常微分方程总复习实用教案

1、内容内容(nirng)总结总结l绪论绪论l一阶常微分方程一阶常微分方程(wi fn fn chn)的初等的初等解法解法l一阶常微分方程一阶常微分方程(wi fn fn chn)初值问初值问题解的基本理论题解的基本理论l高阶线性方程高阶线性方程l一阶线性微分方程一阶线性微分方程(wi fn fn chn)组组l非线性微分方程非线性微分方程(wi fn fn chn)（稳定（稳定性）性）第1页/共61页第一页，共62页。绪论绪论(xln)内容内容(nirng)总结总结微分方程、常微分方程、初值问题微分方程、常微分方程、初值问题（Cauchy问题）、方程的解、通解、特解、问题）、方程的解、通解、特解

2、、积分积分(jfn)曲线、线素、线素场、微分方程和曲线、线素、线素场、微分方程和解的几何意义，几个常见的微分方程模型。解的几何意义，几个常见的微分方程模型。第2页/共61页第二页，共62页。基本基本(jbn)要求要求1、熟练掌握微分方程的所有基本概念；、熟练掌握微分方程的所有基本概念；2、会针对一些简单、会针对一些简单(jindn)的背景建立微分的背景建立微分方程模型并求解。方程模型并求解。第3页/共61页第三页，共62页。一阶常微分方程的初等一阶常微分方程的初等(chdng)解法解法内容内容(nirng)总结总结变量可分离方程变量可分离方程(fngchng)、齐次方程、齐次方程(fngchn

3、g)、齐次的扩展类型、一阶线性方程、齐次的扩展类型、一阶线性方程(fngchng)、Bernoulli方程方程(fngchng)、恰当方、恰当方程程(fngchng)、积分因子、一阶隐方程、积分因子、一阶隐方程(fngchng)（四种可解类型）、变量代换。（四种可解类型）、变量代换。基本要求基本要求1、熟练掌握所有基本可解类型（必考）；、熟练掌握所有基本可解类型（必考）；2、会使用一阶线性方程的通解公式证明有关结、会使用一阶线性方程的通解公式证明有关结论；论；3、会解简单的积分方程、会解简单的积分方程.第4页/共61页第四页，共62页。一阶常微分方程一阶常微分方程(wi fn fn chn)初

4、值初值问题解的基本理论问题解的基本理论内容内容(nirng)总结总结一阶初值问题的存在及唯一性定理一阶初值问题的存在及唯一性定理(dngl)、解的延拓定理解的延拓定理(dngl)、解对初值连续依赖性定理、解对初值连续依赖性定理(dngl)（连续性定理（连续性定理(dngl)）、解对初值的可微）、解对初值的可微性定理性定理(dngl).基本要求基本要求1、熟练掌握存在定理（会完整阐述），掌握、熟练掌握存在定理（会完整阐述），掌握Picard逐次逼近法的基本过程（五个命题）。逐次逼近法的基本过程（五个命题）。第5页/共61页第五页，共62页。2、掌握解的延拓定理（会完整叙述，弄清、掌握解的延拓定理

5、（会完整叙述，弄清不同的区域形态下延拓的最终情况）；不同的区域形态下延拓的最终情况）；3、会阐述解对初值的连续、会阐述解对初值的连续(linx)依赖性定依赖性定理和连续理和连续(linx)性定理；性定理；4、会阐述解对初值的可微性定理，会写出、会阐述解对初值的可微性定理，会写出解对初值的偏导数公式解对初值的偏导数公式.第6页/共61页第六页，共62页。高阶线性微分方程高阶线性微分方程(wi fn fn chn)内容内容(nirng)总结总结ln阶线性微分方程的形态阶线性微分方程的形态(xngti)、齐次方、齐次方程、非齐次方程程、非齐次方程l齐次方程解的叠加性、函数的线性相关性、齐次方程解的叠

