专升本高等数学知识点汇总

1、专升本高等数学知识点汇总专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：(1)一般形式的定义域：xeRy =。尸 +bx + c(2) 丁 =七分式形式的定义域：xWOX(3) y = 6根式的形式定义域：x20(4) > = logflx对数形式的定义域：x>0二、函数的性质1、函数的单调性当再 < 二时，恒有/(再)< f(X2 ) , f(X)在Xp X2所在的区间上是增加的o 当X <8时，恒有/Uj )> f(X2) , f(X)在处占所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性定义：设函数)，= /(X)的定义区间。关于坐标原点对称

2、(即若 则有-xeQ)(1)偶函数/*)VxgD,恒有“t) = /(x)。(2)奇函数/0)VxeD,恒有t) = _/(x)。三、基本初等函数1、常数函数：)，=C,定义域是(-+，图形是一条平行于X轴的 直线。2、幕函数：)，= /,("是常数)。它的定义域随着的不同而不 同。图形过原点。3、指数函数定义：y =/(x)= ，(。是常数且a>0, awl).图形过(0,1)点。4、对数函数定义：y = f(x) = log,x，(。是常数且00,。工1)。图形过(1,0) 点。5、三角函数(1)正弦函数:y = sinx7 = 2乃，£)(/) = (<x

3、>,+s),/(£>) = -1,1 o(2)余弦函数：y = cosx.T = 2乃,D(/) = (oo,4-oo),/(£) = 1,1 o(3)正切函数：y = tanx.T =亢，D(f) = xxeR.x(2k + ).k eZ ,/(£) = (一s,+8).2(4)余切函数：y = cotx.T =冗，=eZ ,/(£) = (s,+s).5、反三角函数(1)反正弦函数：y = arcsinx, £>(/)= -1,1, /(£>)= _?,为。(2)反余弦函数：y = arccosr,=/(0

4、 = 0 。(3)反正切函数: y = arctanv , £)(/) = (-s,+s) , /(D) = (-y,y) o(4)反余切 函数：y = arccoir, £)(/) = (-s,+s), /(£) = (0,1)。极限 一、求极限的方法1、代入法代入法主要是利用了 “初等函数在某点的极限，等于该点的 函数值J因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行 极限的求解。2、传统求极限的方法(1)利用极限的四则运算法则求极限。(2)利用等价无穷小量代换求极限。(3)利用两个重要极限求极限。(4)利用罗比达法则就极限。二、函数极限的四则运算法则设 li

5、m = A , lim v = B ,贝(1 ) lim( ± v) = liin u ±iniv = A± BX2NT /X%(2 ) lim(M v) = lim u - lim v = AB.xt/xfi .t->2推论(a) lim(C-v) = C-lim v ,(C 为常数)。a->2.v(b ) lim li = (lim u)nX->/ix-Mlim u a(3)= J, (5wO).T v lim v BX3 / 18专升本高等数学知识点汇总(4)设尸3为多项式Pa)= %x”+a产+勺,则lim P(x) = P(i)(5)设

6、P(x),Q(x)均为多项式，且Q(x)H。，则布 烈=皿1。2*) 。(%)三、等价无穷小常用的等价无穷小量代换有：丝I工-0时，sinxx, tanxx, arctanxx, arcsinx x, ln(l + x)x，1-cosx o对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当一() 时，sin,其余类似。四、两个重要极限重要极限Ilim处=1。它可以用下面更直观的结构式表示：= l ->0 重要极限 IIlimfl + iy=eo其结构可以表示为：项，1 + =e八、洛必达(L' Hospital)法则“Q”型和“艺”型不定式，存在有iim3 = lim/M = A

7、 (或8)。 06I。g(x) g (x)4 / 18专升本高等数学知识点汇总元函数微分学 一、导数的定义设函数)，= /a)在点X。的某一邻域内有定义，当自变量X在X。处取 得增量(点x0+&仍在该邻域内)时，相应地函数)，取得增量 y = Xo+Ax)-/(Xo)。如果当Ax->0时,函数的增量Q及自变量Ax 的增量之比的极限lim包二lim /(.+A')-"X。)=:()注意两个符号机和凡在题目中 Av->0Ar->0可能换成其他的符号表示。二、求导公式1、基本初等函数的导数公式(1)(cy=o(。为常数)(2) (/)，=以1 (a为任意常

8、数)(3 ) (/)' =* In a (a > 0,a ¥ 1)特殊情况(")'=屋(4 ) (log. X)，= logfl e = -! (x >0,a> 0, a W 1), (In x)'= xxhi ax(5 ) (sinx)' =cosx(6 ) (cosx)'= -sinx(7 ) (tanx)= cos- x(8 ) (cotx) =sin- x(9) (arcsinx) = . (-1(x(1)Vl-x2(10 ) (arccosx)=,(-1(x(1) VI-%2(11) (arctanx)=二

