函数的连续性132实用教案

1、图 (1)-(4) 在 x0 处曲线(qxin)出现间断;图 (5)曲线(qxin)在 x0 处连续.图形(txng) (5)的特征：f(x0)f(x)在 x0 处连续xy0 x0y=f(x)(5)f(x)x其中 即, xxx00)(lim 定义：设 在某邻域 上有定义 ,如果 )(xf),(r xN0)()(lim00 xfxfxx 则称 在 x0 处连续 )(xf第1页/共32页第一页，共33页。f(x) 在 x0 处连续的 语言描述： )(xf有有时时使当使当存在存在给的给的 xx , 000设 在某邻域 内有定义 ,如果对任 )(0 xN.)()( 0 xfxff (x) 在 x0 处

2、连续(linx)的三要素：)(xf（1） 在某邻域 内有定义 ； )(0 xN)(limxfxx0（2） 存在 (设为A );(3).)(Axf 0f(x) 在 x0 处左连续(linx)：f(x) 在 x0 处右连续(linx)：第2页/共32页第二页，共33页。f(x) 在 (a , b) 内连续(linx)：若 f (x) 在 (a , b) 内每一点处都连续 ( 称 f (x)为 (a , b) 内的连续函数 )f(x) 在 a , b 上连续(linx)：若 f (x) 在 (a , b) 内连续 , 在 x = a 处右连续 , 在 x = b 出左连续 , 则称 f(x) 在 a

3、 , b 上连续 (称为 a , b 上的连续函数)00 xxfxxf 在在函数函数处连续处连续在在函数函数)()(定理)()()(00000 xfxfxf 即即有有处处既既左左连连续续又又右右连连续续 ,第3页/共32页第三页，共33页。20 连续函数的运算(yn sun)性质定理 ( 连续函数的四则运算(s z yn sun)性质)设 f(x) , g(x) 在点 x0 处连续 , 则(1) f(x) g(x) 在点 x0 处也连续 ;(2) f(x) g(x) 在点 x0 处也连续 ;(3) 若 在点 x0 处也连续 ;)()()(xgxf , xg00 连续函数经四则运算(s z yn

4、 sun)后 , 在其定义域上连续第4页/共32页第四页，共33页。基本初等(chdng)函数的连续性(1) 基本三角函数(snjihnsh)在定义域上连续,sinsinlim xxxx00,coscoslim xxxx00由可知(k zh)：sinx ，cosx 在其定义域上连续 再根据连续函数的四则运算性质知：tanx ，cotx ，secx ，cscx 在其定义域上连续 所以, 基本三角函数在定义域上连续第5页/共32页第五页，共33页。证明(zhngmng)对任意(rny)的 x0 R , 证明(zhngmng)对任意的 x0 0 , 利用结论 (2) 指数函数 f (x) = ax

5、( a0 , a 1 ) 在其定义域上连续 (3) 对数函数 f(x) = logax ( a0 , a 1 ) 在其定义域 上连续第6页/共32页第六页，共33页。(4) 幂函数 f (x) = x ( 0 ) 在其定义域上连续(linx) 证明(zhngmng)对任意(rny)的 x0 0 ,xtln 第7页/共32页第七页，共33页。定理(dngl) ( 反函数的连续性)设 y=f (x)在 a , b 上连续,并且严格单调增 ( 或严格单调减 ) , f (a) =,在 (或 )f (b) = ,则反函数 )(yfx1 , , 上连续 , 并且也是严格单调增加(或严格单调减少).证明(

6、zhngmng) 略(5) 反三角函数(snjihnsh)在其定义域上连续 从而有以下结论：基本初等函数在定义域上是连续的第8页/共32页第八页，共33页。定理 (复合(fh)函数的极限)若, uxgxx00 )(limf (u) 在 u0 处连续 , 则有, ufufxgfuuxx)()(lim)(lim000 即)(lim()(limxgfxgfxxxx00 说明：当 函数 f 连续时, 极限符号与函数符号 f 可以交换次序 证明(zhngmng)对任意的 因为 y =f (u) 在 u0 处连续 , 0 第9页/共32页第九页，共33页。从而得, ufufufxgf )()()()(00