6、加性、函数的线性相关性、Wronsky行列式（行列式（W行列式判定函数相关行列式判定函数相关性）、齐线性方程的基本解组和通解结构性）、齐线性方程的基本解组和通解结构.l非齐次线性方程解的叠加原理、非齐方程通非齐次线性方程解的叠加原理、非齐方程通解结构解、常数变易法解结构解、常数变易法l复值函数定义、分析性质、运算法则；复指复值函数定义、分析性质、运算法则；复指函数的定义性质、函数的定义性质、Euler公式公式第7页/共61页第七页，共62页。l常系数线性方程的基本解组求法（特别常系数线性方程的基本解组求法（特别(tbi)重重要）要）lEuler方程方程l常系数非齐次线性方程的求解、两种特殊的非

7、齐常系数非齐次线性方程的求解、两种特殊的非齐次项、待定系数法和复值函数法次项、待定系数法和复值函数法l几种特殊的高阶方程的降阶、二阶线性方程的降几种特殊的高阶方程的降阶、二阶线性方程的降阶（重点）阶（重点）l二阶线性方程的幂级数解法（了解）二阶线性方程的幂级数解法（了解）第8页/共61页第八页，共62页。基本基本(jbn)要求要求l熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程的通解结构熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程的通解结构l熟练掌握常系数齐线性方程的求解（包括熟练掌握常系数齐线性方程的求解（包括Euler方程）方程）l熟练掌握具有特殊类型非齐次项的非齐次线性方熟练掌握具有特殊类型非齐次项的非齐次线性方

8、程的求解（待定系数法、复值函数法）程的求解（待定系数法、复值函数法）l熟练掌握二阶线性方程的降价公式（得到熟练掌握二阶线性方程的降价公式（得到(d do)一个非零解的前提下求出另一个线性无关的一个非零解的前提下求出另一个线性无关的解）解）l幂级数解法（了解即可）幂级数解法（了解即可）第9页/共61页第九页，共62页。一阶线性微分方程一阶线性微分方程(wi fn fn chn)组组内容内容(nirng)总结总结l一阶线性微分方程组的形态，矩阵表示，高阶线性一阶线性微分方程组的形态，矩阵表示，高阶线性方程转化为等价的线性方程组方程转化为等价的线性方程组l 齐线性方程组的通解结构，基解矩阵，通解表示

9、，齐线性方程组的通解结构，基解矩阵，通解表示，基解矩阵的有关性质基解矩阵的有关性质l非齐线性方程组的通解结构，常数变异非齐线性方程组的通解结构，常数变异(biny)公式，公式，通解公式，特解公式通解公式，特解公式l矩阵指数，矩阵指数的性质矩阵指数，矩阵指数的性质l常系数齐线性方程组的基解矩阵计算（重点）常系数齐线性方程组的基解矩阵计算（重点）第10页/共61页第十页，共62页。l常系数常系数(xsh)非齐次线性方程组的求解非齐次线性方程组的求解基本基本(jbn)要求要求n熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程的通解熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程的通解结构结构n熟练掌握常系数齐线性方程基解矩阵的求解

10、熟练掌握常系数齐线性方程基解矩阵的求解（重点（重点(zhngdin)）n熟练掌握较简单的常系数非齐次线性方程的熟练掌握较简单的常系数非齐次线性方程的求解求解第11页/共61页第十一页，共62页。试卷试卷(shjun)结构结构u填空题填空题20分分1、基本概念；、基本概念；2、基本结论、基本结论(jiln)u计算题计算题5060分分各种类型的微分方程的求解（各种类型的微分方程的求解（79题）题）u应用题应用题10分左右分左右常微分方程建模并求解常微分方程建模并求解u证明题证明题10分左右分左右第12页/共61页第十二页，共62页。微分方程微分方程(wi fn fn (wi fn fn chn)c

