初中数学直角三角形的性质推荐实用教案

1、直角三角形的两个直角三角形的两个(lin )(lin )锐锐角互余角互余第1页/共17页第一页，共18页。直角三角形的两个直角三角形的两个(lin )(lin )锐角锐角互余互余定理定理(dngl)(dngl)1 1BAC在在Rt Rt ABCABC中，中，C=90C=90 A A + +B=90 B=90 . .已知：已知：求证求证(qizhng)(qizhng)： 证明：证明： 在在 ABCABC中，中， A A + +B+B+C=180C=180 （三角形的内角和是三角形的内角和是180 180 ）又又 C=90 C=90 （已知已知） A A + +B=90 B=90 （等式性质等式性

2、质） 第2页/共17页第二页，共18页。直角三角形的两个直角三角形的两个(lin )(lin )锐角锐角互余互余定理定理(dngl)(dngl)1 1BAC在在Rt Rt ABAB C C中，中，ACB=90ACB=90 （1 1）如果）如果(rgu)B=75(rgu)B=75，则，则 A=_ A=_ ; ;练习练习1 1：（2 2）如果）如果A-A-B=10B=10 , ,则则 A=_A=_ , , B=_B=_ ; ;（3 3）如果）如果CDCD是是ABAB边上的高边上的高, , 图中有图中有_对互余的角对互余的角; ; 有有_对相等的锐角对相等的锐角. .D1 12 2A A + +2=

3、90 2=90 A A + +B=90 B=90 1 +1 +B=90 B=90 1 1 + +2=90 2=90 1515505040404 42 2第3页/共17页第三页，共18页。直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边上的中线(zhngxin)(zhngxin)等于等于斜边的一半斜边的一半定理定理(dngl)(dngl)2 2BAC在在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，CMCM是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线(zhngxin)(zhngxin)已知：已知：求证：求证： CM= CM= AB.AB.21MBACMEFBACMC1第4页/共17页第四页，共18页。 MF

4、B MFB AEM AEM BAC在在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，CMCM是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线(zhngxin)(zhngxin)已知：已知：求证求证(qizhng)(qizhng)： 分析分析(fnx(fnx)：BF=MEBF=MECM=MBCM=MBCM= CM= AB.AB.21MEF MFB MFB AEM AEM ME=CFME=CFBF=CFBF=CFCM= CM= AB.AB.21过点过点M M作作ME ACME AC，MFBCMFBC，垂足分别为，垂足分别为E E、F F第5页/共17页第五页，共18页。（直角三角形的两个（直角三角形的

5、两个(lin )(lin )锐锐角互余）角互余）BAC在在RtRtABCABC中，中， ACB=90 ACB=90，CMCM是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线(zhngxin)(zhngxin)已知：已知：求证求证(qizhng)(qizhng)： 证明：证明：CM= CM= AB.AB.21MC1 在在C C1 1MAMA和和CMBCMB中中延长延长CMCM到点到点C C1 1, ,使使MCMC1 1=CM=CM，联结，联结ACAC1 11 12 2AM=BMAM=BM C C1 1MAMA= CMB CMBMCMC1 1=MC=MC C C1 1MA MA CMBCMB（S.A.S)S.

6、A.S)得得C C1 1A=CBA=CB（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） 1 1= B B ACB=90ACB=90 ，（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等） 2+2+B=90 B=90 2+2+1=90 1=90 即即 C C1 1AC=90AC=90 ， C C1 1AC= AC= ACBACB 在在C C1 1ACAC和和BCABCA中中C C1 1A=BCA=BCAC=CAAC=CA C C1 1AC AC BCABCA（S.A.S)S.A.S) C C1 1AC= AC= ACBACB得得CCCC1 1=AB=AB又又 CM CM= CC= CC1 1 CM

7、CM= AB= AB2121（已知）（已知）（对顶角相等）（对顶角相等）（所作）（所作）（已知）（已知）（等量代换）（等量代换）（已证）（已证）（已证）（已证）（公共边）（公共边）（所作）（所作）（等量代换）（等量代换）第6页/共17页第六页，共18页。直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边上的中线(zhngxin)(zhngxin)等于等于斜边的一半斜边的一半定理定理(dngl)(dngl)2 2练习练习(linx)2(linx)2：1 1、判断下列命题是真命题还是假命题：、判断下列命题是真命题还是假命题：（1 1）在）在ACBACB中，中，CDCD是是ABAB边上的中线，则边上的中线，则CD

8、= AB.CD= AB.（ ）21（2 2）在）在RtRtACBACB中，中，ACB=90ACB=90 ，D D是是ABAB边上的一点，则边上的一点，则CD= AB.CD= AB.（ ）21（3 3）在）在RtRtACBACB中，中，ACB=90ACB=90 ，ADAD是是BCBC上的中线，则上的中线，则AD= AB.AD= AB.（ ）21BACD假命题假命题假命题假命题假命题假命题直角直角斜边斜边中线中线第7页/共17页第七页，共18页。直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边上的中线(zhngxin)(zhngxin)等于斜等于斜边的一半边的一半定理定理(dngl)(dngl)2 2练习练习

