数的概念的扩展

1、第四章第四章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入4.1.14.1.1 数的概念的扩展数的概念的扩展自然数自然数整数整数有理数有理数实数实数负整数负整数分数分数无理数无理数问题问题3 3：有理数能表示：有理数能表示1 1和和2 2的等比中项吗？的等比中项吗？问题问题1 1：在自然数集中方程：在自然数集中方程X X+4=2+4=2有解吗？有解吗？问题问题2 2：在整数集中方程：在整数集中方程3 3x x-1=0-1=0有解吗？有解吗？自然数自然数整数整数有理数有理数实数实数数数 系系 的的 扩扩 充充负整数负整数分数分数无理数无理数数系每次的扩充都是数系每次的扩充都是使得原有的运算性质仍

2、然成立，使得原有的运算性质仍然成立，并且解决了旧数系中出现的矛盾并且解决了旧数系中出现的矛盾. 增加新元素增加新元素加加除除乘乘减减乘方乘方在实数集解在实数集解 ？ xx, 12类类比比扩扩充充对于一元二次方程对于一元二次方程 没有实数根没有实数根012 x12 x12 ii瑞士瑞士 欧拉欧拉Leonhard Euler 公元公元1707-1783年年17771777年，欧拉在其论文中首次用年，欧拉在其论文中首次用符号符号“i”表示平方等于表示平方等于-1-1的新数的新数. .复数的由来复数的由来 德国德国 高斯高斯Carl Friedrich Gauss 公元公元17771855年年1801

3、1801年年,Gauss,Gauss系统地使用系统地使用“i”这个符号这个符号,使使“i”通行于世通行于世.复复数数的的由由来来一个新数一个新数 i ，并把它叫做，并把它叫做虚数单位虚数单位 （1）i； （2） i 例如例如1.1.实数实数a a与与i相加，记作：相加，记作：a+a+i2.2.实数实数b b与与i相乘，记作：相乘，记作：b bi 特别的特别的b=0时时 ，0i=03.3.实数实数a a与与b bi相加，记作：相加，记作：a+ba+bi这些运算都可以写成这些运算都可以写成 a+ba+bi(a,bRa,bR) )的形式的形式. .形如形如a+bi(a,bR)的数叫做的数叫做复数复数

4、复数复数 a+b实数（实数（b = 0） （b 0）虚数虚数纯虚数（纯虚数（a=0）（a0）非纯虚数非纯虚数a =Re Zb =lm Z自然数整数有理数实数 ？负整数负整数分数分数无理数无理数复数虚数虚数NZQR0b0a(,)abiaRbR复数虚数特别地特别地，实数0b纯虚数纯虚数集集集集72618. 0i725 5i -2 -2 31i2i0 0练习练习1.说出下列复数中哪些是实数，说出下列复数中哪些是实数， 哪些是虚数，哪些是纯虚数？哪些是虚数，哪些是纯虚数？实数实数纯虚数纯虚数虚数虚数0i1.1.实数实数m m取什么值时，复数取什么值时，复数 是（是（1 1）实数？）实数？ （2 2）虚数？）虚数？ （3 3）纯虚数？）纯虚数？immz)1(1 解解: :（1 1）当当 m-1=0，（2 2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z是虚数是虚数01 m1 m（3 3）当当 0101mm即即 时，复数时，复数z是是纯虚数纯虚数1 m实部实部 即即m=1时，复数时，