材料力学课件第五章

1、第五章 梁弯曲时的位移位移的度量1 梁的位移-挠度及转角挠度转角挠曲线挠曲线 梁变形后各截面梁变形后各截面形心的连线形心的连线ClFABCCABBxy挠度向下为正，向上为负挠度向下为正，向上为负.转角绕截面中性轴顺时针转为正，转角绕截面中性轴顺时针转为正，逆时针转为负。逆时针转为负。2 梁的挠曲线近似微分方程及积分ZEIxM)(13222)(11dxddxdZEIxMdxddxd)()(13222ZEIxMdxd)(22xoyMM022dxydZEIxMdxd)(22xoyMM022dxydZEIxMdxd)(22梁挠曲线近似微分方程1)(CdxEIxMdxdZ21)(CxCdxdxEIxMZ

2、ZEIxMdxd)(22CCABBxy在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截面处的切线斜率。dxd tan通过积分求弯曲位移的特征：1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似 微分方程应分段列出，并相应地分段积分。3、积分常数由位移边界条件确定。积分常数积分常数C C1 1、C C2 2由边界条件确定由边界条件确定0 xLx 0 x0Xy0Xy00A 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。xyxAlABFFxxM1)(CdxEIxMdxdZ1CFxdxdxdEIz2122CxCdxFxEIz2136CxCFxE

3、Iz122CFxEIz边界条件Lx 0BzEIFLC221Lx 0BzEIFLC332zzEIFLEIFx2222zzzEIFLxEIFLEIFx3263230 xzAEIFL22zAEIFL33 求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。lABxyx 221xLqxM 221xLqxMEIz 1361CxLqEIEIzz214241CxCxLqEIz边界条件0 x0zEIqLC6310 x0zEIqLC2432336LxLEIqz434424LxLxLEIqzLx zBEIqL63zBEIqL84 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。xxyxlFBAbaCLFbLFa xLFb

4、xM1ax 0 axFxLFbxM2LxaAC段 xLFbxMEIz 111212CxLFbEIz11316DxCxLFbEIzCB段 axFxLFbxMEIz 222222212CaxFxLFbEIz22332616DxCaxFxLFbEIz0 x 00 Lx 0L01Dax aa21 aa21222132122CaaFaLFbCaLFb21CC 22331136166DaCaaFaLFbDaCaLFb21DD 0616233LCaLFLLFbLEIZ22216bLLFbCCLbLFbxLFbEIz622221xLbLFbxLFbEIz662231LbLFbaxFxLFbEIz6212222

5、22xLbLFbaxFxLFbEIz661622332 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。xxyxlFBAbaCLFbLFaLbLFbxLFbEIz622221xLbLFbxLFbEIz662231LbLFbaxFxLFbEIz621222222xLbLFbaxFxLFbEIz661622332最大转角0 0 xM0 xLx LEIbLFbzA622LEIbLFabz6LbLFbaLFLLFbEIBz62122222LEIaLFabzB6力靠近哪个支座，哪边的转角最大。最大挠度0令x=aLbLFbaLFbEICz62222LbaFabC3转角为零的点在AC段06222

6、20LbLFbxLFb3220bLxLb21Lx2100bLx330L577. 0一般认为梁的最大挠度就发生在跨中画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。AF两根梁由中间铰连接，挠曲线在中间铰处，挠度连续，但转角不连续。2121FBAqCLzEIa 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数ax 0BLax0Cxy边界条件连续条件ax 21BB21BB 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常

7、数的边界条件2lBAqC2lzEIkxy挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数0 x0ALx kFcC边界条件连续条件2Lx21BB21BBkqL8 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件A2L1zEI2zEIFBC2Lxy挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数0 x0A0A边界条件连续条件2Lx21BB21BBLABCqZEIEAL1全梁仅一个挠曲线方程共有两个积分常数0 x0ALx BCBL边界条件EAqLL21 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段

8、;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件xyAaLBCeMzEI 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数0 x0A0A边界条件连续条件ax21BBxyLax0C3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角叠加法计算位移的条件：叠加法计算位移的条件：1 1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；2 2、材料在线弹性范围内工作，梁的、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线性关系；位移与荷载呈线性

