各省市高中数学竞赛预赛试题汇编——概率与统计

1、各省市高中数学竞赛预赛试题汇编概率与统计1.【2018年广西预赛】若定义在R上的函数怨4满足泸嗣齣碉怯0 代酚-，则不等式f(x) >- 2 的解为.【答案】r>0【解析】构造函数 = e-zy + 胃,则 y0> = 1 .由閃=E曲- 2 f(x - 4 > O 可知在(m. ÷) 内单调递增，从而有> O.故f(或严2o x>Q.2. 【2018年甘肃预赛】已知函数f(巧= Hn-SinX <> E R),函数满足"或+ gQ © =D CXES.)， 若函数(r) = f(x -I)J- 恰有2019个零点，

2、则所有这些零点之和为 .【答案】2019【解析】易知函数fx) = Tal- SilUr为奇函数，从而f匕i的图象关于(IJ0点对称.函数+,可知的图象也关于(Ij)I点对称.由此醐的图象关于U点对称，从而这2019个零点关于点(1,0 )对称，由于联1)=列町一扒D=C)今雷=1是駛对的一个零点，其余 2018个零点首尾结合，两两关于(LO)点对 称，和为2018 ,故所有这些零点之和为2019.3. 【2018年四川预赛】设直线y = kxb与曲线y = xe -Jl有三个不同的交点A B* £ ,且|蓟二IBG二, 则n的值为.【答案】1【解析】曲线关于点W-1D对称，且I剧=

3、I眈I= 2,所以直线y = fcs + l必过原点，从而b = O-(y = kxt设AD,则yjTx(v + y- = 2-由此得X = + Ly = + i ,代入得( + l) + 3(-l) =即:ifc 1),3 Z ÷ 3) = Oj解得、二i“故答案为：14 .【2016年福建预赛】函数 f(x) =x2ln x+x2-2零点的个数为 .【答案】1【解析】由条件知 - . - -.当门V时，ff<o ；当常姦冷讨时，g>0.于是，f(x)在区间(0,- -)上为减函数，在区间(-,+上为增函数又 § £ 厂-时， -f(x)=x2(ln

4、x+1)-2<0，*注意到，住:-L 2-. -: - - - '故函数f(x)零点的个数为1.X5.【2018年陕西预赛】已知函数 f X, g X k X 1 .Inx(1) 证明： k R ,直线y g x都不是曲线y f X的切线；1(2) 若Xe, e2 ,使f X g x + 成立，求实数k的取值范围.21【答案】(1)见解析；(2) k的取值范围是 1,.2【解析】试题分析：(1)若直线y g x与曲线y f X相切，因直线y g X过定点1,0 ,若设切占X星0Inxo则可得lnx0 X010，又h XInx X1,0,上单调递增，当且仅当X01 时:成立，这与X

5、01矛盾,结论得证1,ItX1X2(2 )f Xg X可转化为kX1 ,令Xk X 1,Xe,e ,2lnx2Inx1X,分类讨论求X的最小值即可min2试题解析：(1) f X的定义域为0,11,fXInx12 ,直线yg X过定点1,0 ,InxX。若直线y g X与曲线y f X相切于点X。,虽(X00且 X。1 ),则 kInx0 12Inx0Inx0Inx0X0 11即 InXo Xo 1 0 ，设 h X lnx x 1, X 0, ,则 h X 10,所以 h X 在 0,X上单调递增，又h 1 0,从而当且仅当X0 1时，成立，这与X0 1矛盾.所以， k R ,直线y g X

6、都不是曲线y f X的切线;(2) f Xg X 1 即k X 1-,令 X2 InX2XInx2e,e ,1(i)当k丄时,4X在e,e2上为减函数，于是min22 e 2ek e 12t e 2 1由k e 1得k2 21（ii）当k -时，由y4上为增函数，所以 e若 k 0 ,即k1 1 11,满足k -,所以k -符合题意;242t -1-k及t1 11的单调性知X11 1 2 k 在 e, e24InxInx24Xe2 ,即kX1 k.40 ,则X 0,所以X 在 e, e2为增函数，于是2X min,不合题意;若k则由e2X的单调性知存在唯X。2e,eX00,且当e,X0时,X