9、1 +厂(12) (arccotx) = -1 +厂2、导数的四则运算公式(1 ) u(x) ± v(x)r = ux) ± vf(x)(2 ) m(x)v(x)' = wz(x)v(x) + (x)u'(x)(3)kq = w (%为常数) f。心)_'(<)y(x)一心)/(x)Lv(a')J V2(x)3、复合函数求导公式:设y = /()， = 9(工)，且仆)及°(x)都可导, 则复合函数尸小的导数为半=孚.半=/ (皿Oax an ax三、导数的应用1、函数的单调性/<«> 0则/（X）在（“

10、力内严格单调增加。/ （x） V 0则/（X）在（4/）内严格单调减少。2、函数的极值r（x）=。的点函数/（幻的驻点。设为与（1）若X<X°时，/1W>0 ； x>x0 时，/ （x）<0 ,贝lj/（x（）为/（X）的 极大值点。（2）若XV 与时，/1（X）<0 ; x>x（）时，/（x）>o,则/（见）为/（X）的极小值点。(3)如果r(x)在与的两侧的符号相同，那么“X。)不是极值点。3、曲线的凹凸性f (x) > 0 ,则曲线y = /(x)在(4,b)内是凹的。/ (x) < 0 ,则曲线y = /(x)在(a,b)

11、内是凸的。4、曲线的拐点(1)当/,(x)在/的左、右两侧异号时，点*0,/(/)为曲线y = /(x) 的拐点，此时/ (%)=。.(2)当/(X)在/的左、右两侧同号时，点(x。,/*。)不为曲线 )，= /(%)的拐点。5、函数的最大值及最小值极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式dy = f Wdx,求微分就是求导数。一元函数积分学 一、不定积分1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。2、不定积分的性质(1)|j f(x)clx = f(x)或 fxdx= jx)dx(2) JF (x)dx =+ C或卜/(

12、x) = F(x) + C(3 ) J/(x) ± 例工)± 土以x)k/x = J f(x)dx±(p(x) 土 土 Jy/(x)dx o(4)凶")公=%7*心(攵为常数且女工0)。2、基本积分公式(要求熟练记忆)(1) JOc/x = C(2) fxadx = xl+c (4工一1). J a + (3 ) dx= In |x| + C.(4 ) axdx = !« ' +C (a > 0,” W 1) J In a(5) jexdx = ex+C(6 ) |sin xdx = -cosx + C(7 ) jcosxdx =

13、 sin x + C(8 ) f dx = tan x + C .J COS- X(9 ) f -dx = -cotx + C.J sin2x(10 ) f ,dx = arcs in x + C.(11) f :4工=arctanx + C.J 1 + x23、第一类换元积分法对不定微分Jg(xWx，将被积表达式g(x)dx凑成g(x)dx = f<p(x)<p (x)dx = f(p(x)d(p(x),这是关键的一步。常用的凑微分的公式有：(1 ) f (ax + b)dx = f (ax + b)d(ax + b) a .(2 ) f(cixk + /?) xkdx = f(

14、axk + b)d(axk + b) ka(3 ) /(Vx)- -!=i/x = 2f y/xdyfx/心公=-/(， X 厂X X(5) f(ex) exdx = f(ex)dex)(6 ) /(In x) dx = /(In x)d(ln x) x(7 ) /(sinx) -cosAzh: = /(sinx)J(sinx)(8 ) /(cosx) sin xdx = -/(cosx)J(cosx)(9 ) /(tanx) dx = /(tanx)J(tanx) COS X(10 ) /(cotx) dx = -/(cotx)(cotx) sin- x(11) f (arcsin x),】

15、 dx = /(arcsin x)”(arcsin x)Vl-x2(12) f (arccos x) ,，、dx = -/(arccos x)d (arccos x)y 1 一厂(13 ) /(arctanj) -dx = f (arctanx)J(arctan.v)1 + JC(14 )2)dx = d(ln|9(x)|) (o(x) W 0) 欢x)4、分部积分法J udv = uv j vdu二、定积分公式1、(牛顿一莱布尼茨公式)如果尸是连续函数/*)在区间上的任意一个原函数，则有j(x)dx=F(b)-F(a) o2、计算平面图形的面积如果某平面图形是由两条连续曲9 / 18专升本高

16、等数学知识点汇总线 =g(X)，V2 =/(工)及两条直线内=4和="所围成的(其中乃是下 面的曲线，为是上面的曲线)，则其面积可由下式求出：S = 1"(x) - g(x)Wx3、计算旋转体的体积设某立体是由连续曲线厂/(x)(/(x) > 0) 和直线x = 及4轴所围平面图形绕工轴旋转一周所形成的旋转体，如图所 示。则该旋转体的体积V可由下式求出： 匕=f k 2(x)"x =乃 j" f2 (x)dx多元函数微分学I、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。2、全微分公式：dz = df(x, y) = AAx + BNy。3、复合函数