11、hn)复习复习第13页/共61页第十三页，共62页。1、基本概念微分方程凡含有未知函数的导数微分方程凡含有未知函数的导数(do sh)(do sh)或微或微分的方程叫微分方程分的方程叫微分方程微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数高阶导数(do sh)(do sh)的阶数称为微分方程的阶的阶数称为微分方程的阶微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数函数(hnsh)(hnsh)称为微分方程的解称为微分方程的解 第14页/共61页第十四页，共62页。1、基本概念线性微分方程线性微分方程(wi fn

12、 fn chn)(wi fn fn chn)：当微分方程：当微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)中所含的未知函数及其各阶导中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程数全是一次幂时，微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)就就称为线性微分方程称为线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)在线性微分方程在线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)中，若未知函中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程程(wi fn fn ch

13、n)(wi fn fn chn)为常系数线性微分方程为常系数线性微分方程(wi (wi fn fn chn)fn fn chn)第15页/共61页第十五页，共62页。通解如果微分方程的解中含有任意通解如果微分方程的解中含有任意(rny)(rny)常数，常数，并且任意并且任意(rny)(rny)常数的个数与微分方程的阶数相同，常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解这样的解叫做微分方程的通解特解确定了通解中的任意常数以后特解确定了通解中的任意常数以后(yhu)(yhu)得到的得到的解，叫做微分方程的特解解，叫做微分方程的特解初始条件用来确定初始条件用来确定(qudng)任意常数

14、的条件任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题1、基本概念第16页/共61页第十六页，共62页。(1) (1) 可分离变量可分离变量(binling)(binling)的微分的微分方程方程2、一阶微分方程(wi fn fn chn)的解法可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个只是积，其中一个只是 x的函数，另一个只是的函数，另一个只是 y的函数的函数 形如形如 )()(ddygxfxy的方程，称为可分离变量的方程的方程，称为可分离变量的方程. . 第17页/共61页第十七页，共62页。

15、可分离变量方程的解法：可分离变量方程的解法： （1 1） 分离变量： 将该方程化为等式一边只含变量） 分离变量： 将该方程化为等式一边只含变量 y ，而另一边只含变量而另一边只含变量 x的形式，即的形式，即 xxfygyd)()(d其中其中0)(yg （2 2）两边积分）两边积分： xxfygyd)()(d （3 3）计算上述计算上述不定积分不定积分，得通解得通解. . 第18页/共61页第十八页，共62页。例例1 1 求求0 xyy的通解的通解 第19页/共61页第十九页，共62页。2、一阶微分方程(wi fn fn chn)的解法)(xyfdxdy 形如形如(2) (2) 齐次方程齐次方程

16、(fngchng)(fngchng)解法解法(ji f)xyu 作变量代换第20页/共61页第二十页，共62页。)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如齐次方程(fngchng),01时时当当 cc，令令kYyhXx ,（其中(qzhng)h和k是待定的常数）否则(fuz)为非齐次方程(3) (3) 可化为齐次的方程可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程2、一阶微分方程的解法第21页/共61页第二十一页，共62页。)()(xQyxPdxdy形如(4) (4) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程(wi (wi fn fn chn)fn fn chn), 0)( xQ当当方程(fngchng

17、)称为齐次的方程(fngchng)称为非齐次的., 0)( xQ当当齐次方程的通解为.)(dxxPCey1、2、一阶微分方程的解法2、非齐次微分方程的通解为dxxPdxxPeCdxexQy)()()(第22页/共61页第二十二页，共62页。例例 2 2 求方程求方程xxxyyln的通解的通解. . 第23页/共61页第二十三页，共62页。(5) (5) 伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)方程方程(fngchng)(fngchng)nyxQyxPdxdy)()(形如)1 , 0( n方程(fngchng)为线性微分方程(fngchng).时，时，当当1 , 0 n 方程(f