7、0, X为增函数;X minX0X0nX0k X01由k X01得Inx02X0,e2 时,为减函数；当Xk _J址卷-X0 1 InX0 2X0 1 2 21 1 12；,这与0 k 4矛盾，不合题意贝U X e, e2,使f X gX 成立X min12，22Inx 111111 IX2kk-kInxInxInxInx24综上可知，k的取值范围是 -26. 【2018年陕西预赛】已知函数一：-.（1）证明:,直线Er斶都不是曲线沪机熔的切线；（2）若耳左巨国护,使ra）宜召凶弓成立，求实数址的取值范围.【答案】（I）见解析；（） ：,+叭.【解析】试题分析：（1）若直线y =谢仗 与曲线F

8、 = rfr）相切，因直线萨=玳劝过定点Co），若设切点（,g则可得Xo JrXC-Il= J，又科町=m+Hl他+ o）上单调递增，当且仅当 = i时，成立，这与t0 1矛盾,结论得证.（2）广生事E + 可转化为总_心_ 1）莖：,令Pa） =三 W环H巨餌ff3J,减迦 ：,分类讨论求輕（月的最小值即可.试题解析： （1）扛H）的定义域为WIN（I宀呵广（E= 盍，直线下=回过定点1町，若直线 乎=航工）与曲线.卩=伐）相切于点C¾ （XO>0且Xe 1 ）,则A =5 =7，即 t+%-l = °，设W = InX-I-X-If XE,贝U忙的,所以町在（Of

9、l-Feai 上单调递增，又 臥i） = 0,从而当且仅当=1时，成立，这与cl矛盾.所以，沁ET?,直线-'=g（都不是曲线." = 的切线；（2） f何生日凶+ £即；r（"L）W,令PM） = Fr3-小 *鱼叭，则丑笆g=,使（巧聖目囲+ :成立4 咖四< :,=骞一 2-3 时总-£ = -&一护町-A（i ）当7时，秤何兰D,卩闰在風眄上为减函数，于是 期十犁閒需-臥G-L）,由 穽妞 -1） < ；得產 -,满足蚩迁,所以査符合题意；（ii ）当 H ；时，由-丁的单调性知一 丁一一一 i _.上为增函数，所以

10、嗽斶伴常氓丐即，即監 S 若 D ,即- < 0 ,贝y b(寒)生M ,所以妒囲在.e3为增函数，于是 ffflta = (= e-(e-l) <> !，不合题意； 若一O ,即0<k<7 ,则由f(e) = -<0, 7ea) = 7->及翳昶)的单调性知存在唯一 aO产，使刺闵)=0,且当xeet3)时，矿IP(X)为减函数；当:E (JCaJe-)时,何:>0, IP囲 为增函数；所以M = (¾) = -(-i),由孟一连仙一"“得飪芒云二儘一亡巴一mw”，这与t<矛盾，不合题意.综上可知，比的取值范围是：,+

11、Oa)L7. 【2018年陕西预赛】已知函数 扛刃=盍，0O)=缺策一 L.(1) 证明：VJtE/?,直线V=FaO都不是曲线y=foo的切线；(2) 若3rF e e1,使f(z) ff(X)-T成立，求实数比的取值范围.【答案】(I)见解析；() B+【解析】试题分析：(1)若直线乎=谢(X与曲线y = f()相切，因直线萨=玳劝过定点乩0),若设切点则可 得nx0 + x - 1 = J，又E) = inx + - 1； (B),+®)上单调递增，当且仅当坯=i时，成立，这与:C 1 矛盾,结论得证.(2)兰尊E + 可转化为W 一靶G 一 1)程：，令卩何=三-2 I),