17、的偏导数一一利用函数结构图如果 =*(x,y)、v = w(x,y)在点(x,y)处存在连续的偏导数四， ox黑，史，且在对应于(内,)的点()处，函数)存在连oy dx oy续的偏导数负，当,则复合函数I/时,)，)改(y)在点(2)处存 OU OV在对工及y的连续偏导数，且dzdz du& dv&& dudz dv=+， =+Odxdu dxdv dxdydu dydv dy对于方程Rx,y) = O所确定的隐函数)，= /(x),可以由下列公式求出 y对x的导数y.:v _ E*，y)? 一 _'Fy(x, y)2、隐函数的偏导数对于由方程方(x,y,z)

18、 = 0所确定的隐函数z = f(x,y),可用卜列公式 求偏导数：包=_ F；(x,y,z)& =尸、(内& F. (x,y,z)'/£(x,y,z)'5、二元函数的极值设函数Z = /(XQ，。)在点(凡,儿)的某邻域内有一阶和二阶连续偏导 数，且£(与，儿)=。，/；(%，光)=。又 设 £1(%，%)=从，£；(/，凡)=8，则：(1)当lACvO时，函数/(x,y)在点(%,%)处取得极值，且当A<0 时有极大值，当A>0时有极小值。(2)当笈- AC>0时,函数/(“)在点(入,凡)处无极值。

19、(3)当炉-AC = O时，函数/(x,y)在点(%,凡)处是否有极值不能确 定，要用其它方法另作讨论。平面及直线1、平面方程11 / 18专升本高等数学知识点汇总（1）平面的点法式方程:在空间直角坐标系中,过点“0（工0，加之），以 =4仇。为法向量的平面方程为A（x-/） +例丁-凡）+ C（z - Z。） = 0称之为平面的点法式方程（2）平面的一般式方程Ax+By+Cz + D = O称之为平面的一般式方程2、特殊的平面方程Ax+ By + Cz = 0表示过原点的平面方程Ax+By+Q = 0表示平行于Q轴的平面方程Ax+By = 0表示过Oz轴的平面方程Q + O = 0表示平行于

20、坐标平面xOy的平面方程3、两个平面间的关系设有平面4:AX + 3），+ Gz + 2 =0乃2 :+ B2y + C2z + D2 =0平面町和/互相垂直的充分必要条件是：+ BiB2 + C,C2 = 0平面町和,平行的充分必要条件是：&=与=2工幺a2 b2 c2 d2平面再和小重合的充分必要条件是：A） B, C. D） 4、直线的方程（1）直线的标准式方程过点M）（xo，yo，zo）且平行于向量s = 肛小p 的直线方程= = 口 = =称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、 m n p对称式方程）。13 / 18专升本高等数学知识点汇总将初等函数展开成塞级数1、定理：设

21、/(X)在U(x0)内具有任意阶导数，且lim H(x) = O，Rn(x) = 0©广川(xf严则在U(x0)内称上式为/*)在点XO的泰勒级数。或称上式为将/(X)展开为“X。的事级数。2、几个常用的标准展开式一81 x8r2n+, sinx = £(-)，'£2 + 1)!xr2ncosx = £(一1)”£(2)!ln(l + x) = £(-l)n n-0常微分方程1、一阶微分方程(1)可分离变量的微分方程若一阶微分方程Rx, y, V) = 0通过变形后可写成g (，)力=f(x)dx或 y = fWg(y)则称方

22、程尸(X, y, V) = 0为可分离变量的微分方程.2、可分离变量微分方程的解方程gCv)dy = /(x)dx必存在隐式通解G(y) = nx) + C。其中：G( 丁) = J g (y)力，F(x) = J fxdx.即两边取积分。(2) 一阶线性微分方程1、定义：方程y+p(x)y = Q(x)称为一阶线性微分方程.(1)非齐次方程。)¥0；(2)齐次方程y' + P(x)y = O.2、求解一阶线性微分方程(1)先求齐次方程了 +尸尸。的通解：)，= CeW,其中。为任 意常数。(2)将齐次通解的C换成心)。即)，=心)中"(3)代入非齐次方程V + P

23、(x)y = Q(x),得-pixydx f p(x)dxy = e I q(x)eJ ax + C2、二阶线性常系数微分方程(1)可降阶的二阶微分方程1、)，" = /")型的微分方程例3:求方程y" = g e" -sin %的通解.分析：y" = J yndx = ：e" + cosx + C);16 / 18专升本高等数学知识点汇总y = |y'dx = g + ski a +CX + C2 .2、 y" = /(x»)型的微分方程解法：(1)令 = y'，方程化为” = /*,)；(2)解此方程得通解 = °(x，G)；(3)再解方程y = .G)得原方程的通解y = J例xGMx + C?.3、y" = /(y»)型的微分方程解法：(1)令=一 并视为y的函数，那么,， = ? =?孚=p半, dx dy dx ay(2)代入原方程，得”=)，,) dy(3)解此方程得通解p = e(y，G)；(4