数学建模常用方法总结(含程序)

1、 1.回归模型 （含剔除）5.2模型一的建立（含交叉项的多项式回归模型）由以上分析可知，如果交易费用率与影响其变动的主要影响因素：之间有很密切的关系，则应该有： （5-1）其中，和分别代表交易费用和影响其变动的主要因素。经初步判断，是多项式函数，其表达式为： （52）其中，分别为对应二级指标的系数；分别为对应的系数；分别为对应6种二级指标两两组合而成的项交叉项的系数；分别为对应6种二级指标三三组合而成的项交叉项的系数。（最多有三个之间的互相影响）因素不能超过8个式（5-2）对应的数据矩阵和向量分别为：其中，为一个30行1列的单位矩阵；为一个30行1列的矩阵，其列数据分别对应表3中第列中的数据；

2、列数据分别对应表3中第列中的数据的平方；列数据分别对应表3中第列中的数据两两组合而成的项交叉项的乘积；列数据分别对应表3中第列中的数据三三组合而成的项交叉项的乘积；为一个6行47列的矩阵，各行数据分别对应附录一中各国每年交易费用率的数据。5.3模型一的求解经MATLAB编程计算得： 故得回归方程： （53）5.4模型一的检验5.4.1回归方程（5-3）的显著性检验（检验）（1）提出假设： ，线性关系不显著； 至少有一个不等于0。（2）计算检验统计量：（3）确定显著性水平和分子自由度、分母自由度，找出临界值：，（4）作出决策：由查表可知，拒绝。5.4.2回归方程（5-3）的复相关系数对样本进行分

3、析计算可得：偏差平方和：回归平方和：残差平方和：由此求得模型一中多项式回归方程（5-3）的复相关系数为：由计算结果可知，模型一的复相关系数较高，所给数据的拟合性较好，符合要求。所以用含交叉项的多项式回归模型去拟合所给的数据是合适的，所以我们接受交易费用率与二级指标数据的关系之间满足线性相关关系这一假设。5.5模型一的评价与结论我们对所选指标进行逐步回归分析，确定其是否为影响交易费用率的主要因素，下表（表8）为当分别剔除各一级指标时模型一中多项式回归方程（5-3）的复相关系数值的变化情况。表8 当剔除各一级指标时模型一值的变化情况剔除指标复相关系数结论分工水平0.84860.1358不能剔除制度

4、环境0.85700.1274不能剔除教育水平0.83540.1490不能剔除由表8可知，当剔除各评价指标时，回归方程的复相关系数有较大变化，数据的拟合性有较大幅度下降，线性关系较原来差，所以各评价指标均不能剔除。 2.模型检验这个模型都通过统计检验，具有合理性，可靠性，则用线性回归组合预测模型 其中： 若：则检验通过说明不同模型得到的预测值整体与实际值线性关系显著所谓多重线性组合预测是利用不同模型组得到的组合值，再进行组合预测，从而提高了预测精度。根据上述方法的简述，我们建立最后将所得的模型进行了相应的改进，表达形式如下：在此模型中，我们的商差平方和：残差平方和：回归标准差：为相关系数：(拟合

5、优度)回归标准差：另外，为了便于分析，我们引入下标符号预测误差预测相对误差： 预测精度：综上所述：预测平均精度：或者用： 运用相关系数衡量变量之间相关程度 3 模糊聚类和综合评判（确定等级模型）首先，列举出有可能影响各种指标的评价因素，具体如上表所示。之后，我们针对经营状况评价标准进行了建模和求解：经营状况评价投资额经营面积月租金员工人数月营业额李家酒店老街咖啡屋大卫咖啡老战友豪客牛排馆百味福餐馆吴记蒸菜馆鲜味居菜馆模糊权重值：表示第项指标的信息 我们利用模糊数学建立隶属函数即归一法则：利用格贴近度来建立模糊相似矩阵： 即有模糊相似模型矩阵为：取进行聚类：得到矩阵 既有分类为： 对同一类的数据

6、进行删除，即留下剩余的影响指标为：四个顶级经营：，分别表示好，较好，一般，差即得到多因素评判矩阵：权的分配：欧几里得贴近度：由贴近公式得到： 综上所述： B的贴近度程序a=276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.22

7、46.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6453.4 365.5 357.6

8、 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1;mu=mean(a),sigma=std(a)for i=1:12for j=1:12r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i)2/(sigma(i)+sigma(j)2);endendrsave d