7、定理(dngl)证毕第10页/共32页第十页，共33页。推论(tuln)设 u= g ( x )在 x0 处连续 , u0= g ( x0 ) , y=f (u)在 u0 处连续 , 则复合函数 y=f ( g ( x ) 在点 x0 处连续 , 即可知：两个(有限个) 连续函数构成的复合函数在一定的区间内也是连续函数定理 一切初等函数在其定义区间(q jin)内都是连续的例如(lr)第11页/共32页第十一页，共33页。30 函数(hnsh)的间断点及其分类如果f (x) 在 x0 处不连续 , 则称点 x0 为函数 f (x)的间断点 (或不连续点) .f (x) 在 x0 处连续(lin

8、x)的三要素：)(limxfxx0（2） 存在 (设为A );(3)Axf )(0（1）f (x) 在某邻域 内有定义 ； )(0 xN第12页/共32页第十二页，共33页。X0 xy0Ay=f(x)(1)f(x)在 x0 处无定义X0y=f(x)xy0(3)f(x)在 x0 处出现跳跃(4)xy0X0y=f(x)f(x)在 x0 附近无界xy1sin f(x)在x=0附近无限震荡(5)Ay=f(x)xy0(2)X0f(x)在 x0 处有定义第13页/共32页第十三页，共33页。间断(jindun)点的分类：1、第一类间断(jindun)点：2、第二类间断(jindun)点： (2) 若 ,

9、又称 x0为函数 f (x) 的 )()(0000 xfxf可去间断点 （1）若 , 又称 x0 为函数 f (x) 的)()(0000 xfxf跳跃间断点的的为函数为函数间断点间断点则称则称右极限都存在右极限都存在处左、处左、在间断点在间断点如果如果)(,)(xfxxxf 00第一类间断点的的为函数为函数则称间断点则称间断点至少有一不存在至少有一不存在右极限右极限处，其左、处，其左、在间断点在间断点如果如果)(,)(xfxxxf 00第二类间断点第14页/共32页第十四页，共33页。说明(shumng)：则可构造则可构造，的可去间断点的可去间断点为函数为函数如果如果 xfx )(0函数：所以

10、(suy) ，F(x) 在 x0 处连续 由于(yuy)此时有第15页/共32页第十五页，共33页。例 讨论下列(xili)函数的连续性： 解(1) 当 x0 时, x 属于初等函数 xxxf sin)( 的定义区间 , 于是 f (x) 在 x 处连续当 x = 0 时, f (x) 无定义(dngy) , 可知 x = 0 是间断点由于 xxxf xx100 sinlim)(lim所以(suy), x = 0 是可去间断点(2) 当 x0 时,x 属于初等函数 的定义区 exf x1 )(间，可知 x 0 是函数 f (x) 的连续点第16页/共32页第十六页，共33页。当 x = 0 时

11、,f (x) 无定义(dngy) , 可知 x = 0 是间断点由于不存在）不存在）(lim)(lim)( exffxxx 10000所以, x = 0 是函数 的第二类间断点. exf x1 )(3) 当 x0 时,x 属于初等函数 xxf 1arctan)( 的定义区间 ,于是 f (x) 在 x 处连续当 x = 0 时,f (x) 无定义 , 可知 x = 0 是间断点因为(yn wi)所以, x = 0 是函数 的跳跃间断点xxf 1arctan)( 第17页/共32页第十七页，共33页。例 讨论函数 的连续性 0120212x , xxx , xxxxfcossin)()( 解在分

12、段(fn dun)点 x = 0 处 ,第18页/共32页第十八页，共33页。当 x 0 时,f (x)在 x = 2n 处无定义 , 可知 x =2n是间断点 于是(ysh) f (x) 在 x = 0 处连续又因 xxxxfnfnxnx210222 sin)(lim)(lim)(所以, x = 2n 是 f (x) 的第二类间断点 , 而在其余的 x 0 的点处 f (x) 连续 第19页/共32页第十九页，共33页。当 x 0 时,f (x)在 x = -1 处无定义 , 可知 x = -1是f (x) 间断点 .又1201211 xxxffxxcoslim)(lim)( 不存在 ,所以

