函数与极限函数实用教案

1、绪论绪论(xln) 高等数学发展简史 微积分的基本思想(sxing)和方法 学习方法第1页/共80页第一页，共81页。初等数学时期初等数学时期(shq)（公元前（公元前3世纪世纪17世纪）世纪）初等数学的主要研究对象：匀速的运动（速度不变）；匀加速运动（速度均匀(jnyn)变化）；直边图形（不弯曲）； 圆弧形图形（均匀(jnyn)弯曲）； 有限次四则运算。第2页/共80页第二页，共81页。x yOy=x21xi微积分的基本思想(sxing)和方法 速度(sd)问题 面积(min j)问题l瞬时速度l曲边图形的面积第3页/共80页第三页，共81页。一、高等数学与初等数学的一、高等数学与初等数学的

2、 初等数学初等数学研究的常量与固定研究的常量与固定图形图形(txng)，即常量数学，即常量数学区别(qbi) 思维.它的方法是孤立 的静止(jngzh)的，属形式逻辑。第4页/共80页第四页，共81页。 高等数学 研究变量和变化的图形，即变量数学。它的方法(fngf)是运动 的联系的，辩证的，属辩证逻辑。 第5页/共80页第五页，共81页。二、微积分历史简介简介： 我们即将学习的高等数学高等数学，它的主要内容是微积分微积分。研究函数的一门学科，它产生于十六.七世纪，主要是为解决当时 而创立的。个问题个问题第6页/共80页第六页，共81页。 求物体在任意时刻的瞬时速度、加速度。 求曲线在一点的切

3、线（光线穿过(chun u)凸透镜 的一系列问题） 求最大值、最小值（炮弹的最大射程、行星 离开太阳的最远、最近距离等） 求面积、体积、物体的重心等第7页/共80页第七页，共81页。 这四个问题引起了当时(dngsh)大多数科学家的注意，他们在研究这些问题的过程中所产生的数学思想、方法就是微积分的萌芽。微积分问题至少被十七世纪十几个大数学家和几十个小的数学家探索过，位于他们全部贡献的顶峰是牛顿、莱布尼兹。第8页/共80页第八页，共81页。牛顿牛顿(ni dn) 牛顿对微积分的研究(ynji)偏重物理方向。 伟大英国(yn u)数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。 第9页/共80页第九页，共

4、81页。 莱布尼兹是哲学博士、 外交官、法学家、历史学 家 、语言学家、地质学家 、逻辑学家。并在力学、光学、流体力学、气体力学、航海学、计算机方面(fngmin)也做了重要工作。莱布尼兹对微积分的研究偏重于哲学方向。莱布尼兹第10页/共80页第十页，共81页。有人说: 牛顿和莱布尼兹是微积分的创始人，实际上这样说是不准确的。因为在数学和科学的巨大进展中，几乎总是建立在几百年中作出过一点一滴贡献的许多人的工作之上，需要有一个人走那最高和最后的一步(y b)。这个人要能够敏锐地从这些纷乱的猜测和说明中清理出前人有价值的想法，有足够的想象力把这些碎片重新组织起来，这个人就是牛顿。第11页/共80页

5、第十一页，共81页。 历史上曾有过牛顿莱布尼茨学派之争达一百年之久，互相指责剽窃了对方，后经调查证实：他们两人对微积分的研究都是独立的。牛顿早一些，但他并没有把研究成果即时公布于世，以致误会。牛顿创立了许多方法，是经验的、具体的、谨慎的； 第12页/共80页第十二页，共81页。而莱布尼兹富于想象，是大胆的，喜欢推广，关心符号、法则、公式广泛(gungfn)意义下的微积分。侧重点不同，但可以互补。 十七世纪的微积分是不严密的。他们都满足于计算，只要结果有用就行，包括都没有把微积分的基本概念弄清楚，更不用说精确了。他们不能正确解释这些概念，而是依靠成果的彼此一致和方法的多产，没有严密地向前推进。十