9、ata1 r a%ii）矩阵合成的MATLAB 函数function rhat=hecheng(r);n=length(r);for i=1:nfor j=1:nrhat(i,j)=max(min(r(i,:);r(:,j)');endend%iii）求模糊等价矩阵和聚类的程序load data1r1=hecheng(r)r2=hecheng(r1)r3=hecheng(r2)bh=zeros(12);bh(find(r2>=0.998)=1 确定等级例 12 现有五个等级的茶叶样品1 2 3 4 5 A , A , A , A , A ，待识别茶叶B。反映茶叶质量的因素有六项指

10、标，构成论域U ，其中U = x1, x2, x3, x4, x5, x6 ;px1 条索x2 色泽x3 净度x4 汤色x5 香气x6 滋味设五个等级的样品对 6 项指标的数值为：A1=(0.5,0.4,0.3,0.6,0.5,0.4) A2=(0.3,0.2,0.2,0.1,0.2,0.2) A3=(0.2,0.2,0.2,0.1,0.1,0.2) A4=(0,0.1,0.2,0.1,0.1,0.1) A5=(0,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)待识别茶叶的各项指标值为B = (0.4,0.2,0.1,0.4,0.5,0.6)确定 B 的属类。解 利用格贴近度公式计算可得N(B, I

11、 ) = 0.5，N(B, II ) = 0.3，N(B, III ) = 0.2，N(B, IV) = 0.2，N(B, V) = 0.1按择近原则，可以将 B 定为一级茶叶（与1 A 同属一类）。计算的 MATLAB 程序如下：a=0.5 0.4 0.3 0.6 0.5 0.40.3 0.2 0.2 0.1 0.2 0.20.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.20 0.1 0.2 0.1 0.1 0.10 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1;b=0.4 0.2 0.1 0.4 0.5 0.6;for i=1:5x=a(i,:);b;t(i)=min(max(min(x) 1-mi

12、n(max(x);endt*4.确定权重模型一方法一运用方差除以平均值：综上所述，得到问题三的单目标优化模型二方法二它们每个数都有一些相同数，表示为：k1,k2,k3.kn; 加权平均的公式是（k1p1+k2p2+k3p3+knpn）/n 加权求和评分法选址实施步骤：1、找到设施选择的各种影响因素：把有关的影响因素列成一个清单只需要列出主要的、各店址方案有明显差异的影响因素2、根据各因素的重要程度确定相应的权，确定每个影响因素的权重3、对各因素由优到劣分成等级，并相应规定各等级的分数。4、将每个因素中各方案的排队等级分数乘以该因素的相应权数，得到各候选方案的总得分5、汇总各方案总分，并根据得分

13、高低，评判方案的优劣，方便取舍。三方法三 熵权法 （具体见PPT）四方法四 模糊聚类和灰色关联度可以联合用先聚类表一：各种有可能影响交易费用的因素年份市场化水平公路里程货币化程度高等教育毛入学率19780.2188931.981.27%19790.24988.336.112.07%19800.32189.840.792.22%19810.33890.745.972.16%19820.35891.548.851.96%20050.7169346196.4821%20060.7244358205.3322%20070.732362220.1423%数据来源中国经济年鉴2008年(二)运用模糊数学聚

14、类分析剔除同类因素1、我们利用模糊数学隶属函数来对上表数据进行归一：2、利用格贴近度来建立模糊相似矩阵： 即有模糊相似模型矩阵为：3、取进行聚类：表示第项指标的信息 得到矩阵 综上所诉：（目标函数）对矩阵运用01判别：既有分类为：4、用软件编程，对同一类的数据进行删除，即最终确定的主要因素为：再进行灰色关联度分析；7.2.1灰色系统理论关联分析：选取参数列；（表示年数、表示影响因素个数）假设有个比较数列规范数列，称为原始数列的初始化数列。则有比较数列对参考数列在时刻的关联系数：(称上面式子中、分别为两级最小差及两级最大差, 其中为分辨系数)综上所诉：（目标函数）数列对参考数列的关联度为由上式易

