圆锥曲线秒杀法

1、圆锥曲线秒杀法 吴磊研究高考作文之余，本人也研究高考数学的秒杀方法，主要包括隐函数求导、柯西不等式、仿射、参数方程、极点极线一、圆锥曲线部分小题用到的方法1、椭圆C：x²/8+y²/2=1与斜率K=1/2的直线l相切，则切点坐标为_注:传统方法我就不讲了，讲两种秒杀法法一、隐函数求导 直接对C：x²/8+y²/2=1求关于X导数可得 x/4+yy'=0，带入K=1/2，x=-2y,带入椭圆方程，很容易解出切点为(-2,1)和 (2,-1)；法二、缩放坐标将椭圆缩放成圆利用圆的性质快速解题，将X轴压缩为原来的1/2，即x=2x'(这里不是导

2、数，只表示一个未知数)；斜率K'=2K=1，椭圆化为圆C': x'²+ y'²=2;很容易求得I'与C'相切于(-1,1)和 (1,-1)，还原，可知I与C相切于(-2,1)和 (2,-1)2、椭圆C：x²/4+y²/3=1上的点到直线L:x-2y-1=0距离的取值范围为:_法一、直接用柯西不等式椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离，l'= x-2y+b=0;构造柯西不等式可知(x²/4+y²/3)（4+12）(x-2y)²

3、-4b4;把4和-4代入l'；再利用平行线距离公式求I和l'距离，最大距离为5 所以0d5法二、缩放坐标系椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离。l'= x-2y+b=0；缩放y=3/2 y'；椭圆C缩放后方程C'为: x²+y²=4；l'缩放后表达式为l''=x-3y+b=0, C'与l''相切，利用点到直线距离为半径，容易求的b=4和-4；再利用平行线距离公式很容易求得范围为0d53、过定点(4、0)的直线l与椭圆C：x²/4+y

4、²=1有公共点，则直线l斜率K取值范围为:_法一、直接用柯西不等式l:my=x-4,则x-my=4;构造柯西不等式，(x²/4+y²)（2²+ m²）(x-my)²可得，m²12,注意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为-3/6k3/6法二、缩放坐标l:my=x-4， x=2x' C': x' ²+ y' ² =1; I':m y'=2 x'-4, 用点到直线距离公式，d=4/(4+ m ²)1；可解的m²12,注意是

5、反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为-3/6k3/6二、柯西不等式柯西不等式在高中数学提升中非常重要，是高中数学研究内容之一，是求某些函数最值中和证明某些不等式时经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主。柯西不等柯西不等式-方和 积不小于积和 方柯西不等式的主要变形公式变形公式1 取等条件同 变形公式2 变形公式3柯西不等式三角公式 变形公式4 取等条件同 变形公式5 取等条件同 三、仿射四、参数方程 椭圆参数方程 吴磊 一、没吃过猪肉，你还没见过猪跑x=acos；y=bsin 是一组我们熟悉而又陌生的方程，可问题是你真懂他们的含义吗? 究竟是个什么东东，和圆参数方程和极坐标方程

6、中是一个意思吗?1、从一道百分之九十以上人都做错的简单题展开例1、P是椭圆C上一点: x= 4cos; y=23sin 且在第一象限 O（ O为原点）P的倾斜角为/3，则P点的坐标为_经典错法: 因为倾斜角为/3，x= 4cos; y=23sin，所以x= 4cos/3=2; y=23sin/3 =3 求得P坐标（2、3）正解: 椭圆参数方程是旋转而成的圆心角而不是倾斜角 因为 OP的倾斜角为/3，故OP的斜率K= tan/3=3；3=y/x 23sin/4cos=3 (1) sin²+cosa²=1 (2) 联立二式，P在第一象限，可解cos=5/5 sin=25/5 P

7、点坐标为(45/5 、415/5 )2、椭圆参数方程的推导和含义解释3、椭圆参数方程的设法可能有的同学会按照焦点在X轴:x=acos；y=bsin 焦点在Y轴:x=bcos；y=asin 去记忆，老师告诉你别这么理解，你只要记住cos对应的系数是a和b中大的，cos和扩大谐音，参数方程还原主要看cos前的系数，它一定是大的，焦点在哪个轴，他在哪个下面。二、椭圆参数方程妙用1、椭圆内内接面积问题例1: 解:可设A( 10cos； 8sin )，利用对称性可知 B( 10cos；- 8sin )C( -10cos；- 8sin )；D( -10cos；8sin )AB长度为16 sin ；AD长度

8、为20 cos， 矩形面积S=160 sin2，由三角函数知识可知，面积最大为160例2：解:要使SOAPB最大，由图可知SOAB为定值，需求出P到直线AB距离，距离最大时SBPA最大，从而SOAPB最大，用椭圆参数方程设P为 x=acos；y=bsin直线AB的方程为:x/a+y/b=1 用P到AB的距离公式可以求得距离最大为ab(2-1)2, SOAPB= ab2/22、椭圆相关距离问题例1:解: 用椭圆参数方程设P为 x=2cos；y=sin；A(0,3/2)由点到距离公式可知AP最大为5/2,所以PQ最大值为3例2:椭圆约束下二次型最值问题解:用椭圆参数方程解，转化成三角函数最值问题。

