中值定理与导数的应用学习指导

1、弟二章中值定理与导数的应用、知识脉络罗尔定理微 中 士 大E拉格朗日定理'推论1推论2柯西定理、泰勒公式（麦克劳林公式）极值的应用：最大值与最小值应用问题函数性态其它应用 定义单调性J单调性判定求单调区间定义，凹凸性与拐点,凹凸性判别、求凹凸区间与拐点函数作图弧微分曲率和曲率半径 渐屈与渐伸线、求方程的近似解、重点与难点1 .重点：拉格朗日中值定理，函数增调区间、函数的凹凸区间，求函数的 极值，求具体问题的最大最小值。2 .难点：柯西定理、泰勒展式、不等式证明、函数作图。、问题与分析1 .学习洛尔定理、拉格朗日定理与柯西定理应注意的问题：洛尔定理是一个函数满足 3条，拉格朗日定理一个函

2、数满足2条，柯西 定理是两个函数满足2条，才有相应结论；定理的条件是充分的，但不是必要的；三个定理都是存在性定理，只肯定了有巴存在，而未指出如何确定该点。2 .学习罗必塔法则应注意问题：罗必塔法则仅仅用于-型和二型未定式；0如果limf£）不存在（不包括«）,不能断言limfx）不存在，只能说 g xg x明罗必塔法则在此失效，应采用其它方法求极限；0 8, oQ_oO, 0°, 1 ；也叫未定型，必须转化为-型或二型之后, 0方可用罗必塔法则求极限；一.“ 1,、1 一思路”：0 8型转化为 8或0,_型；0g-g可通分转化为0型或一型；0000型转化为eln0

3、 =e0ln°,其中指数是0 8型；10c型转化为金产二到11,其中数是g 0 ；一型转化为elnx° =e0lnQO,其中指数是0 8型。罗必塔法则求极限与其它方法求极限在同一题中可交替使用；0 一.二一.有时要连续用几次洛必塔法则，每一次都要验证是否是？型或一型。03 .学习函数单调性应注意的问题：如果f'（x族某个区间内只有有限个点处等于零，在其它点处均为正（或负）时，则函数f（x）在该区间内仍为单调增加（或单调减少）求单调区间的步骤：先令f *)=0 ,求出驻点与不可导点，这样的点将定义域分成了几个区间；再在每个区间内验证fx )的符号，若为正，则单增，若为

4、负，则单减。4 .学习函数极值应注意的问题：函数极值是一个局部性的概念，它只与极值点邻近的所有点的函数值相 比较是大还是小，并不是说它在定义区间上是最大或最小。因此一个函 数可能存在其极大值小于极小值的情形；求函数极值的步骤：先求 f'(x)=0的解以及f'(x)不存在的点，这些点是可疑的极值点；其次，可疑极值点将 f(x)的定义域分成了几个区间，在每个区间考察f'(x)的符号；最后确定极值点；极值点与极值是两个不同的概念。5 .学习函数最值应注意的问题：极值点是函数在一点附近函数值的大小比较，是局部性质，而最大值最小值是在区间a,bl上的性质；最值在区间的端点和极值点

5、上产生。所以确定最大值最小值的步骤为：首先求出定义域；然后求出f'(x),求出可疑点；最后比较可疑点的函数值与边界处的函数值。6 .学习凹凸性应注意的问题：用一阶导数确定单调区间，用二阶导数确定凹凸区间及拐点，确定拐点 时不但需要f'(x)=0,而且还要在该点的左右变号；拐点一定是坐标形式的点(x, f (x ),拐点的表达与极值点的表达不同，拐点是曲线上的某一点。7 .学习渐近线应注意的问题：函数的图形不一定有渐近线；渐近线分为水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线。8 .学习泰勒展开式应注意的问题：麦克劳林展开是特殊的泰勒展式；用关于(x-x0用勺n次多项式近似表示函数f (x

6、)时，一定有一个余项，该余项即误差一定是(x x0 )n的高阶无穷小量；应该熟记一些常用的泰勒展式。9 .证明不等式的方法有：利用单调性；利用中值定理关键在于构造一个函数f(x ),这就需要分析不等式的特点。10 .求具体问题最值的步骤分析问题，明确求哪个量的最值；写出函数关系式。确定函数关系常常要用几何、物理、化学、经济学等方面的知识，函数关系式列出后，依具体情况要写出定义域；由函数式求驻点，并判断是否为极值点；根据具体问题，判别该极值点是否为最值点。一般如果函数在b,b1连续，且只求得唯一的极值点，则这个极值点就是所求的最值点。最后写出最值。四、解题格式例1函数f(x )=2x2 x-3在

7、区间.|-1 上是否满足罗尔定理的条件？如一 2满足求出定理中的解：因f(x很多项式，故f(x)满足：在.1-1,- 上连续；IL 2f 3、在-1, |内可导，且f (x)=4x-1 ;<2； f (一 1)= f i=0；<2)所以f (x春1-1,3 上满足罗尔定理条件。一 2令 fg )=0得 >1.4例2求极限雪x sin x的 店t 0型.1 -cosx 0型sin x 另型 cos解：原式 0 lim厂 0 lim = 0 lim x 0 3x x >0 6x x 0 6例3设x<0,试证ex >l+x.证法一：用中值定理设 f (t )=et

8、 1 t ,则f(t班lx,0上连续；f(t班(x,0 )内可导,且(t )=3-1则存在之三(x,0 ),使f代)="0)- f(x) 0 -x即 xe _1=ex_1_x因为 £<0,故0<e'<1又因为x<0,故x(e：-1)>0,从而ex -1 -x 0所以 ex .1 x.证法二：用函数的单调性设 f (x ) = ex -1 一 x ,则 f '(x )= ex -1因为 x<0,故 ex1<0,即 f'(x)<0从而当x<0时f(x)是单调减少的又 lim f x = lim ex -1 - x =0x0 -x0 r所以当 x<0时，有 f(x)A f(0 一)=0 即 ex -1 - x 0故 ex 1 x.2例4求函数f(x)=x3(x-5 )的单调区间和极值解：f (x )的定义域为Sf5 x 23 3x令(x)=0 ,得 x=2当x = 0时，f'(x)不存在.故定义域分为(-吗0 ), (0,2),收),列表为x(-。0,0 )0(0,2)2(2,ff *(