12、H巨创flaJ, XT)BIdlI笛:,分类讨论求即(熄的最小值即可.试题解析：(1) f倒的定义域为p)u (1j+), FE = 熬，直线 =iff)H定点1吋，若直线F =谢与曲线y = f図相切于点(XOxl且JTi1 ),则k二= 琵,即 :n = S =：)，设畛:i；J. 營IC压鼻陶;，贝阳助=： H ,所以側疋仲店吗;上单 调递增，又$.(1) = 0,从而当且仅当眾=3.时，成立，这与工:严1矛盾. 所以，7三二，直线常 熾饬勺都不是曲线芳的切线；(2) 一丁-,令悴二总=2=Jen尹 I则=；m,使f溺弐博加4 :成立冃沁论,囲:(i )当X迁时，一：-； J正I上；上为

13、减函数，于是.- ,由-J(e=-1) 得护去 ?,满足>,所以符合题意;函数，所以朦斶臥献陶逻妙劇你,即- - ； - .若出紳您,即,贝U茁谜,所以翻拓几禺前为增函数，于是若，即Og-C=,则由的单调性知存在唯-X环色吧，使丁 (=Q',且当血個u)时，pQ)<(h卩(X为减函数；当r E a1)时,FgAtb x)为增函数;,这与矛盾，不合题意.4 74-7综上可知，的取值范围是=<'.8. 【2018年广东预赛】设函数 应 一 求一 在区间.二(n为正整数)上的最大值 ；令 _-_: (n、k为正整数)求证：一-一-【答案】(1)(2)见解析【解析】因

14、为萨诚=尹宀,所以当Ixl时御林即江炉|工：|上是增函数故+-上的最大值为-i5由知%=,：因为 所以又容易证明所以fl¾-a-1 -3*<fcjt3l所以 _一_ - .即一-一- - 9. 2018年甘肃预赛】设函数 <'.< - ：' - ; -: - c卜T，匚).(1)讨论f選的单调性;(2)如果F紐有两个极值点我们记过点祝遍強縞询珍贰:必31的直线斜率为-.问:是否存在使得-=1 -？若存在，求出.的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)不存在【解析】(1) f(x)的定义域为OjG令(W=1； CF，其判别式二-J - &

15、lt;1当-时，- I- /: ： I-,故f(x)在阳 LG上单调递增。2.当出洽:樂號时，£：辭If J*C1J:的两根为当證啜買唸专时，代鳶加M ；当牝时，严歸:嬉顶；当*漁肾,时，$%谕:> 啦，故f(x)分别在tii)±单调递增，在 ,>±单调递减。(2)由1知,涸茂瓷,因为 - 一 - - °所以l*TiM*-3¾又由1知，= 于是 = 2-lft,Zo%-*若存在a使得k=2-a ,则IarIn ZZ 1,即 IlMrlI Inrm = XI 一心， 亦即JP1. ¾s-1XJ 4-LlIZ ZIInL= =

16、 0（牙SJ A再由1知，函数 趴门=F- I卫於U.7M上单调递增， 而，所以XS-I-IlLz 21DSI= > l2 誘 + ln2 21n2 = O。这与式矛盾。故不存在a，使得k=2-a.10. 【2018年天津预赛】设-,'，正实数数列唸满足馅-7，且当_ 2 L.求证：当一一时，一一 -;獭A阴点憑輪萤【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】我们证明，当x> 0时，f(巧 >工斗X3.令贰© =代©-3C-a,则有ffxi = eff + dnx 1 2j Str( = ec + CQSX 2, SrWC =ex sinx >

17、1 mn% > 0 由严仞>o知0T单调递增，从而 矿闵>尹(O) = o.由j)> D可知叭月单调递增，巩衿A护=0.最后，由ff,(j) > 0可知爭O)单调递增，爭(©>駅IiO = IO这样我们就证明了 f(X)AX +尹.利用这一点，立即得到=) AH社*砧.我们先对n用数学归纳法证明為.当n=1时，心=i,结论成立.假设当n=m-1时有(其中鴉秽)-5f(H- l)ri=m1-.) I<tfB-ft 如果 >v,>!o> > V冷'暑注意可知S以；為，与归纳假设矛盾.因此*这样，当k>l时有&