18、ngchng)为非线性微分方程(fngchng).时，时，当当1 , 0 n2、一阶微分方程的解法解法解法 经过变量代换化为线性微分方程,1 nyz 令令第24页/共61页第二十四页，共62页。.32343yxyyx 求通解求通解例例3 3第25页/共61页第二十五页，共62页。3、可降阶的高阶微分方程(wi fn fn chn)的解法解法解法(ji f) 型型)()1()(xfyn 接连(jilin)积分n次，得通解例例 4 4 求方程求方程xycos)3(的通解的通解 . . 解解 因为因为xycos) 3(, ,所以所以 1sindcosCxxxy, , 211cosd)(sinCxCx

19、xCxy, , 2121231( cos)dsin.2yxC xCxxC xC xC 第26页/共61页第二十六页，共62页。3、可降阶的高阶微分方程(wi fn fn chn)的解法),(xPy 令令特点特点(tdin). y不显含未知函数不显含未知函数),()2(yxfy 型型解法解法(ji f)代入原方程, 得).(,(xPxfP ,Py 这是一个关于自变量这是一个关于自变量 x 和未知函数和未知函数)(xp的一阶微的一阶微分方程分方程, ,若可以求出其通解若可以求出其通解),(1Cx, ,则则),(1Cxy再积分一次就能得原方程的通解再积分一次就能得原方程的通解. . 第27页/共61

20、页第二十七页，共62页。例例 5 5 求方程求方程2)(12yyyx 的通解的通解. . 解解 因为方程因为方程2)(12yyyx 不显含未知函数不显含未知函数 y, ,所所以令以令)(xpy , ,则则)()(xpxy ，将其代入所给方程，将其代入所给方程, ,得得 212pppx, 分离变量得分离变量得 xxpppdd212, , 3、可降阶的高阶微分方程(wi fn fn chn)的解法第28页/共61页第二十八页，共62页。两边积分两边积分12lnln)1ln(Cxp，得得xCp121. 即即 11xCp , ,也即也即 11xCy. . 所以所以 132211212(1) d(1)3

21、yC xxC xCC 为所为所求方程的通解求方程的通解. . 3、可降阶的高阶微分方程(wi fn fn chn)的解法第29页/共61页第二十九页，共62页。),(xPy 令令特点特点(tdin).x不显含自变量不显含自变量),()3(yyfy 型型解法解法(ji f)3、可降阶的高阶微分方程(wi fn fn chn)的解法pypxyyypxyydddddddd )(, , 于是于是, ,方程方程),(yyfy 可化为可化为 ),(pyfyppdd. . 这 是 关 于这 是 关 于y和和p的 一 阶 微 分 方 程的 一 阶 微 分 方 程 , , 如 能 求 出 其 解如 能 求 出

22、其 解),(1Cyp, ,则可由则可由),(1Cyxydd求出原方程的解求出原方程的解. . 第30页/共61页第三十页，共62页。.212yyy 求通解求通解例例6 6解解.x方程不显含方程不显含,dydPPyPy 令令代入方程(fngchng)，得,212yPdydPP ,112yCP 解得，解得，, 11 yCP, 11 yCdxdy即即故方程(fngchng)的通解为.12211CxyCC 3、可降阶的高阶微分方程(wi fn fn chn)的解法第31页/共61页第三十一页，共62页。（1）二阶齐次方程解的结构(jigu):)1(0)()( yxQyxPy形如形如4. 4. 线性微分

23、方程线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)解的结构解的结构定理定理 1 1 如果函数如果函数)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个的两个解解, ,那末那末2211yCyCy 也是也是(1)(1)的解的解. .（21, CC是常是常数）数）定理定理 2 2：如果：如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个线性的两个线性无关的特解无关的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的通的通解解. .第32页/共61页第三十二页，共62页。定理定理 3 3 设设*y是是)2(的一个特解的一个特解, , Y是与是与(2

24、)(2)对应对应的齐次方程的齐次方程(1)(1)的通解的通解, , 那么那么*yYy 是二阶非是二阶非齐次线性微分方程齐次线性微分方程(2)(2)的通解的通解. . 定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .)2()()()(xfyxQyxPy 形如形如（2）二阶非齐次线性方程(xin