6、八世纪也是糊里糊涂十八世纪也是糊里糊涂(h l h t)。第13页/共80页第十三页，共81页。 十九世纪以后，由于数学自身的发展，才有一些数学家作了这方面的工作(gngzu)，以至成了现在的有严谨理论体系的微积分。教学内容决定教学方法，因此(ync)我们有意识地在教材的处理上做一些尝试，准备多种教法并用。第14页/共80页第十四页，共81页。 名称：高等数学 总课时：4课时（6）/周； 内容：一元、多元函数微分学、积分学；矢量代数、空间解析几何；无穷(wqing)级数；微分方程第15页/共80页第十五页，共81页。高等数学（上册）高等数学（上册）各章的知识结构和联系各章的知识结构和联系(li

7、nx)极限(jxin)与连续函数(hnsh)导数与微分导数的应用不定积分定积分及 其应用常微方程第16页/共80页第十六页，共81页。目的(md) 掌握高等数学的基本知识，基本理论，基本计算方法，提高数学素养。 培养抽象思维和逻辑推理的能力、辩证的思想方法。 培养空间想象能力。 培养分析问题和解决问题的能力。 为学生(xu sheng)进一步学习数学打下一定的基础，为学习专业的后继课程准备必要的数学基础。第17页/共80页第十七页，共81页。 学习(xux)(xux)方法 课前课堂课后 华罗庚讲：学习数学(shxu)，若不做习题，如入宝山而空返。第18页/共80页第十八页，共81页。第一章第一

8、章 函数函数(hnsh)(hnsh)与与极限极限第19页/共80页第十九页，共81页。第一节 函 数第20页/共80页第二十页，共81页。 常量(chngling)与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数 学的习惯。 还有一些(yxi)量在过程中是变化着的，也就是可以取 不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z， u，v，w，s，t 等。 在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中(qzhng)有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。常用字母为 a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。常量与变量第21页/共80页第二十一页，共81页。区间(q jin)和

9、邻域 几个数集: N表示所有自然数构成的集合(jh), 称为自然数集. N0, 1, 2, , n, . N1, 2, , n, . R表示所有实数构成的集合(jh), 称为实数集. Z表示所有整数构成的集合(jh), 称为整数集. Z , n, , 2, 1, 0, 1, 2, , n, . Q表示所有有理数构成的集合(jh), 称为有理数集. 第22页/共80页第二十二页，共81页。有限区间(q jin): 设ab, 称数集x|axb为开区间(q jin), 记为(a, b), 即 (a, b)x|axb. 类似地有 a, b x | a xb 称为闭区间(q jin), a, b) x

10、| axb 、(a, b x | axb 称为半开区间(q jin). 其中a和b称为区间(q jin)(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端点, ba称为区间(q jin)的长度. 无限区间(q jin): a, ) x | ax , (, b x | x b , (, )x | | x | 0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，即 U(a, ) =x|a-xa+ =x| |x-a|。其中点 a 称为(chn wi)邻域的中心, 称为(chn wi)邻域的半径。xOa-da+d去心邻域(ln y): (a,d) =x |0| x-a |d。UxOa-da+

11、da第24页/共80页第二十四页，共81页。：All，任意一个(y )，或任意，所有；：Exist，存在，能找到。第25页/共80页第二十五页，共81页。函数(hnsh)举例例1. 圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(kq)(0, +)内的任意值,就可确定A的对应确定的数值。例2. 圆内接正n边形的周长的计算公式为 Sn=2nr sin - ， n可取3，4，5， 。pn第26页/共80页第二十六页，共81页。 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对于(duy)每个数xD，变量 y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作y=f(x)。 定义

12、中，数集D叫做这个函数的定义域， x叫做自变量，y叫做因变量。 函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f 也可改用其它(qt)字母，例如j 、F 等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。1.1.1. 函数(hnsh)的定义第27页/共80页第二十七页，共81页。 值域：Vf=f(X)=y | y=f(x)，xD。定义域： 在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实(qi sh)数值。函数(hnsh)值： 当 x取数值 x0D时，与 x0对应的 y的数值称为函数(hnsh) y=f(x)在点 x0处

13、的函数(hnsh)值，记为 f(x0)。第28页/共80页第二十八页，共81页。函数(hnsh)概念 应注意的问题: 记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示(biosh)自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示(biosh)与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f(x), xD”或“y=f(x), xD”来表示(biosh)定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 函数符号: 函数yf(x)中表示(biosh)对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“F”, “”等. 此时函数就记作 y (x), yF(x). 第29页/共80页第二十九页，共8