18、#247;<75=2中E)令k从1到n求和，就得到SjLIflif< 2五11. 【2018年河北预赛】判断曲线Fa) =尹7与曲线= lr的公切线的条数，并说明理由.【答案】曲线 HI) = 严与曲线口力=也有两条公切线.【解析】曲线H町=e,r -与曲线卩(打=斑有两条公切线.理由如下：设两曲线的公切线为I,与曲线)=严 切于点,与曲线破耳=血 切于点(I),则直线I的方程既可写为y-efl-i = SB-JL(J-a),即卩=童4險+ m-jl je ,又可写为Jr - IBb = * 口 -,即 F =容 Iat 1.J34J J5-Ge-X i因为直线I为公切线，所以有-

19、战 * = 1_消元整理得+£ =。，所以方程根的个数即为两曲线的公切线条数.设 In(X) = erT - ren - x? (X) = I- XeJP-J J 砚"(h) = ( -1 -町jp"d .当 X C f时，m* > Qf n*( =I- XeX1 为增函数；当X C fl,+时，m* < OJ hi* = I-Jrffrj 为减函数另外当 XQ时，ijffr) >1, Hf(I)=-O ,所以EYB) = O 的根为H = 1.所以当X &1)时，討闰>0,皿'0：单调递增；当Z & (.ra)时，

20、启闰*0, 1?I(X)单调递减而讯1) = 1 >0mp)2- e <Qj阪(一)=一 1 C0皿)=：>0 ,又函数晖(JCj在R上连续，所以函数m(%) = eje -eX-JL -I-有两个零点，分别位于区间(-1.0l和区间匐内所以方程sd'- - asa +门=业有两个不同的根，即两曲线有两条公切线12. 【2018年四川预赛】设函数 f (Jf) = PJr- 21HJC.(1) 若在其定义域内为单调递增函数，求实数 的取值范围；(2) 设一一，且尹=j,若在丨仁.I上至少存在一点：，使得>成立，求实数L的取值范围;(3)求证：对任意的正整数，都有

21、 '-成立1【答案】(1)心1 (2) (+OT) (3)见解析【解析】(1) 函数f的定义域为仪IX > Q .由代刃=戸_2吻!厂g =形+占.扌，要使在其定义域(DJt-HM)内为单调递增函数，只须 厂CC)乏D ,即在(JDJ+)内恒成立.于是金左打:，注意至U疵艺=1，等号在兀=1时成立，即在茸=1时有最大值1 .从而PE 1 .(2) 解法一：注意到 = !e±是减函数， 所以卩仕=站 = 2(nu5t = P(IJ = 2总，即 奇(Q E 2j2e.当 O<p<l 时，由 T e ltel ,得 D ,故 :) =21UC < je 2

22、lmf < 2 ,不合题意.当pL时，由(1)知/(力在1®上是增函数，f(i) = OC2.又罗園在IXEl上是减函数，所以原命题等价于九业AR(Rm=為需亡1e,由70)IUJX =孑何= (-；)-21ne>2 ,解得 >.综上，：P的取值范围是 fe+o).解法二：原命题等价于fG -j) > Q 1e±有解，设FCo = r3 訓Q = IKr- - Itax -.因为严閻二审+ 土一 2+乎工空竺SA 0,故現©是增函数，所以 珂刃血M = FW > 0 ,解得P = 7T".所以口的取值范围是 G5(3) 令g

