二项分布应用举例

1、二项分布应用举例二项分布及其应用知识归纳1条件概率及其性质(1)对于任何两个事件a 和 b，在已知事件a 发生的条件下，事件b 发生的概率叫做，用符号来表示，其公式为p(b|a). 在古典概型中，若用n(a)表示事件a 中基本事件的个数，则 p(b|a). (2)条件概率具有性质：；如果 b 和 c 是两互斥事件，则p(bc|a)2相互独立事件(1)对于事件a、b，若 a 的发生与b 的发生互不影响，则称a、b 是相互独立事件(2)若 a 与 b 相互独立，则p(b|a)，p(ab)p(b|a) p(a)(3)若 a 与 b 相互独立，则，也都相互独立(4)若 p(ab)p(a)p(b)，则3

2、二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)在 n 次独立重复试验中，事件a 发生 k 次的概率为(p 为事件 a 发生的概率 )，若一个随机变量x 的分布列如上所述，称x 服从参数为n， p 的二项分布，简记为自我检测1(2011 辽宁高考， 5)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件a“ 取到的 2 个数之和为偶数” ，事件 b“ 取到的 2 个数均为偶数 ” ，则 p(b|a)() a.18b.14c.25 d.12解析：条

3、件概率p(b|a)pabpap(a)c23 1c2541025，p(ab)1c25110， p(b|a)1102514. 2一袋中有5 个白球， 3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则 p( 12)等于 () ac10123810582bc91138958238cc911589382dc911389582解：事件 12 表示第 12 次取到红球，前11 次取到 9 个红球，故p( 12)c91138958238. 3(2011 广东高考 )甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军

4、，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为() 二项分布应用举例a.12b.35c.23 d.34解析：甲、乙两队决赛时每队赢的概率相等，每场比赛甲、乙赢的概率均为12. 记甲获冠军为事件a，则 p(a)121212344(2010 福建高考， 13)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4 个问题就晋级下一轮的概率为_解析：由题设分两种情况：(1)第 1 个正确，第2 个错误，第3、4 个正确，由乘法公式得p10.80.20.80

5、.8 0.102 4. (2)第 1、2 个错误，第3、4 个正确，由互斥事件的概率公式得p20.20.20.80.80.025 6. pp1p20.128. 5(2011 上海高考， 12)随机抽取的9 位同学中， 至少有 2 位同学在同一月份出生的概率是_(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)解析：设事件 a 为“ 至少有 2 位同学在同一月份出生” ，则 a 的对立事件a 为“ 所有人出生月份均不相同” ，则 p(a)1p( a )1a912129112 11 10 9 8 7 6 5 41291 0.015 50.984 5 0.985.题型讲解例 1.(2011 湖南高考，

6、15)如图， efgh 是以 o 为圆心、半径为1 的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用a 表示事件“豆子落在正方形efgh 内” ， b 表示事件“豆子落在扇形ohe(阴影部分 )内” ，则 (1)p(a)_；(2)p(b|a)_. 解析 p(a)s正方形s圆222. p(b|a)pabpaseohs正方形14. 规律方法 ?条件概率的求法：(1)利用定义，分别求p(a)和 p(ab)，得 p(b|a)pabpa.这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件a 包含的基本事件数n(a)，再在事件a 发生的条件下求事件b 包含的基本事件数，即n(ab)，得 p(b|

7、a)nabna. 练习 1抛掷红、蓝两颗骰子，设事件a 为“蓝色骰子的点数为3 或 6” ，事件 b 为“两颗骰子的点数之和大于8” (1)求 p(a)，p(b)，p(ab)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3 或 6 时，求两颗骰子的点数之二项分布应用举例和大于 8 的概率解析： (1)p(a)2613. 两个骰子的点数之和共有36 个等可能的结果，点数之和大于8 的结果共有10 个p(b)1036518. 当蓝色骰子的点数为3 或 6 时，两颗骰子的点数之和大于8 的结果有5 个，故p(ab)536. (2)由(1)知 p(b|a)pabpa53613512. 例 2.(2012 重庆高考，

8、18)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3 次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2 个球的概率解析 设 ak，bk分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则p(ak)13，p(bk)12(k1,2,3)(1)记“ 乙获胜 ” 为事件 c， 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知p(c)p( a1b1)p( a1b1a2b2)p( a1b1a2b2a3b3) p( a1)p(b1) p(a1)p( b1)p( a2)p(b