9、由于b²和4大小未知，显然需要分类讨论 0b2，时 P(x=2cos；y=bsin),转化成求4 cos²+ 2bsin最大值 可求得最大值为(b²/4)+4 b2 P(x=bcos；y=2sin), 转化成求b²cos²+ 4sin最大值可求得最大值为2b3、椭圆与向量求范围、求值问题例1已知椭圆E：,A在E上（1,1/2），若点P在E上满足（1）求t的范围（2）过原点O的直线交E于BC，求SBCA的最大值解: Smax=2五、极点极线圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解

10、决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力。掌握有关极点与极线的基本性质，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，做题事半功倍。PEFGHMANB图11.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线.若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线.由图1同理可知， 为点对应的极线，为点所对应的极线.因而将称为自极三点形.设直线交圆锥曲线于点两点，则恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当在圆锥曲线上时，则点的极线是曲线在点处的切线；(2)当在外时，过点作的两条切线，设其切点分别为，则点的极线是直线

11、(即切点弦所在的直线)；(3) 当在内时，过点任作一割线交于，设在处的切线交于点，则点的极线是动点的轨迹.PQA图2Bl定理2 如图2，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则 ；反之，若有成立，则称点调和分割线段，或称点与关于调和共轭，或称点(或点)关于圆锥曲线的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线.推论1 如图2，设点关于圆锥曲线的调和共轭点为点，则有 ；反之，若有成立，则点与关于调和共轭.可以证明与是等价的.事实上，由有.特别地，我们还有推论2 如图3，设点关于有心圆锥曲线(设其中心为)的调和共轭点为点，连线经过圆锥曲线的中心，

12、则有 ，反之若有此式成立，则点与关于调和共轭.证明：设直线与的另一交点为，则PQR图3RO，化简即可得.反之由此式可推出，即点与关于调和共轭.推论3 如图4，圆锥曲线的一条对称轴上的两点(不在上)，若关于调和共轭，过任作的一条割线，交于PlA图4RBQR两点，则.证明：因关于直线对称，故在上存在的对称点.若与重合，则与也重合，此时关于对称，有；若与不重合，则与也不重合，由于关于调和共轭，故为上完全四点形的对边交点，即在上，故关于直线对称，也有.定理3 (配极原则)点关于圆锥曲线的极线经过点点关于的极线经过点；直线关于的极点在直线上直线关于的极点在直线上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极

13、点必共线.以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换，以替换 ，以替换即可得到点的极线方程.特别地：(1)对于椭圆，与点对应的极线方程为；(2)对于双曲线，与点对应的极线方程为；(3)对于抛物线，与点对应的极线方程为.(4)如果圆锥曲线是椭圆，当为其焦点时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线，当为其焦点时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线，当为其焦点时，极线恰为抛物线的准线. 3.从极点与极线角度看圆锥曲

14、线试题【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为，右焦点为设过点的直线与此椭圆分别交于点，其中，(1)设动点P满足，求点的轨迹；(2)设，求点的坐标；(3)设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）xOBA图5KMN 分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当时，点坐标为，连，设直线与的交点为，根据极点与极线的定义可知，点对应的极线经过，又点对应的极线方程为，即，此直线恒过轴上的定点，从而直线也恒过定点. 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆过点，且左焦点为.(1)求椭圆的方程；BQxyOPA.图6(2)当过点的动直线与椭圆交于两个不同

15、的点时，在线段上取点，满足，证明点总在某定直线上.分析与解：(1)易求得答案.(2)由条件可有，说明点关于圆锥曲线调和共轭.根据定理2，点的轨迹就是点对应的极线，即，化简得. 故点总在定直线上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆，直线，是上一点，射线交椭圆于点，又点在上且满足，当点在上移动时，求点的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知可知点关于圆锥曲线调和共轭，而点可看作是点的极线与直线的交点. 设，则与对应的极线方程为RQxyOP.图7，化简得 又直线的方程为，化简得 解由联立方程组得ABPOxy图8F，消去得，可化为(不同时为)，故点的轨迹是以为中心，长短轴分别为和，且长轴平行于轴的椭圆，但需去掉坐标原点.【例4】(2006年全国卷II理21)已知抛物线的焦点为，是抛物线上的两动点，且，过两点分别作抛物线的切线，并设其交点为.(1)证明为定值；(2)设的面积为，写出的表达式，并求的最小值.分析与解：(1)显然，点的极线为，故可设点，再设，三点对应的极线方程分别为，由于三点共线，故相应的三极线共点于，将代入后面两个极线方程得，两式相减得.又，故.ABPOxy图9Fl(2)设的方程为，与抛物