23、炖=Z血W 今：，则由(1)知甘(E在tm+m)内为单调减函数.由于贰Ij = O ,故当X > 1时，有g®<0,即电吗2血囂一三.因此，一二-7即 -,故 -： X J a* ft÷aT于是 Lta' B+計=2L -亲)= 2(1 + =-4t-÷)<313. 【2018年福建预赛】已知,) = SJt- mx.(1) 当 > 0时，不等式(X - )( +mx2 + 2 > Q恒成立，求实数m的取值范围；(2) 若尤、H二是函数扛劝的两个零点，求证：屯一xA 2.【答案】(1)十OQ) (2)见解析【解析】(1) 设

24、= (JC- 2)/Gd + Wr= + 2鳴=(工一2衣 + 却血 4- 2 .当XX时，不等式(X-I)÷uxa - 2 >恒成立U当x>C时，g窗AD恒成立. 因为 (T)= Fw + ( - 2)?* + 2 = ( - l)e - 2fTi)矿(©=尹 T(X - i)sj = Xe-Jf, 所以当r >0时，旷同>叫护(珅= U-IjeJf+轴在区间0,1÷.)±为增函数.另由甘= JhTI + 2 > 0,知.lM > -. 若-7<s<i,则旷卩=7+ 2心 fff&)= e-4 2

25、m>0 .此时,护a在区间(孔2)内有唯一零点，设为x屹HD时，或=<0.所以？何在区间0,xt.±为减函数,踰j<总W) = O .因此-三< 劭U不符合要求. 若in,则匕>0时，护(力>衬(D) = v!色O .此时貞刃在0+呃上为增函数所以-T >0时，目国A貳0=昭因此m7符合要求.由、，得用的取值范围为ij+oJ.(2) 因为工二是函数代月= ej-耐 的两个零点，所以ex =TOxrLJ e =WLXZ ,m(x + X) = ffj + 1*j 3( -Xa) = ®* 不妨设羽A乞，易知舱H 0 ,联立上述两式，消

26、 M得V _ II = t¾Jts呵呵=X¾f JtHg3j3Eb 十 需 U 1tEl¾l又由（1）知，对现二=,当一时，隊右曲仙*屮；,'!-a >ii恒成立.所以当时，鼬綁护F富:矍第曲恒成立.所以当；心;小时,匕：八JW三"W" -. O.ffu-1er-Le1-l故 i-A.- - ；：-;- - / 二：】.丄: -当箱唸牝时，同理可得，冷评¾>*月所以隔鹉卷Ii逆:氓14.【2016年吉林预赛】设 JFi-去丄旷-KW 卅1 1,若对任意的T=；吐，有，求实数A值范围.【答案】（1）见解析；（2）处:

27、卜 -【解析】（1） 当 A>0 时，有.I 1 : T L 1.1，符合题设.（2） 当=汀；W I：时，有. - '-I-_ '.故FD在区间昭叫训内单调递减.从而，惡沁订Sn 一盘，符合题设.(3)当<竜 ¢:,有一'.故字仪1在区间*内单调递增从而，代站喀赏逆爲：心不符合题设 综上，实数A的取值范围是 祕肚玉-：.15 .【2016年四川预赛】已知 a为实数，函数一 一 .请讨论函数 代道 单调性.【答案】见解析【解析】由条件，知函数F的定义域为 十瞅J.若.-r ,则F佃）-*佔:g.故八一一二 令尸餘;H垃，得二7 ：i （负值舍去）是

28、，代在区间(0, b)上单调递减，在区间；、亠：:Q上单调递增若a>0,则先讨论 卩(JO = X3 - cur IIut S) 的单调性.注意至U：二 一 一 二二：-.令X施得当b>a,即a<1时，g (X)在区间(a, b)上单调递减，在区间律-卜賦J上单调递增; 当扳與出,即应輕j时，$ f 在区间S十Crj上单调递增.再讨论'_ _-的单调性.注意到,讥一y = EZr .当鑫i齐占迟也,即时，协孚妙珥：，逋呻在区间轨神上单调递减.当二：，即雹沒时，令 X 伐)一 J,得- r '- - L-：.4则在工在区间(0, C), (d, a)上分别单调递