14、1页。函数(hnsh)的两要素 函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R内, 因此构成函数的要素是定义域D及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么(n me)这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 第30页/共80页第三十页，共81页。注意(zh y) 确定值域：根据定义域和对应法则(fz) 确定定义域： 1. 有实际意义的：根据实际问题有意义来确定 2. 无实际意义的：自变量所能取得的使y=f(x)成立的一切数值第31页/共80页第三十一页，共81页。例如(lr): y=arcsin(X2+2)第32页/共80页第三十二页，共81页。例：下列(xili)各函

15、数对中，（）中的两个函数相等，(A)(B)(C)(D)题型一：判断函数题型一：判断函数(hnsh)的等的等价性价性解题方法：利用两个函数当且仅当它们的定义域和对解题方法：利用两个函数当且仅当它们的定义域和对应法则完全一致时，才表示应法则完全一致时，才表示(biosh)同一函数，否则同一函数，否则它们就是两个函数。它们就是两个函数。第33页/共80页第三十三页，共81页。例：若函数(hnsh)的定义域是0，1，则函数(hnsh) 的定义域是() 题型二：求函数的定义域题型二：求函数的定义域解题方法解题方法(fngf)：（1）对于一般函数）对于一般函数.，（2）对于复杂函数）对于复杂函数.，（3）

16、直接代入）直接代入， （4）对于复合函数）对于复合函数f(x)，可用已知的，可用已知的y=f(x)的定义的定义域，令域，令t= (x)，解出，解出x的变化范围即可。的变化范围即可。第34页/共80页第三十四页，共81页。例题(lt)：设 ， ，且 求 定义域。第35页/共80页第三十五页，共81页。题型三：求函数题型三：求函数f(x)的表达式的表达式解题方法解题方法(fngf)：利用变量代换法和变量无关性。：利用变量代换法和变量无关性。例题：设f（x）满足方程 其中(qzhng)a、b、c为常数，且求f（x）。 第36页/共80页第三十六页，共81页。 函数(hnsh)的定义域为D=(-, +

17、)。 函数(hnsh)的值域为W=0, + )。yxOy=|x| x, x 0 -x, x0 0, 当x=0-1, 当xM。Oxyy=f(x)y= -My= M第43页/共80页第四十三页，共81页。函数(hnsh)的有界性举例：例1. f(x) = sin x在(-, +)上是有界的： 即| sin x | 1。-11yxO-2p -pp 2py=sin x例2. 第44页/共80页第四十四页，共81页。Oxy1 2y=1/x 函数(hnsh)f(x)=1/x在开区间(0,1)内是无界的。无界函数(hnsh)举例： 函数(hnsh)f(x) =1/x在(0, 1)内有下界，无上界。 这是因为

18、，任取M1，总有0 x1=(2M) -1M，所以函数(hnsh)无上界。 但此函数在(1, 2)内是有 界的。第45页/共80页第四十五页，共81页。注意：若函数(hnsh)f(x)在区间I上有界函数(hnsh)f(x)在区间I上既有上界，又有下界第46页/共80页第四十六页，共81页。题型：函数(hnsh)的有界性解题思路 定义法：利用定义，对函数取绝对值，再对不等式进行缩放。 利用极限（后面(hu mian)章节讲） 利用闭区间上连续函数的有界性（后面(hu mian)章节讲） 利用导数（后面(hu mian)章节讲） 例如：判断 在定义域(-,+)内的有界性第47页/共80页第四十七页，

19、共81页。2. 函数(hnsh)的单调性x1x2f(x2)f(x1)OxyI y=f(x) 设函数y= f(x)在区间I上有定义。如果对于区间 I 上任意两点x1及x2，当x1 x2时，恒有f(x1) f(x2)，(?)则称函数f(x)在区间I上是单调增加(?)的。第48页/共80页第四十八页，共81页。 如果(rgu)对于区间I上任意两点x1及x2，当 x1 f(x2)， 单调增加和单调减少的函数(hnsh)统称为单调函数(hnsh)。第49页/共80页第四十九页，共81页。函数(hnsh)单调性举例 函数(hnsh)y=x2.第50页/共80页第五十页，共81页。题型：判别函数的单调(dn

