北师版勾股定理及应用

1、第17章 勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2 = c2 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长 即c2= a2b2，a2= c2b2，b2= c2a2点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原

2、理如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形请读者证明abc（图1）（1）（2）（3）如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a，b，c的四个直角三角形拼成的一个以c为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（ba），面积为（ba）2，四个直角三角形的面积为4×ab = 2ab 由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积小正方形的的面积，即c2 =（ba）22ab，则a2b2 = c2问题得证请同学们自己证明图（2）、（3）点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的

3、平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点点击四：直角三角形边与面积的关系及应用直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设、为直角三角形的两条直角边，为斜边，为面积，于是有：，所以.即.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便.点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式如图2，在Rt中,0,A、B、C

4、的对边分别为a、b、c,则c2=a2+b2, a2=c2-b2 , b2=c2-a2,点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；（3）用于推导线段平方关系的问题等（4）用勾股定理，在数轴上作出表示、的点，即作出长为的线段针对练习:1下列说法正确的是（）A若 a、b、c是ABC的三边，则a2b2c2 ABCB若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c2C若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c2D若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c22一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A斜边长为

5、25 B三角形周长为25 C斜边长为5 D三角形面积为203如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）A 0 B 1 C 2 D 34如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x210的立方根为（ ）A-10 B-10 C2 D-25把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）A 2倍B 4倍C 6倍D 8倍6小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A8cm B10cm C12cm D14cm7ABC中，AB15，AC13，高A

6、D12，则ABC的周长为（）A42 B32 C42 或 32 D37 或 33abcl8如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（）（）4（）6（）16（）559.已知直角三角形的周长为2，斜边上的中线为1，求它的面积.10.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.11.如图，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，AB=13cm，AC于BC之和等于17cm，求CD的长.类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2AB图3例2： 如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面

7、从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为( )A B C3a D类型之二：在数轴上表示无理数例3：在数轴上作出表示的点下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积OA1OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA8例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由

8、四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（ ）（A）13 （B）19 （C）25 （D）169 类型之四：勾股定理的应用（一）求边长例1：已知：如图，在ABC中，ACB90º，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，求CD的长.（二）求面积例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）观察图11.正方形A中含有_个小方格，即A的面积是_个单位面积；正方形B中含有_个小方格，即B的面积是_个单位面积；正方形C中含有_个小方格，即C的面积是_个

9、单位面积.在图12中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你能发现图11中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图12中的呢？（四）证明平方关系例4：已知：如图，在中，是边上的中线，于，求证：.（五）实际应用例5：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风

10、影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 一、 选择题1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（ ）（A）2、4、8 （B）4、8、10 （C）6、8、10 （D）8、10、122、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（ ） A.25，48，80 B15，17，62 C25，59，74 D32，60，683、如果直角三

11、角形的三条边2，4，a，那么a的取值可以有（ ）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个4、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（ ）（A）2厘米（B）4厘米（C）6厘米（D）8厘米5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S、S、S，则S、S、S之间的关系是（ ）（A）S+S>S （B）S+S<S （C）S+S=S （D）S+S=S二、填空题1、若直角三角形斜边长为6，则这个三角形斜边上的中线长为_.2、如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm和12cm，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于 cm3、如图，CD是RtABC斜边

12、AB上的中线，若CD=4，则AB= 4、在ABC中，A：B：C1：2：3已知BC3cm，则AB cm5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 . 60120140B60AC第5题图76、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米7、如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得BAC90°，ABC30°，又量得BC160 m，则A、B两点之间的距离为 m（结果保留根号）8、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形

13、，这个图形被称为弦图从图中可以看到：大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积因而c2 化简后即为c2 abc9、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为 10、2002年8月2028日在北京召开了第24届国际数学家大会大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是 11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以

14、此类推，第13个等腰直角三角形的面积是 . 12、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米现将梯子的底端A向外移动到A，使梯子的底端A 到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B，那么BB等于1米；大于1米；小于1米.其中正确结论的序号是_.13、观察下面各组数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）、，可发现：4，12，24，若设某组数的第一个数为，则这组数为（， ， ） 三、解答题1、张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345a22-132-142-152-1b46810c22+132