15、看出，关联度是各个时刻的关联系数集中为一个平均值，亦即把过于分散的信息集中处理，利用关联度这个概念，我们可以对各种问题进行因素分析。考虑下面的问题。综上，最终建立模型为：7.3模型的求解这样，我们对收集数据进行处理。又利用了软件进行了相关的编程，最后计算的结果如下：表6：数值的具体求解(灰色关联度程序)clc,clearload x.txt %把原始数据存放在纯文本文件x.txt 中，其中把数据的"替换替换成.for i=1:15x(i,:)=x(i,:)/x(i,1); %标准化数据endfor i=16:17x(i,:)=x(i,1)./x(i,:); %标准化数据enddata

16、=x;n=size(data,2); %求矩阵的列数，即观测时刻的个数ck=data(1,:); %提出参考数列bj=data(2:end,:); %提出比较数列m2=size(bj,1); %求比较数列的个数for j=1:m2t(j,:)=bj(j,:)-ck;endmn=min(min(abs(t'); %求最小差mx=max(max(abs(t'); %求最大差rho=0.5; %分辨系数设置ksi=(mn+rho*mx)./(abs(t)+rho*mx); %求关联系数r=sum(ksi')/n %求关联度rs,rind=sort(r,'descend

17、') %对关联度进行排序 五1、分层分析法示意图 图1：分层分析法示意图2、构造判断矩阵设现在要比较个因子对某种因素的影响大小，采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子和，以表示和对的影响大小之比，全部比较结果用矩阵表示，称为之间的成对比较判断矩阵。容易看出，若和对的影响之比为，则有 。定义 若矩阵满足；则称之为正互反矩阵（易见）3、层次排序及一致性检验判断矩阵对应最大特征值的特征向量，经过化一后即为同一层次相应因素对于上一层次某种因素相对重要性的排序权值。其中矩阵还应满足：矩阵满足以上条件，我们要对其进行一致性检验：（i）计算一致性指标（ii）查找相应的平均随机

18、一致性指标。对，给出了的值，如表一所示：表一：的值123456789000.580.901.120.241.321.411.45（iii）计算一致性比例（当时，认为层次总排序结果具有满意的一致性并接受该分析结果。）当将层次总排序合成时，具体表格如下：表二：层次总排序合成表层A层B层总排序权值 综上所诉：（目标函数）各因素的权重为 约束条件为（层次分析程序）clc,clearfid=fopen('txt3.txt','r');n1=6;n2=3;a=;for i=1:n1tmp=str2num(fgetl(fid);a=a;tmp; %读准则层判断矩阵endfor

19、 i=1:n1str1=char('b',int2str(i),'=;');str2=char('b',int2str(i),'=b',int2str(i),'tmp;');eval(str1);for j=1:n2tmp=str2num(fgetl(fid);eval(str2); %读方案层的判断矩阵end-173-endri=0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45; %一致性指标x,y=eig(a);lamda=max(diag(y);num=find(diag(y)=l

20、amda);w0=x(:,num)/sum(x(:,num);cr0=(lamda-n1)/(n1-1)/ri(n1)for i=1:n1x,y=eig(eval(char('b',int2str(i);lamda=max(diag(y);num=find(diag(y)=lamda);w1(:,i)=x(:,num)/sum(x(:,num);cr1(i)=(lamda-n2)/(n2-1)/ri(n2);endcr1, ts=w1*w0, cr=cr1*w0纯文本文件txt3.txt中的数据格式如下：1 1 1 4 1 1/21 1 2 4 1 1/21 1/2 1 5 3

21、 1/21/4 1/4 1/5 1 1/3 1/31 1 1/3 3 1 12 2 2 3 3 11 1/4 1/24 1 32 1/3 11 1/4 1/54 1 1/25 2 11 3 1/31/3 1 1/73 7 11 1/3 53 1 71/5 1/7 11 1 71 1 71/7 1/7 11 7 91/7 1 16. 3模型的求解我们通过软件进行相关的编程，利用程序最后计算出的结果如下：表三：各种因素所占权重分工水平全国消费成品交额非国有化程度教育毛收入0.19060.12050.27070.4182市场化水平制度环境教育水平0.41210.21860.36930.0270六预测

22、模型方法一：时间预测7.2.1.2模型一的建立把初始数据定义为：第一次平移数据数列： 第二次平移数据数列： 综上所诉：（目标函数）建立预测线性模型：（表示预测超前周期数）约束条件：方法二：灰色预测7.2.2.1灰色预测模型的相关知识模型是灰色预测的核心，它是一个单个变量预测的一阶微分方程模型，其离散时间响应函数近似呈指数规律。根据数据分析我们可以得出题目中给定的数据大体上符合该规律。7.2.2.2模型的建立原始非负时间序列：为累加生成序列，即：邻接方程：模型的白化微分方程：解决此微分方程得灰色预测的离散时间响应函数：设：为待定参数，为待辨识内生变量，则有待辨识向量：按照最小二乘法得出：，其中：