25、xn fn chn)的解的结构第33页/共61页第三十三页，共62页。.)(),(1)()(2此方程的通解此方程的通解（）（）的表达式；的表达式；（）（），试求：，试求：的齐次方程有一特解为的齐次方程有一特解为，对应，对应有一特解为有一特解为设设xfxpxxxfyxpy 例例7 7解解（）由题设可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得第34页/共61页第三十四页，共62页。.)(,)(331xxfxxp （）原方程(fngchng)为.313xyxy ，的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解程程是原方程对应的齐次方是原方程对应的齐次方显见显见221, 1xy

26、y 是原方程的一个特解，是原方程的一个特解，又又xy1* 由解的结构(jigu)定理得方程的通解为.1221xxCCy 第35页/共61页第三十五页，共62页。、二阶常系数齐次线性方程(xin xn fn chn)解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 形如形如n阶常系数(xsh)线性微分方程0 qyypy二阶常系数(xsh)齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.第36页/共61页第三十六页，共62页。02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21

27、rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 特征方程为、二阶常系数(xsh)齐次线性方程解法第37页/共61页第三十七页，共62页。01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n、二阶常系数(xsh)齐次线性方程解法第38

28、页/共61页第三十八页，共62页。、二阶常系数非齐次线性微分方程(wi fn fn chn)解法)(xfqyypy 二阶常系数(xsh)非齐次线性方程型型)()()1(xPexfmx 解法解法(ji f)待定系数待定系数法法., )(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k第39页/共61页第三十九页，共62页。型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根

29、时不是特征方程的根时不是特征方程的根时 jjk、二阶常系数非齐次线性微分方程(wi fn fn chn)解法第40页/共61页第四十页，共62页。二、典型(dinxng)例题.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy 求通解求通解例例1 1解解原方程(fngchng)可化为),cossinsincos(xyxyxyxyxyxyxydxdy 第41页/共61页第四十一页，共62页。,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程(fngchng)得),cossinsincos(uuuuuuuuxu ,cos2cossinxdxduuuuuu 分离(fnl)变量两边(lin

30、gbin)积分,lnln)cosln(2Cxuu ,cos2xCuu ,cos2xCxyxy 所求通解为.cosCxyxy 二、典型例题第42页/共61页第四十二页，共62页。. 1)1()1(,2 yyexeyyyxx求特解求特解例例2 2解解特征方程, 0122 rr特征(tzhng)根, 121 rr对应的齐次方程(fngchng)的通解为.)(21xexCCY 设原方程(fngchng)的特解为,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 二、典型例题第43页/共61页第四十三页，共62页。代入原方程比较系

31、数得代入原方程比较系数得将将)( ,)( ,* yyy,21,61 ba原方程(fngchng)的一个特解为,2623*xxexexy 故原方程(fngchng)的通解为.26)(2321xxxexexexCCy , 1)1( y, 1)31(21 eCC,6)1()(3221xexxCCCy 二、典型(dinxng)例题第44页/共61页第四十四页，共62页。, 1)1( y, 1)652(21 eCC,31121 eCC,651221 eCC由解得 ,121,61221eCeC所以(suy)原方程满足初始条件的特解为.26)121(61223xxxexexexeey 二、典型(dinxng

32、)例题第45页/共61页第四十五页，共62页。).2cos(212xxyyy 求解方程求解方程例例3 3解解特征方程, 042 r特征(tzhng)根,22,1ir 对应(duyng)的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY 设原方程(fngchng)的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则, 0)(*1 y，得，得代入代入xyy214 ，xbax2144 二、典型例题第46页/共61页第四十六页，共62页。由，04 b，214 a解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2cos)2()(*

