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文档简介
1、弟二章中值定理与导数的应用、知识脉络罗尔定理微 中 士 大E拉格朗日定理'推论1推论2柯西定理、泰勒公式(麦克劳林公式)极值的应用:最大值与最小值应用问题函数性态其它应用 定义单调性J单调性判定求单调区间定义,凹凸性与拐点,凹凸性判别、求凹凸区间与拐点函数作图弧微分曲率和曲率半径 渐屈与渐伸线、求方程的近似解、重点与难点1 .重点:拉格朗日中值定理,函数增调区间、函数的凹凸区间,求函数的 极值,求具体问题的最大最小值。2 .难点:柯西定理、泰勒展式、不等式证明、函数作图。、问题与分析1 .学习洛尔定理、拉格朗日定理与柯西定理应注意的问题:洛尔定理是一个函数满足 3条,拉格朗日定理一个函
2、数满足2条,柯西 定理是两个函数满足2条,才有相应结论;定理的条件是充分的,但不是必要的;三个定理都是存在性定理,只肯定了有巴存在,而未指出如何确定该点。2 .学习罗必塔法则应注意问题:罗必塔法则仅仅用于-型和二型未定式;0如果limf£)不存在(不包括«),不能断言limfx)不存在,只能说 g xg x明罗必塔法则在此失效,应采用其它方法求极限;0 8, oQ_oO, 0°, 1 ;也叫未定型,必须转化为-型或二型之后, 0方可用罗必塔法则求极限;一.“ 1,、1 一思路”:0 8型转化为 8或0,_型;0g-g可通分转化为0型或一型;0000型转化为eln0
3、 =e0ln°,其中指数是0 8型;10c型转化为金产二到11,其中数是g 0 ;一型转化为elnx° =e0lnQO,其中指数是0 8型。罗必塔法则求极限与其它方法求极限在同一题中可交替使用;0 一.二一.有时要连续用几次洛必塔法则,每一次都要验证是否是?型或一型。03 .学习函数单调性应注意的问题:如果f'(x族某个区间内只有有限个点处等于零,在其它点处均为正(或负)时,则函数f(x)在该区间内仍为单调增加(或单调减少)求单调区间的步骤:先令f *)=0 ,求出驻点与不可导点,这样的点将定义域分成了几个区间;再在每个区间内验证fx )的符号,若为正,则单增,若为
4、负,则单减。4 .学习函数极值应注意的问题:函数极值是一个局部性的概念,它只与极值点邻近的所有点的函数值相 比较是大还是小,并不是说它在定义区间上是最大或最小。因此一个函 数可能存在其极大值小于极小值的情形;求函数极值的步骤:先求 f'(x)=0的解以及f'(x)不存在的点,这些点是可疑的极值点;其次,可疑极值点将 f(x)的定义域分成了几个区间,在每个区间考察f'(x)的符号;最后确定极值点;极值点与极值是两个不同的概念。5 .学习函数最值应注意的问题:极值点是函数在一点附近函数值的大小比较,是局部性质,而最大值最小值是在区间a,bl上的性质;最值在区间的端点和极值点
5、上产生。所以确定最大值最小值的步骤为:首先求出定义域;然后求出f'(x),求出可疑点;最后比较可疑点的函数值与边界处的函数值。6 .学习凹凸性应注意的问题:用一阶导数确定单调区间,用二阶导数确定凹凸区间及拐点,确定拐点 时不但需要f'(x)=0,而且还要在该点的左右变号;拐点一定是坐标形式的点(x, f (x ),拐点的表达与极值点的表达不同,拐点是曲线上的某一点。7 .学习渐近线应注意的问题:函数的图形不一定有渐近线;渐近线分为水平渐近线,垂直渐近线和斜渐近线。8 .学习泰勒展开式应注意的问题:麦克劳林展开是特殊的泰勒展式;用关于(x-x0用勺n次多项式近似表示函数f (x
6、)时,一定有一个余项,该余项即误差一定是(x x0 )n的高阶无穷小量;应该熟记一些常用的泰勒展式。9 .证明不等式的方法有:利用单调性;利用中值定理关键在于构造一个函数f(x ),这就需要分析不等式的特点。10 .求具体问题最值的步骤分析问题,明确求哪个量的最值;写出函数关系式。确定函数关系常常要用几何、物理、化学、经济学等方面的知识,函数关系式列出后,依具体情况要写出定义域;由函数式求驻点,并判断是否为极值点;根据具体问题,判别该极值点是否为最值点。一般如果函数在b,b1连续,且只求得唯一的极值点,则这个极值点就是所求的最值点。最后写出最值。四、解题格式例1函数f(x )=2x2 x-3在
7、区间.|-1 上是否满足罗尔定理的条件?如一 2满足求出定理中的解:因f(x很多项式,故f(x)满足:在.1-1,- 上连续;IL 2f 3、在-1, |内可导,且f (x)=4x-1 ;<2; f (一 1)= f i=0;<2)所以f (x春1-1,3 上满足罗尔定理条件。一 2令 fg )=0得 >1.4例2求极限雪x sin x的 店t 0型.1 -cosx 0型sin x 另型 cos解:原式 0 lim厂 0 lim = 0 lim x 0 3x x >0 6x x 0 6例3设x<0,试证ex >l+x.证法一:用中值定理设 f (t )=et
8、 1 t ,则f(t班lx,0上连续;f(t班(x,0 )内可导,且(t )=3-1则存在之三(x,0 ),使f代)="0)- f(x) 0 -x即 xe _1=ex_1_x因为 £<0,故0<e'<1又因为x<0,故x(e:-1)>0,从而ex -1 -x 0所以 ex .1 x.证法二:用函数的单调性设 f (x ) = ex -1 一 x ,则 f '(x )= ex -1因为 x<0,故 ex1<0,即 f'(x)<0从而当x<0时f(x)是单调减少的又 lim f x = lim ex -1 - x =0x0 -x0 r所以当 x<0时,有 f(x)A f(0 一)=0 即 ex -1 - x 0故 ex 1 x.2例4求函数f(x)=x3(x-5 )的单调区间和极值解:f (x )的定义域为Sf5 x 23 3x令(x)=0 ,得 x=2当x = 0时,f'(x)不存在.故定义域分为(-吗0 ), (0,2),收),列表为x(-。0,0 )0(0,2)2(2,ff *(
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