9、(linx)2(linx)2：2 2、已知：在、已知：在RtRtABCABC中中, ,ABC=90ABC=90 ，BMBM是是ACAC边上的中线边上的中线（1 1）若）若B BM=8M=8，则，则AM=_AM=_，CM=_CM=_，AC=_AC=_；（2 2）若）若C=C=2525 ，AMB=_AMB=_ ；BACM8 88 8161650502 21 1BM=AM=CM= ACBM=AM=CM= AC21C=C=1 1A=A=2 2（3 3）若）若B BD D是是ACAC边上的高，则与边上的高，则与A A相等的角有相等的角有_个个. .第8页/共17页第八页，共18页。直角三角形斜边上的中线

10、直角三角形斜边上的中线(zhngxin)(zhngxin)等于等于斜边的一半斜边的一半定理定理(dngl)(dngl)2 2练习练习(linx)2(linx)2：2 2、已知：在、已知：在RtRtABCABC中中, ,ABC=90ABC=90 ，BMBM是是ACAC边上的中线边上的中线BACM（3 3）若）若B BD D是是ACAC边上的高，则与边上的高，则与A A相等的角有相等的角有_个个. .2 2DBACDBACM第9页/共17页第九页，共18页。已知：如图，在已知：如图，在 ABC ABC中，中，AD BCAD BC， E E、F F分别分别(fnbi)(fnbi)是是ABAB、ACA

11、C的中点，且的中点，且DE=DFDE=DF求证求证(qizhng)(qizhng)：AB=AC. AB=AC. DABCEF等腰三角形等腰三角形底边底边上的中点上的中点中点中点直角三角形直角三角形斜边斜边上的中点上的中点第10页/共17页第十页，共18页。如图如图1 1，在，在Rt Rt ABC ABC与与Rt Rt ACE ACE中，中， ABC= AEC=90 ABC= AEC=90 ，点，点M M是是ACAC边上的中点边上的中点(zhn din)(zhn din)，联结，联结BMBM、EMEM、BEBE，点，点P P是是BEBE的中点的中点(zhn (zhn din). din). 求证

12、：求证：EABCMP中点中点中点中点证明证明(zhngmng)(zhngmng)：（已知）（已知） ABC= ABC= AEC=90AEC=90 M M是是ACAC边上的中点边上的中点（已知）（已知）（等量代换）（等量代换） BM= ACBM= AC21，EM= ACEM= AC21（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） BMBM= EM EM又又 P P是是BEBE边上的中点边上的中点 MPMP BE BE （等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）（图（图1 1）MP BE .MP BE .第11页/共17页第十一页，共18页。C证明证明(zhn

13、gmng)(zhngmng)： ABC= ABC= AEC=90AEC=90 M M是是ACAC边上边上(bin (bin shn)shn)的中点的中点 BM= ACBM= AC21，BE= ACBE= AC21 BMBM= EM EM又又 P P是是BEBE边上的中点边上的中点 MPMP BE BE （已知）（已知）（已知）（已知）（等量代换）（等量代换）（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）如图如图2 2，在，在Rt Rt ABCABC与与RtRt ACE ACE中，中， ABC= ABC= AEC=90

14、AEC=90 ，点，点M M是是ACAC边上的中点，联结边上的中点，联结BMBM、EMEM、BEBE，点，点P P是是BEBE的中点的中点. .求证：求证：MP BE .MP BE .中点中点中点中点（图（图1 1）EACMP（图（图1 1）B（图（图2 2）M第12页/共17页第十二页，共18页。EDACMP如图如图3 3，在，在ACDACD中，中，AEAE、CBCB分别是边分别是边CDCD、ADAD上的高，上的高，M M、 P P分别是分别是ACAC、BEBE的中点的中点(zhn din).(zhn din).求证：求证：MP BE .MP BE .证明证明(zhngmng)(zhngmn

15、g)： A AEC= EC= A ABC=90BC=90 M M是是ACAC边上的中点边上的中点ME= ACME= AC21，MB= ACMB= AC21 MEME= M MB B又又 P P是是BEBE边上的中点边上的中点 M MP P B BE E （图（图3 3）（已知）（已知）（已知）（已知）（等量代换）（等量代换）（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）B联结联结MEME、MBMB第13页/共17页第十三页，共18页。19.8 的性质(xngzh)BACM1 12 2BACM1 12 2直角三角形的两

16、个直角三角形的两个(lin )(lin )锐角互余锐角互余直角三角形斜边上的中线等于直角三角形斜边上的中线等于(dngy)(dngy)斜斜边的一半边的一半第14页/共17页第十四页，共18页。（1 1）阅读教材）阅读教材(jioci)P115(jioci)P115页，性质定理页，性质定理2 2的证明；的证明；（2 2）用右图的添线方法，完成性质定理）用右图的添线方法，完成性质定理2 2的证明的证明 已知：在已知：在RtRtABCABC中，中， ACB=90ACB=90， CMCM是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线. . MEFBACCM= CM= ABAB. .21求证：求证：（3 3）练习册）练习册 19.8(1)19.8(1)第15页/共17页第十五页，共18页。已知：如图，在已知：如图，在RtRt ABC ABC中，中， C=90C=90 ， A AD BCD BC， CBE=CBE= ABEABE . .求证求证(qizhng)(qizhng)：ED=2AB. ED=2AB. DABCE21FAB=AFAB=AF A ABE=BE= AFBAFBED=2AB.ED=2AB. A ABE=BE= 2 2 CBECBE AFB=2AFB=2 D D分析分析(fnx(fnx)：作作AEDAED边边EDED上的中线上的中线AFAF第16页