15、+142+152+1（1） 分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：a = ，b = ，c = （2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.abAADAABCbc第4题图4、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连结，设，请利用四边形的面积证明勾股定理：.5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EF都是正方形. 证：ABFDAE6、仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题. （1）请用含有n（n是正整数）的等

16、式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出的值一、选择题1、 如图，字母A所代表的的正方形的面积为（数字表示该正方形的面积）（ ）A、13B、85C、8D、都不对2、 在RtABC中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（ ）A、5B、C、5或D、5或3、 等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则三角形的面积是（ ）A、56B、48C、40D、324、 若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（ ）A、2:3:4B、3:4:6C、5:12:13D、4:6:75、 一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，则长方形的面积（ ）A、B、C、D、6、 一个三角形三个内角之比

17、为1：2：1，其相对应三边之比为（ ）A、1:2:1B、C、1:4:1D、12:1:27、 斜边长25，一条直角边长为7的直角三角形面积为（ ）A、81B、82C、83D、848、若直角三角形中，有一个锐角为，且斜边与较短直角边之和为18，则斜边长为（ ）A、4cmB、6cmC、8cmD、12cm9、如图ABC中，C90°，AD平分BAC，DEAB于E，下面等式错误的是（ ）A、AC2+DC2=AD2B、AD2DE2AE2C、AD2=DE2+AC2D、BD2BE2BC210.图是2002年8 月北京第24届国际数学家大会会标，由4 个全等的直角三角形拼合而成.若图中大小正方形面积分别

18、是62和4，则直角三角形的两条直角边长分别为（ ）A、6，4B、62，4C、62，4D、6， 4二、填空：1、在ABC中， C90°，a，b，c分别为A B C的对边 （1）若a=6，c=10则b= （2）若a=12，b=5 则c= （3）若c=25，b=15则a= （4）若a16，b=34则b= 2、三边长分别为1，1，1的三角形是 角三角形.3、在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，则ABC的面积是 4、如图要修一个育苗棚，棚宽a=3m，高b=4m，底d=10m，覆盖顶上的塑料薄膜的面积为 5、如图点C是以为AB直径的半圆上的一点，则图中阴影部分的面积是 6、在RtABC中

19、，且BC=136则AC= 7、直角三角形的一直角边为8cm，斜边为10cm，则这个直角三角形的面积是 斜边上的高为 8、 ABC中， 则a:b:c= 9、 三角形三个内角之比为1：2：3，它的最长边为a，那么以其余两边为边所作的正方形面积分别为 10、有两根木条，长分别为60cm和80cm，现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x长度的取值范围 三解答题1、如如图要建一个苗圃，它的宽是a=4.8厘米，高b=3.6米.苗圃总长是10米（1）求苗圃的占地面积（2）覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米?2、如图在四边形ABCD中，求正方形DCEF的面积 3、如图在锐角ABC中，高AD=12，AC

20、=13，BC=14求AB的长 4、八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿插到离湖边1米的水底，只见竹竿高出水面1尺，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变）竿顶和湖沿的水面刚好平齐，求湖水的深度和竹竿的长5、如图己知在ABC中，垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长 6、某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园，如图米，BC=60米，若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，己知水渠的造价是10元/米，则点D在距A点多远，水渠的造价最低，最低价是多少？ 勾股定理及应用 例1 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积 练习11已知：如图2-1，AD=

21、4，CD=3，ADC=90°，AB=13，ACB=90°，求图形中阴影部分的面积2-12已知：长方形ABCD，ABCD，ADBC，AB=2，ADDC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长 3若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（ ） A1：2：4 B1：3：5 C3：4：7 D5：12：13 2-2 例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？ 2-3 练习21如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点

22、C落在C的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分EBD的面积为_2如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B离墙脚O的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A时，梯子的底部向外移动多少米？2-4 3如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（ ）A3.74 B3.75 C3.76 D3.772-5 例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形？ 练习3 1若ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则ABC是（ ） A