9、2)p( a1)p( b1)p( a2)p( b2)p( a3)p(b3) 23122321222331231327. (2)记“ 投篮结束时乙只投了2 个球 ” 为事件d，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知p(d)p( a1b1a2b2)p( a1b1a2b2a3) p( a1)p( b1)p( a2)p(b2)p( a1)p( b1)p( a2)p( b2)p(a3) 23212223212213427. 规律方法 ?(1)相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生；(2)求用“至少”表述的事件的

10、概率时，先求其对立事件的概率往往比较简单练习 2(2011 山东高考， 18 改编 )红队队员甲、乙、丙与蓝队队员a、b、c 进行围棋比赛，甲对a，乙对 b，丙对 c 各一盘已知甲胜a，乙胜 b，丙胜 c 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立 (1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列解析： (1)设甲胜 a 的事件为d，乙胜 b 的事件为e，丙胜 c 的事件为 f.则 d ， e ， f 分别表示甲不胜a、乙不胜 b、丙不胜 c 的事件 因为 p(d) 0.6，p(e)0.5，p(f)0.5，由对立事件的概率公式知p( d )0.

11、4，p( e )0.5，p( f )0.5. 红队至少两人获胜的事件有：de f ， d e f， d ef，def .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的二项分布应用举例结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为p p(de f ) p(d e f) p( d ef) p(de f)0.6 0.5 0.50.6 0.5 0.50.4 0.5 0.50.6 0.5 0.50.55 (2)由题意知 可能的取值为0,1,2,3. 又由 (1)知 de f、 de f 、 d ef 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此 p( 0)p( def )0.4 0.5 0.50.1，p( 1)p(

12、 de f)p( d ef )p(d ef )0.4 0.5 0.5 0.4 0.5 0.50.6 0.5 0.50.35， p(3)p(def )0.6 0.5 0.50.15. 由对立事件的概率公式得p( 2)1p( 0)p( 1)p( 3) 0.4.所以 的分布列为：0 1 2 3 p0.1 0.35 0.4 0.15 例 3.(2010 四川高考， 17 改编 )某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“ 奖励一瓶 ” 或“ 谢谢购买 ” 字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“ 奖励一瓶 ” 字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料 (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率，(

13、2)求中奖人数的分布列解析 (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为a、b、c，那么 p(a)p(b)p(c)16. p(a b c )p(a)p( b )p( c )1656225216.甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25216. (2)x 的可能取值为0,1,2,3. p(k)ck316k563k，k0,1,2,3.所以中奖人数x 的分布列为x 0123 p 12521625725721216规律方法 ?(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)二项分

14、布满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的各次试验中的事件是相互独立的每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数练习 3(2012 四川高考， 17)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统 )a 和 b，系统a和系统 b 在任意时刻发生故障的概率分别为110和 p. (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求 p 的值；(2)求系统 a 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率解析： (1)设“ 至少有一个系统不发生故障” 为事件 c，那么 1p( c)1110 p4950.解得 p

15、15. 二项分布应用举例(2)设“ 系统 a 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数” 为事件 d，那么 p(d)c23110 (1110)2(1110)39721000243250. 故系统 a 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250. 例 4.(2013 苏州模拟 )一个袋中装有黑球、白球和红球共n(nn*)个，这些球除颜色外完全相同已知从袋中任意摸出1 个球，得到黑球的概率是25.现从袋中任意摸出2个球(1)若 n15，且摸出的2 个球中至少有1 个白球的概率是47，设 表示摸出的2 个球中红球的个数，求随机变量 的概率分布

16、列；(2)当 n 取何值时，摸出的2 个球中至少有1 个黑球的概率最大，最大概率为多少？解析 (1)设袋中黑球的个数为x个，记 “ 从袋中任意摸出一个球，得到黑球” 为事件 a，则 p(a)x1525.x6. 设袋中白球的个数为y 个，记 “ 从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球” 为事件 b，则 p(b)1c215yc21547， y229y1200，y5 或 y24(舍)红球的个数为1565 4(个)随机变量 的取值为 0,1,2，分布列为012 p 112244105235(2)设袋中有黑球z个，则 z25n(n5,10,15，) 设“ 从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球” 为事件

17、 c，则 p(c)1c235nc2n16256251n1，当 n 5 时， p(c)最大，最大值为710. 强化训练1抛掷甲、乙两枚骰子，若事件a：“ 甲骰子的点数小于3” ，事件 b：“ 甲、乙两枚骰子的点数之和等于6” ，则 p(b|a)的值等于 () a.13b.118c.16d.19解析：由题意知p(a)123613，p(ab)236118， p(b|a)pabpa1181316. 2(2010 辽宁高考 )两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工二项分布应用举例为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为() a.12b.512c.

