立体几何重要题型及求解方法

1、.立体几何重要题型及求解方法1空间几何体的画法例1 用斜二测法画一个水平放置的平面图形直观图为图1的一个正方形，则原来的图形是（ ）解析:按斜二测法作图法则，对四个选项逐一验证（A）正确评析：本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力2表面积的计算例2 一个四面体的所有的棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）解法一：如图2，设四面体为，其棱长均为，为其外接球的球心，球半径为为在面上的射影，为的中点，则，由，得，解得，故选（）解法二：注意到选项的特殊性，此时球的半径而当时，如图2又知为钝角，则，矛盾，故，从而排除（），（），（），故选（）解法三：注意到的特殊性，构造棱长为1

2、的正方体，如图3（其实不必画图），则是棱长为的正四面体，正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为，故，选（）探究：解法一是运用方程的思想求球的半径，小题大做解法二观察题目特点，利用排除法是最优解法解法三是割补法，将正四面体补成一个正方体，这种割补思想解决问题值得我们学习3体积的计算由于体积的计算既需要同学们扎实的基础知识，又要用到一些重要的思想方法，因此也是高考的重要题型，其中又以锥体的体积和不规则几何体的体积计算为主，因为锥体的体积计算往往需要转换顶点和底面，而不规则几何体的体积计算则常常需要用到分割或补形的方法例3如图4，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且，均为正三角形，则该

3、多面体的体积为（）分析：本题中的多面体是一个不规则的几何体，因此可考虑对其进行分割或补形解法一：如图5，分别过作的垂线，垂足分别为，连结，容易求得，解法二：如图6，将该多面体补成一个斜三棱柱（侧棱与底面不垂直的棱柱），则探究：本题中所用的两种方法就是求不规则几何体体积的两种基本方法，方法一是对不规则几何体进行分割，分割后每一部分都成为规则几何体，套用公式求出体积后相加就是所求不规则几何体的体积；方法二则是在原不规则几何体的基础上补上一个几何体，使之成为规则几何体，求出体积后再减去补上的几何体的体积即得所求几何体体积，两种解法都体现了转化的思想方法4线面位置关系的判断线面位置关系的判断是立体几何

4、的基本知识与基本技能，因而是高考的必考内容之一，一般出现在选择、填空题中，常常与命题等有关问题融合在一起进行考查例4 给出下列关于互不重合的直线和平面的四个命题：，点，则与不共面；是异面直线，且，则；若，则；若，则，其中为假命题的是（）解析：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，命题中当时，直线与可以平行，也可以相交或异面，因此该命题是错误的，故选（）探究：这种题型的解法通常是紧扣定义，利用基本定理或反证法进行推理，有时可借助常用的模型进行判断要求概念明确，关系清楚，基本运算熟练，还要特别注意与平面几何中有关结论的区别，防止负迁移5图形的展开与折叠问题图形的展开与折叠问题主

5、要考查同学们的空间想象能力，它最能体现出立体几何的特点，通过图形的展开与折叠问题，考查最值问题，范围问题，空间角与距离的求解，位置关系的判断等都是高考的重要题型例5如图7，在直三棱柱中，分别为的中点，沿棱柱的表面从到，两点间的最短路径的长度为分析：这是一个求沿几何体表面最短路径的问题，通常采用将几何体表面展开化为平面问题的方法处理，本题中由于是一个棱柱，将其表面展开的方法有多种，因此，应采取分类讨论的方法将每一种情形分别求出，再进行比较，从而得出结论解：将三棱柱侧面、底面展开有以下三种情形（如图8）在（1）中，；在（2）；在（3）中，通过比较知第（3）种情况，即从沿平面过棱到点路径最短探究：解决有关展开与折叠的