23、等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形2如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，猜想AF与EF的位置关系，并说明理由 2-6 3ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（ ） AABC是直角三角形，且斜边长为m2+1 BABC是直角三角形，且斜边长为2m CABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定 DABC不是直角三角形 例4 已知：如图2-7所示，ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=65 求证：ABC是直角三角形 练习4 1已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试

24、判断ABC的形状 先阅读下列解题过程： 解：a2c2-b2c2=a4-b4， c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2） c2=a2+b2 ABC为直角三角形 问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是_； （2）本题的正确结论是_2如图2-8，ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长3如图2-9，ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度数 例5 如图2-10，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且ADAC，求BD的长 分析 若作AEB

25、C于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是RtADC的直角边 AD=CD-AC，若设DE=x，借助于AD这个“桥”可以列出方程 解：作AEBC于E 2-10 AB=AC，AEBC， BE=EC=BC=×32=16 在RtAEC中， AE2=AC2-CE2=202-162=144， AE=12 2-11 设DE=x， 则在RtADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2， 在RtACD中，AD2=CD2-AC2=（16+x）2-202 144+x2=（16+x）2-202 解得x=9BD=BE-DE=16-9=7 练习5 1如图2-12，ABC中，C=90°

26、，M是BC的中点，MDAB于D求证：AD2=AC2+BD22-122如图2-13，ABAD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积2-13 3如图2-14长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？2-14勾股定理的逆定理1一选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1.在ABC中，的对边分别为，且，则（ ）A.为直角 B.为直角 C.为直角 D.不能确定2.如图，下列三角形中是直角三角形的是( )D51213C467B758A735 3.下列各命题的逆命题不成立的是( )A.两直线平行,内错角相等

27、 B.若,则C.对顶角相等 D.如果a=b,那么a2=b24.下面四组数中，其中有一组与其他三组规律不同，这一组是（ ）A. 4，5，6 B. 6，8，10 C. 8，15，17 D. 9，40，415.如图有五根小木棒，其长度分别为7、15、20、24、25，现想把它们摆成两个直角三角形，则摆放正确的是（ ） A B C D6.放学后，斌斌先去同学小华家玩了一回，再回到家里。已知学校C、小华家B、斌斌家A的两两距离如图所示，且小华家在学校的正东方向，则斌斌家在学校的（ ） (第9题) A.正东方向 B.正南方向 C.正西方向 D.正北方向ABCC 12 12AB1312 12 125 12

28、12(第5题) (第8题) 7.已知ABC，在下列条件：ABC；A：B：C=3：4：5； ；（m、n为正整数，且m>n）中,使ABC成为直角三角形的选法有（ ）A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种8. 如图，正方形小方格边长为1,则网格中的ABC是 （ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对9.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF10.如图, ABC的三边BC=3，AC=4、AB=5

29、,把ABC沿最长边AB翻折后得到ABC，则CC的长等于（ ）CAB(第10题)A. B. C. D.二填空题（本题有10小题，每题2分，共20分）11.在ABC中，若，则B+C=_度。12.一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用一条木条加固，则需木条长为 。13.有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为 。14已知，则由、为三边的三角形是 三角形。15. 一个三角形的三边的比为5:12:13，它的周长为60cm，则它的面积是_。16. 传说,古埃及人曾用“拉绳”的方法画直

30、角,现有一根长12厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为12厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边长度分别为_ _厘米，其中的道理是_。17.已知两条线段的长为5cm和2cm,当第三条线段的长为                  cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.(第19题)18.木工周师傅加工一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面 (填“合格”或“不合格”)。19.如图，ABC中，D是BC上的一点， 若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，则ABC的面积为 。20我们知道,以3，4，5为边长的三角形为直角三角形,所以称3、4、5为勾股数组，记为（3、4、5），类似地，还可得到下列勾股数组（8、6、10），（15、8、17），（24、10、26）等，请你写出上述四组勾股数的规律： （用含n的式子表示）。三解答题（本题有7小题，第21-26题每题7分，第27题8分） BAC21如图，供电所张师傅要安装电线杆，按要求，电线杆要与地面垂直