33、2xcxdxdxcy 则则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得，得代入代入xyy2cos214 二、典型(dinxng)例题第47页/共61页第四十七页，共62页。故原方程(fngchng)的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由，04 c，214 d即，81 d，0 c;2sin81*2xxy 二、典型(dinxng)例题第48页/共61页第四十八页，共62页。间间链条滑过钉子需多少时链条滑过钉子需多少时下垂米，试问整个下垂米，试问整个边边的一边下垂米，另一的一边下垂米，另一上，运动开始时，

34、链条上，运动开始时，链条一无摩擦的钉子一无摩擦的钉子一质量均匀的链条挂在一质量均匀的链条挂在解解例例4 4oxm8m10,米米链条下滑了链条下滑了经过时间经过时间设链条的线密度为设链条的线密度为xt 则由牛顿(ni dn)第二定律得,)8()10(22gxgxdtxdm . 0)0(, 0)0(,99 xxgxgx即二、典型(dinxng)例题第49页/共61页第四十九页，共62页。解此方程(fngchng)得, 1)(21)(3131 t gt geetx, 8, x即即整个链条滑过钉子整个链条滑过钉子代入上式得)().809ln(3秒秒 gt二、典型(dinxng)例题第50页/共61页第

35、五十页，共62页。一、一、 选择题选择题: :1 1、 一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程)()(xQyxPy 的通的通解是解是( ).( ). (A) (A) )()()(CdxexQeydxxPdxxP； (B) (B) dxexQeydxxPdxxP)()()(； (C)(C) )()()(CdxexQeydxxPdxxP； (D) (D) dxxPcey)(. .2 2、方程、方程yyxyx 22是是( ).( ). (A) (A)齐次方程；齐次方程； (B) (B)一阶线性方程；一阶线性方程； (C) (C)伯努利方程；伯努利方程； (D) (D)可分离变量方程可分离变量方

36、程 . .测 验 题第51页/共61页第五十一页，共62页。测 验 题第52页/共61页第五十二页，共62页。5 5、方程、方程0 yy的通解是的通解是( ).( ).(A)(A)1cossinCxxy ；(B)(B)321cossinCxCxCy ；(C)(C)1cossinCxxy ；(D)(D)1sinCxy . .6 6、若、若1y和和2y是二阶齐次线性方程是二阶齐次线性方程 0)()( yxQyxPy的两个特解的两个特解, ,则则 2211yCyCy ( (其中其中21,CC为任意常数为任意常数)( )( )(A)(A)是该方程的通解；是该方程的通解； (B) (B)是该方程的解；是

37、该方程的解； (C) (C)是该方程的特解；是该方程的特解； (D) (D)不一定是该方程的解不一定是该方程的解. .测 验 题第53页/共61页第五十三页，共62页。8 8、已知方程、已知方程02 yyxyx的一个特解为的一个特解为xy , ,于于 是方程的通解为是方程的通解为( ).( ). (A) (A)221xCxCy ； (B) (B)xCxCy121 ； (C) (C)xeCxCy21 ； (D) (D)xeCxCy 21. .测 验 题第54页/共61页第五十四页，共62页。9 9、 已知方程、 已知方程0)()( yxQyxPy的一个特的一个特1y解为解为, , 则另一个与它线

38、性无关的特解为则另一个与它线性无关的特解为( ).( ). (A) (A) dxeyyydxxP)(21121； (B) (B) dxeyyydxxP)(21121； (C)(C) dxeyyydxxP)(1121； (D) (D) dxeyyydxxP)(1121. .测 验 题第55页/共61页第五十五页，共62页。1010、方程、方程xeyyyx2cos23 的一个特解形式是的一个特解形式是 ( ).( ). (A) (A) xeAyx2cos1 ； (B) (B) xxeBxxeAyxx2sin2cos11 ； (C) (C) xeBxeAyxx2sin2cos11 ； (D) (D) xexBxexAyxx2sin2cos2121 . .二二、 求求下下列列一一阶阶微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、)1(lnln x