9、关系；3 3、梁上每个荷载引起的位移，不受、梁上每个荷载引起的位移，不受其其他荷载的影响他荷载的影响。 2lFBAqC2lzEI 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中截面挠度c和梁端截面的转角AB.2lBAqC2lzEI2lFBAC2lzEIFcqcczqcEIqL38454zFcEIFL483zzcEIFLEIqL48384534FAqAAzqAEIqL243zFAEIFL162zzAEIFLEIqL162423B AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.30Lq60LqlBAC0q计算C点挠度将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半ZEILq384540查

10、表ZCEILq38452140ZEILq768540试用叠加法求图示梁C截面挠度. EI为已知。2lAqC2lzEI2l2qBD2lAqCzEI2lqLF41B2161qLMB2q2lAC2lB2161qLMB2q2lAC2lB2qzCEILq384254zEILqL161622zEIqL3844变截面梁如图示，试用叠加法求自由端的挠度c. A1L2L1zEI2zEIFBCBFC23213zCEIFLAFBC2FLM 1313zBFEIFL1212zBFEIFL12122zBMEILFL112zBMEILFLBMBFC223LBMBFC3213CCCC2223zEIFL1313zEIFL121

11、22zEILFL12212zEILFL1122zEILFL1221zEILFL多跨静定梁如图示，试求力作用点E处的挠度E. F21F21F21F21zBEILF3323AL3BLDCzEIFL293AL3LLLBCDELLBCEzEEILF48231zEIFL63 zCEILF323zEIFL63121ECBEZEEIFL253 图示简支梁AB，在中点处加一弹簧支撑,若使梁的C截面处弯矩为零,试求弹簧常量k.LBAzEILqCC处挠度等于弹簧变形。CFAFBF221qLLFMAC0qLFFAB21根据对称关系02qLFFFCBA平衡关系qLFC叠加法求挠度kCCqC 438425zEILqZC

12、yEILF4823ZEIqL244kFCC CCFk 324LEIZ 悬臂梁受力如图示.关于梁的挠曲线,由四种答案,请分析判断,哪一个是正确的?BAC2l2l2leMeMDBAC2l2l2leMeMD(a)BAC2l2l2leMeMD(b)BAC2l2l2leMeMD(C)BAC2l2l2leMeMD(d)AB,CD段弯矩为零，所以这两段保持直线不发生弯曲变形。AB,BC,CD三段变形曲线在交界处应有共切线。5 梁的刚度校核梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施llmax max1,梁的刚度校核 悬臂梁承受荷载如图示。已知均布荷载集度q=15kN/m，梁的长度L=2a=2m，材料的

13、弹性模量E=210GPa，许用正应力=160MPa，梁的许可挠度/L=1/500。试选择工字钢的型号。aL2BACaL2q1.按强度选择 maxMW 232qa36 .140 cm查表：选16号工字钢34141,1130cmWcmIzz2.按刚度选择aL2BACaL2qqBACq321maxBBBZBEIaq8241ZEIqa42CB2ZEIqa84aCB3aEIqaZ63ZEIqa64ZEIqa24414ZEIqaL48413max5001LEqaIZ2425041343050cm查表：选22a号工字钢34309,3400cmWcmIzz2,提高刚度的途径提高刚度主要是指减小梁的弹性位移 弹

14、性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度(EIZ)有关对于梁,其长度对弹性位移影响较大.ZEIFL483ZEIqL3844 因此减小弹性位移除了采用合里的截面形状以增加惯性矩IZ外,主要是减小梁的长度,当梁的长度无法减小时,则可增加中间支座.6 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能l1lFlLFWN21LFVN21EALFN22LeMeMLZEIMLMW21MV21ZEILM22横力弯曲 dxEIxMdVZ22 dxEIxMVLZ22eMeMO轴向拉压扭 转内力分量内力分量轴力FN扭矩T对称弯曲内力分量弯矩M,剪力FS应力分布规律应力分布规律正应力均匀分布切应力与距圆心距离成正比分布应力分布规律正应力与中性轴距离成正比切应力沿截面高度呈抛物线AFN PIT ZIMybISFZZS*应力状态应力状态应力状态单轴应力状态纯剪切应力状态maxmaxZWM单轴应力状态max*maxbISFZZS纯剪切应力状态强度条件 ma