13、(suy) , x = -1 是 f (x) 的第二类间断点 而在其余(qy)的 x 0 的点处 f (x) 连续 第20页/共32页第二十页，共33页。40 闭区间(q jin)上连续函数的性质定理(dngl)(基本原理)若 f (x) C a ,b , 则 f ( a ,b )= m , M 其中 C a ,b 表示 a ,b 上连续函数的全体 注意：定理中的两个重要条件：闭区间 ；连续性不可少 ，否则结论未必成立定理(dngl)(最值定理(dngl)若 f (x) C a ,b , 则 f (x) 必能在 a ,b 上取得最大值 M , 最小值 m , 即存在两数. Mf mf b a

14、, )(,)(,2121 使使第21页/共32页第二十一页，共33页。证明(zhngmng)由基本原理知：f ( a ,b )= m , M 又因对任意(rny) x a ,b 有m f (x) M所以 , f (x) 在 处取得最小值 , 在 处取得最大值 1 2 注意：定理中的两个重要条件：闭区间 ；连续性不可少 ，否则结论未必成立.违反闭区间(q jin)条件反例：违反连续性条件反例：第22页/共32页第二十二页，共33页。定理(dngl)（有界定理(dngl)）若 f (x) C a ,b , 则 f (x) 在 a , b 上有界 证明(zhngmng)由基本原理知：对任意(rny)

15、 x a ,b 有m f (x) M所以 f (x) 在 a ,b 上有界 注意：定理中的两个重要条件：闭区间 ；连续性一般不可减弱 ，否则结论未必成立第23页/共32页第二十三页，共33页。定理(dngl) (介值定理(dngl) 若 f (x) C a ,b , 则对任意 介于 f (a) , f (b) 之间的值 c , 存在 使 b , a cf )( 证明(zhngmng)如果(rgu) f (a) = f (b)=c ,则可取 b a 或或 下设 f (a)f (b) , 不妨设 f (a) f (b) , 则对 则据基本原理知 mc M，注意：此定理的条件一般不可减弱反例：xy0

16、y=f(x)f(a)f(b)cab几何意义：任意 f (a)c f (b) ,第24页/共32页第二十四页，共33页。定理(dngl) (零值定理(dngl)若 f (x) C a ,b , f (a) f (b)0 ,则存在, b , a )( 使0 )( f证明(zhngmng)因为(yn wi) f (a) 与 f (b) 异号 ,则f (a) 0 f (b) 或 f (b) 0 f (a)取 c = 0 ,利用介值定理知 , 存在 使 b , a )( 几何意义：xy0y=f(x)ab第25页/共32页第二十五页，共33页。例证明：方程 在( 1 , 2 )中有实根 0133 xx证明

17、(zhngmng)设, xxxf133 )(则 f (x)C 1 , 2 .又 f (1)= -1 , f (2)= 3 ,根据(gnj)零值定理 ,存在, , )(21 使, f0 )( 即方程 在 ( 1 , 2 ) 中有实根 0133 xx第26页/共32页第二十六页，共33页。例证明(zhngmng)因为0 )()(f f如果 f (x) 在 a , b 上连续 , 且 f (a) b ,证明：在 ( a , b ) 内至少存在一点 , 使 )(f(转化为零点(ln din)问题)令 F (x)=f (x)-x , 此时(c sh) F (x) C a , b , 且有根据零值定理 ,

18、存在 使, b , a )( 即 )(f第27页/共32页第二十七页，共33页。例求证方程)( , xaxaxa3213322110 在 及 中有根 , 其中 是正数 ),(21 ),(32 a a a 321,证明(zhngmng)当 时 ,321 , x xaxaxa0332211 构造(guzo)辅助函数此时 F(x) 在 R 上连续(linx) , 而且第28页/共32页第二十八页，共33页。根据(gnj)零值定理 ,存在 使, , , ),()(322211 即第29页/共32页第二十九页，共33页。例设 f (x) C a ,b , 且 a c d b ,证明：在 a , b 内至少存在一点 , 使)()()()( fqpdqfcpf 其中 p , q 为正常数 证明(zhngmng)原等式)()()(dfqpqcfqppf 因为(yn wi) f (x) C a ,b , 根据(gnj)最值定理 , 于是m f (x) M , x a , b 上能取得最大值 M 和最小值 m , f (x) 在 a , b 第