCD 和 ABCE 是正四面体，每段导线的电阻都是 1 W 。求 AB 间的总电阻。解： 设想 A、B 两点上存在电势差 U A - U B ，由于电路的对称性可以知道D、C、两点的电势都应该介乎 U A 与 U B 的中间，即 U = (U A&#

27、160;- U B ) / 2 ，所以两点应是等电势的。这样，去掉 CD 段导线，对 A、B 间的总电阻不会有影响。当去掉 CD 段导线后，就成为三路并联，即 ADB，ACB，和 AB。于是：111=+ 1 = 2R2 R = 0.5(W)总电流分布法设有电流 I 从 A 点流入、B 点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（

28、即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流 I 的关系，然后经任一路径计算 A、B 两UR=ABAB例 7、10 根电阻均为 r 的电阻丝接成如图 2-4-13 所示的网络，试求出 A、B两点之间的等效电阻 RAB 。由结构对称性，要求电流 I 从 A 点流入后在 A 点B的电流分布应与电流 I 从 B 点流出前的电流分布相A同

29、，中间四方形必具有上、下电流分布对称和左、右电流分布对称，因此网络内电流分布应如图2-4-14图 2-4-13所示。对图中 C 点和 D 点，有电流关联I - I = I + (I + I)+ I )+ I  = I - I(I1 2 1 21221解得I + I =1 21I2   &#

30、160;                          即                       &

31、#160;      3I  - I  = I   I - I1     1    2I  =  3由 A、E 两点间不同路线等电压的要求，得           E&#

32、160;I1 + I 2 I - I1 BDI × 2r = (I - I )r + I r1 1 2AC I + I2 1图 2-4-14解、两式得1I , I =  I21 8      8选择线路 AEDB，可得U

33、 = I × 2r + (I + I )r + (I - I )rAB1121R=  U= 15 Ir8因此，A、B 间等效电阻便为15AB =rABI8244、无穷网络等效变换法若 x =a +a +a +a + ¼，（a0）x在求 x 值时， 注意到是由无限多个a 

34、组成，所以去掉左边第一个 a + 对x 值毫无影响，即剩余部分仍为 x，这样，就可以将原式等效变换为 x = a + x ，即 x 2 - x - a = 0 。所以x = 1 + 1 + 4a2这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路。例 8、如图 2-4-15 所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电

35、阻为 r ，一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，取 AB 边长为 a，以下每个三角形的边长A               B图 2-4-15依次减小一半，则框架上 A、B 两点间的电阻为多大？从对称性考虑原电路可以用如图 2-4-16 所示的等效电路来代替，同时我们用电阻为RAB / 2 的电阻器来代替由无数层“

36、格子”所构成的“内”三角，并且电阻是 RAB 这样的， RAB = Rx ， R = ar 因此R /2    R /2R  = Rç R +÷ × ç R + R +R + R  /2 ø  è&#

37、160;    R + R  / 2 ÷øèR /2R   = R  = 7 - 1æRR / 2 ö æRR / 2 öxx÷xxx解此方程得到a( 7 - 1) r1R =ABx33AR 

38、;/2xR图 2-4-16R /2B245、电流叠加法解题步骤是：先考虑一支流入或流出系统的电流，把它看作在给系统充电或放电，利用对称性求出系统中的电荷分布和电流场分布，求出每一支电流造成的分布后进行叠加，使得电荷分布全部抵消，而电流场叠加作为所求的电流场。d   e 8例 9、有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图 2-4-17 所示。所有六边形每边的电阻为 R0 ，453  2 1a c b 967g

39、求：（1）结点 a、 b 间的电阻。（2）如果有电流 I 由 a 点流入网络，由 g 点流出网络，那么流过 de 段电阻的电流 Ide为多大。图 2-4-17解： （1）设有电流 I 自 a 点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有I/3电流由 a 流向 c，有 I/ 6 电流由 c 流向 b。再假设有电流 I 

40、;由四面八方汇集 b 点流出，那么必有 I/ 6 电流由 a 流向 c，有 I / 3 电流由 c 流向 b。I   =  I3  6  2 （由 a 流向 c）将以上两种情况综合，即有电流 I 由 a 点流入，自 b 点流出，由电流叠加原理可知II+=acI =cbI  I  I+  =3