20、dio)性 利用(lyng)定义 利用(lyng)导数法（后面章节讲述）第51页/共80页第五十一页，共81页。 设函数f(x)的定义域D关于原点对称(duchn)(或称函数在关于原点对称(duchn)的区间上)。如果对于任意的xD，有f(-x)= f(x)，则称f(x)为偶函数。3. 函数(hnsh)的奇偶性Oxy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函数举例(j l)： y=x2， y=cos x都是偶函数 偶函数的图形关于y轴对称。第52页/共80页第五十二页，共81页。奇偶函数(hnsh)举例： y=x3， y=sin x都是奇函数(hnsh)。101x -22y3xy = 如果对于

21、任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形(txng)关于原点对称。第53页/共80页第五十三页，共81页。函数(hnsh)奇偶性的判别利用定义利用奇偶函数的运算性质：1.奇函数的代数和，2.偶函数的代数和.；3.偶函数之积.；4.奇函数和偶函数之积；5.f(x)+f(-x); f(x)-f(-x); f(x)+f(-x)=0时，f(x)是函数。函数的奇偶性是相对于对称区间(q jin)而言，否则例如第54页/共80页第五十四页，共81页。 设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不为零的数 l ，使得对于任一xD有(xl)D，且 f(x+l) = f(x)，则

22、称f(x)为周期函数(zhu q hn sh)，l 称为f(x)的周期。 周期函数(zhu q hn sh)的图形特点： yxOl2l-2l-ly=f(x)4. 函数(hnsh)的周期性第55页/共80页第五十五页，共81页。1.1.3. 反函数与复合(fh)函数 对于任一数值(shz) yV，D上至少可以确定一个数值(shz) x 与 y 对应，这个数值(shz) x 适合关系 f(x)=y。 如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义(dngy)就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x= f -1(y)= j(y)。1. 反函数 设函数y=f(x)的定

23、义域为D，值域为V。y=y0Oxyx1x2y0Dy=f(x)(x1, y0)(x2, y0)W第56页/共80页第五十六页，共81页。Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y 单调(dndio)函数的反函数是单值函数 什么样的函数(hnsh)存在单值的反函数(hnsh)？第57页/共80页第五十七页，共81页。Oxy-xxy=x2y y=x2 的反函数(hnsh)是多值函数(hnsh)：x= 。y 把 x限制在区间 0,)，则y=x2 的反函数是单值的，即x= 。它称为函数y=x2 的反函数的一个单值分支。y反函数的单值分支：y 另一个单值分支为x=- 。 第58页/共80页第五十八页

24、，共81页。 在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用y 表示。按此习惯，我们把函数(hnsh) y=f(x)的反函数(hnsh)x=j(y)改写成y=j(x)。例如y=x2的反函数(hnsh)写为y= 。反函数的图形反函数的图形(txng)： 反函数的图形反函数的图形(txng)与直接函与直接函数的图形数的图形(txng)关于直线关于直线y = x对对称。称。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)关于反函数的变量(binling)符号：第59页/共80页第五十九页，共81页。例:设函数(hnsh)y=f（x），求其反函数(hnsh)y=f-1（x）第60页/共80页第六

25、十页，共81页。 对于任一 x -1，1，先计算 u=1-x2，然后再计算 y= ，这就是说函数 y= 的对应法则是由函数u=1-x2和y= 所决定(judng)的，我们称函数 y= 是由函数u=1-x2和y= 复合而成的复合函数，变量 u称为中间变量例 函数 y= 表示 y是 x的函数，它的定义域为 -1，1设 u=1-x2，则函数 y= 的值可以按如下方法计算：2复合(fh)函数第61页/共80页第六十一页，共81页。D1D2u=j(x)y =f(u)y =f j(x)复合(fh)函数： 一般地，设函数(hnsh)y =f(u)的定义域为D1，函数(hnsh)u=j(x)在数集D2上有定义