29、减，在区间(C, d)上单调递增.综上，当a<1时,帥在区间(0, b)上单调递减，在区间【丄亠Q上单调递增；当一 - I时，範渤在区间(0, a)上单调递减，在区间:.-.7ji上单调递增；当G > 2'2时，代在区间(0, C), (d, a)上分别单调递减，在区间(c, d), +ot上单调递增16. 2016年湖南预赛】已知函数 W =X3 - Xtm e R).(1) 当= -M,求函数fCO的所有零点；(2) 若fx)有两个极值点r,(x1<x,), 证明：兀1葢? > W .【答案】(1)工=1 (2)见解析【解析】(1)当血=一：2时，f() =

30、 %nx +z3 - T= X(IIiX +h - l)( A U).设IJ(T) = o-x-l( >0).于是，.故少如巾在区间曲乳料締上为增函数又M)=IL则当 =1时，函数代弟有唯一零点= 1.(2)由题设，知导函数 有两个零点¾. ¾s.IlIi 加总m 二二IWfil + d= 】IUral ÷ ln =则0 = Int-二Ad¢4-1Z沪 ttf+I故函数萌住j在区间(61上为函数,因此，当DftCl时，恒有ln£ <=7.则a. +晦=竺匹> Z斗 XIlXs > F .17. 【2016年甘肃预赛】已知

31、函数 扛刃=詈.(1) 设实数k使得(x < kx恒成立，求k的取值范围.k的取值范围(2) 设£(；X) =- JCx(Jt E R).若函数站(在区间E少内有两个零点，求【答案】(1 ) O T ( 2)【解析】(1)设m三二三弓匕：:：:.则. 1 .令 fx 二 ："=；!=二=Lf .当X在区间(O, + )上变化时，曲朋L盘何的变化情形如表2.X(it÷OT)+0ft L-?O)增1亦减由表2，知当耳三肩时，鬼()取得取大值三.又由已知对任意的工Ao ,恒有故k的取值范围是(1+o).(2)令 ff =.由表2，知一在区间I二.Y*内为增函数，在

32、区间内为减函数注意到，址¢)工工三用奸三寻当君兰扭<三时，函数90)在区间护内有两个零点从而，k的取值范围是f-< .18. 【2016年陕西预赛】设函数f(H)=E + a(：D(0匡Q 且f(x)的最小值为0.(1) 求a的值；(2) 若数列%满足a=, an+=f(an)+2(n Z+),记Sn=a+a2+an,m表示不超过实数m的最大整数,求Sn.【答案】(1)当a=1时，f(x)取得最小值0. (2) Sn=2n-1【解析】(1)何=2- = = r(X>0).当aO寸，厂>0 ,则f(x)在区间(0, +)内单调递增，无最小值，不符合题意.当 a&

33、gt;0 时，若 0<x<a ,则 f,(x)<0 ;若 x>af>0.所以，函数f(x)在区间(0, a)内单调递减，在区间(a, +)内单调递增.故 f(x)min=f(a)=ln a-a+1.设 g(a)=ln a-a+1(a>0).贝9_ .若 0<a<1，则痹 >0;若 a>1 ,则F(IE <0.所以，函数g(a)在区间(0, 1)内单调递增，在区间(1, +)内单调递减故 g(a) (1) =0.当且仅当a=1时，上式等号成立.从而，当a=1时，f(x)取得最小值0.(2)由(1)知f(:T) = IIDc +1.则 an+1=f(an)+2=lnan+±+1.由 a1=1 ,得 a2=2.从而，a3=In 2+三因为二<1 n2<1 ,所以,2<a3<3.下面用数学归纳法证明：当n3寸，2<an<3.当n=3时，结论已成立.假设 n=k(k3时,2<ak<3.当 n =k+1 时，有 = IlIafe + 士十 1.由(1)知ah(x)=f(x)+2= Inx+ +1在区间(2, 3)内单调递增.所以，h (