23、 综上所诉：（目标函数）灰色预测的响应函数为七：最小二乘法8.2模型四的建立（最小二乘法）（1）设定拟合曲线f（x）寻找函数（曲线）y= f（x）,使f（x）在某种准则下与所有数据点最接近，即曲线拟合的最好，其表达式为：其中，为各相关国家历年人类发展指数，为各相关国家历年交易费用率，是待定系数。拟合准则是使与的距离的平方和最小，称为最小二乘原则。（2）确定系数记为求使达到最小，只需利用极值的必要条件，得到关于的线性方程组当线性无关时，上述方程有唯一解。（3）选取函数综上所述：（目标函数）根据拟合图6，我们选取如下多项式函数（曲线）去拟合约束条件 将几个因素综合起来可以把它们分别赋一个权，然后定

24、义一个影响度的概念把他们写成一个模型，（模型一定要有最终的目标，可以是算法中自带的，没有的话一定要自己根据题目中的要求自定义一个，这样评卷老师一看就清晰明了）像世博的影响力的那题：把影响力这样一个抽象的概念定义为：总影响力的定义：各指标影响力与其权重乘积的和 八 主层次分析法（聚类和层次分析）通过上述主成分分析的基本原理的介绍，我们可以把主成分分析计算步骤归纳如下：主成分分析是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。假定有n个地理样本，每个样本共有p个变量描述，这样就构成了一个n×p阶的地理数据矩阵：如果记原来的变量指标为x1，x2

25、，xp，它们的综合指标新变量指标为x1，x2，zm（mp)。则系数lij由下列原则来决定：（1)zi与zj（ij；i，j=1，2，m)相互无关；（2)z1是x1，x2，xp的一切线性组合中方差最大者；z2是与z1不相关的x1，x2，xp的所有线性组合中方差最大者；zm是与z1，z2，zm-1都不相关的x1，x2，xp的所有线性组合中方差最大者。这样决定的新变量指标z1，z2，zm分别称为原变量指标x1，x2，xp的第一，第二，第m主成分。其中，z1在总方差中占的比例最大，z2，z3，zm的方差依次递减。在实际问题的分析中，常挑选前几个最大的主成分，这样既减少了变量的数目，又抓住了主要矛盾，简化

26、了变量之间的关系。从以上分析可以看出，找主成分就是确定原来变量xj（j=1，2，p)在诸主成分zi（i=1，2，m)上的载荷lij（i=1，2，m；j=1，2，p)，从数学上容易知道，它们分别是x1，x2，xp的相关矩阵的m个较大的特征值所对应的特征向量。（1)计算相关系数矩阵在公式（3)中，rij（i，j=1，2，p)为原来变量xi与xj的相关系数，其计算公式为因为R是实对称矩阵（即rij=rji)，所以只需计算其上三角元素或下三角元素即可。（2)计算特征值与特征向量首先解特征方程I-R=0求出特征值i（i=1，2，p)，并使其按大小顺序排列，即12，p0；然后分别求出对应于特征值i的特征向

27、量ei（i=1，2，p)。（3)计算主成分贡献率及累计贡献率一般取累计贡献率达85-95的特征值1，2，m所对应的第一，第二，第m（mp)个主成分。（4)计算主成分载荷由此可以进一步计算主成分得分：九0-1模型一指派问题 设变量为,当第i个人作第j项工作时， =,否则. =。因此，相应的线性规划问题为： 约束条件： 程序：model: sets: people/1.6/; work/1.6/; link(people,work):c,x; endsets data: c= 20 15 16 5 4 7 17 15 33 12 8 6 9 12 18 16 30 13 12 8 11 27 19 14 -99 7 10 21 10 32 -99 -99 -99 6 11 13; enddata max=sum(link:c*x); for(people(i):sum(link(i,j):x(i,j)=1); for(work(i):sum(link(i,j):x(j,i)=1); End 二，背包问题 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?十 ， 图论网络(赋权图) 有向图 G=(V, A) 中，给每条边 a=<vi, vj> 赋予一个实数权 w