26、，如果 u | u= j(x)， xD2 D1则对于任一 xD2，通过变量u能确定一个变量y的值，这样就得到了一个以x为自变量、y为因变量的函数(hnsh)，这个函数(hnsh)称为由函数(hnsh) y =f(u)和u=j(x)复合而成的复合函数(hnsh)，记为y =f j(x) ，其中定义域为D2(?)，u称为中间变量第62页/共80页第六十二页，共81页。复合而成的其中u， v 都是中间(zhngjin)变量函数y= 可看作是由y= ，u=1+v2，v=lnxx2ln1+函数y= ，u=cot v，v= 经复合可得函数2x问：函数(hnsh)y=arcsin u与u=2+x2能构成复合

27、函数(hnsh)吗？2cotxy = 例 函数(hnsh)y=arctan (x)2可看作是由y=arctanu和u=x2复合而成的第63页/共80页第六十三页，共81页。第64页/共80页第六十四页，共81页。1.1.4. 初等(chdng)函数1. 幂函数 函数 y=xm （m 是常数）叫做幂函数 幂函数的定义域：与常数m 有关(yugun)，但函数在（0，+）内总有定义 最常见的幂函数：xyO11y = x 2y = xy = xxyO11y=x-1y=x3第65页/共80页第六十五页，共81页。1a1 y=( )x1ay=axxyO常用(chn yn)的指数函数为 y=ex.2指数函数

28、 函数 y=ax (a是常数，且a0，a 1)叫做(jiozu)指数函数指数函数的定义域：D=（- ，+ ） 单调性： 若a1，则指数函数单调增加； 若0a1y=axxyOy=logax3对数函数 指数函数(zh sh hn sh)y=ax的反函数叫做对数函数，记为y=logax(a0，a 1) 对数函数的定义域是区间(0，+ ) 自然对数函数：y=ln x=loge x.第67页/共80页第六十七页，共81页。常用的三角函数有：正弦(zhngxin)函数： y=sin x1-1y=cos x余弦(yxin)函数： y=cos x1-1y=sin xyxOxyO4三角函数(snjihnsh)第

29、68页/共80页第六十八页，共81页。正切(zhngqi)函数： y=tan x 余切(yqi)函数： y=cot xxyO-pp p 2 p 2xyO-pp p 2 p 2y=tan xy=cot x第69页/共80页第六十九页，共81页。正割、余割(yg)函数的性质：是以2p为周期的函数，在区间(0, )正割(zhngg)函数：p2余割(yg)函数：内是无界函数 y = sec x = - 。1cos x1sin x y= csc x =- 。第70页/共80页第七十页，共81页。 反正(fnzhng)弦函数的主值： y=arcsin x，x ， .反三角函数(snjihnsh)是三角函数

30、(snjihnsh)的反函数，它们都是多值函数. p 2p2反正(fnzhng)弦函数： y=Arcsin x， 定义域为-1，1.反余弦函数： y=Arccos x 定义域为-1，1 反余弦函数的主值： y=arccos x，x(0，p)-11yxO p 2p2y=Arcsin xy=arcsin xyxOp-11y=Arccos xy=arccos x5反三角函数第71页/共80页第七十一页，共81页。反正(fnzhng)切函数的主值： y=arctan x，反正(fnzhng)切函数： y=Arctan x,定义域为(- ， ).Oxy p 2p2y=arctan x p 2p2 其值域

31、规定为( ， )第72页/共80页第七十二页，共81页。反余切(yqi)函数的主值： y=arccot x，其值域规定为(0，p)反余切(yqi)函数： y=Arccot x，定义域为(- ， +).y=arccot xOxyp第73页/共80页第七十三页，共81页。6基本(jbn)初等函数与初等函数 幂函数(hnsh)、指数函数(hnsh)、对数函数(hnsh)、三函数(hnsh)和反三角函数(hnsh)统称为基本初等函数(hnsh) 由常数和基本初等函数(hnsh)经过有限次的四则运算和有限次的函数(hnsh)复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数(hnsh)，称为初等函数(hnsh)都是初等(chdng)函数例如21xy-=，2cotxy =，第74页/共80页第七十四页，共81页。7双曲函数(hnsh)（实际上是初等函数(hnsh)） 应用上常遇到的双曲函数(hnsh)是：双曲正弦：sh x= (ex-e-x)12双曲余弦：ch x= (ex+e-x)12双曲正切：th x = =xxxxeeee-+-sh xch xy=ch xy=sh x1xyOy= e-