18、14d.16解析：设事件a：“ 一个实习生加工一等品” ，事件 b：“ 另一个实习生加工一等品” ，由于 a、b 相互独立，则恰有一个一等品的概率pp(a b )p( a b) p(a)p( b )p( a )p(b)23141334512. 3(2011 湖北高考 )如图，用 k、a1、a2三类不同的元件连接成一个系统，当k 正常工作且 a1、a2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知k、a1、a2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为() a0.960b0.864c0.720d0.576 解析： a1、a2同时不能工作的概率为0.2 0.20.04，所以a1、

19、a2至少有一个正常工作的概率为10.040.96，所以系统正常工作的概率为0.9 0.960.864.故选 b. 4位于坐标原点的一个质点p 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点 p 移动五次后位于点(2,3)的概率是 () a.125bc25125c c25123d c25c35(12)5解析：质点在移动过程中向右移动2 次， 向上移动3 次， 因此质点p移动 5 次后位于点 (2,3)的概率为c251221123，故选 b. 5如果 b(15，14)，则使 p( k)取最大值的k 值为 () a3b4c5d3 或 4 解析：

20、(特殊值法 )p( 3)c3151433412，p( 4)c4151443411，p( 5)c5151453410从而易知p( 3)p( 4)p( 5)6(2012 重庆高考， 15)某艺校在一天的6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各 1 节间接法，分两，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1 节艺术课的概率为_(用数字作答解析：使用间接法，分两类：某两节文化课之间间隔2 节艺术课方法数为c23 a22 c12 c13 a33216 种某 2 节文化课之间间隔3 节艺术课方法数为：c12 a33 a3372 种，故所求事件概率为p121672a6612535. 7将

21、一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入a 袋或 b 袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入a 袋中的概率为 _ 1 1818解：小球落入a 袋左侧的概率为12121218，同理落入右侧的概率为18， p二项分布应用举例34. 8(2010 安徽高考， 15)甲罐中有5 个红球， 2 个白球和3 个黑球，乙罐中有4 个红球， 3 个白球和3 个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以a1，a2和 a3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以b 表

22、示由乙罐取出的球是红球的事件则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号) p(b)25； p(b|a1)511；事件b 与事件 a1相互独立；a1，a2， a3是两两互斥的事件；p(b)的值不能确定，因为它与a1，a2，a3中究竟哪一个发生有关解析：对， p(b)c15c110c15c111c15c110c14c111922；， p(b|a1)c15c111511；，由 p(a1)12，p(b)922，p(a1 b)522知 p(a1 b) p(a1) p(b)故事件b 与事件 a1不是相互独立事件；，从甲罐中只取一球，若取出红球就不可能是其他，故两两互斥；，由可算得答案：9(2011 大

23、纲卷， 18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率；(2)x 表示该地的100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求x 的期望解析：记a 表示事件：该地的1 位车主购买甲种保险；b 表示事件：该地的1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；c 表示事件：该地的1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种；d 表示事件：该地的1 位车主甲、乙两种保险都不购买；(1)p(a)0.5， p(b)0.3， cab，p(c)p(ab) p(a)p(b)0.

24、8. (2)d c ，p(d)1 p(c)10.80.2，xb(100,0.2)，即 x 服从二项分布，所以期望ex100 0.220. 10(2011 天津高考， 16)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3 个白球， 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2 个球，若摸出的白球不少于2 个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在 1 次游戏中； ()摸出 3 个白球的概率；()获奖的概率；(2)求在 2 次游戏中获奖次数x 的分布列及数学期望ex. 解析： (1)( )设“ 在 1 次游戏中摸出i 个白球 ” 为事件 ai(i0,1,2,3)，则 p(a3)