隐函数的求导公式

1、第5节：隐函数的求导公式教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。教学方法：讲授为主，互动为辅教学课时：2教学内容：一、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程f(x,y)=0(1)求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导 出隐函数的导数公式.隐函数存在定理1设函数F(x, y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(xo，y0) 0, , Fy(Xo，y0) 0,则方程F(x,

2、y)=0在点(x°, y°)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y f(x),它满足条件yof(x0),并有dyFxdxFy公式(2)就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。将方程(1)所确定的函数yf(x)代入，得恒等式F(x, f(x) 0,其左端可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍 然恒等，即得F _F dyx y dx0,由于Fy连续，且Fy(x0, y0) 0 ,所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内Fy 0,于是得7 / 7'.dyFxdX Fy如果F（x, y）的二

3、阶偏导数也都连续,我们可以把等式（2）的两端看作x的复合函数而再一次求导，即得,2d yFxFx dy；2LL-T-dx xFyyFy dxFxxFyFyzFx2FxyFyFyyFx2FxFyFxxFy22FxyFxFyF F2yy x由定理1可知，方程x2 y2数、当x=0时，y 1的隐函数f(x)。例1验证方程x2 y2 1 0在点（0,1）的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x=0时，y 1的隐函数y f（x）,并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值。解设F(x,y)x2 y2 1,则 Fx 2x, Fy2y,F(0,1) Q Fy(0,1) 2 0 .因此0在点（0,1）的某

4、邻域内能唯一确定一个单值且有连续导卜面求这函数的一阶和二阶导数dydxFxx= 一Fyydydx0；d2y dx2y xy2yy x(-) y2y2x3yd2y dx2隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程F (x,y,z)=0就有可能确定一个二元隐函数。与定理1 一样，我们同样可以由三元函数 F (x,y,z)的性质来断定由方程 F (x,y,z)=0 所确定的二元函数 z = (x, y)的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。隐函数存在定理 2设函数F (x, y,z)在点P(xo, yo, z°)的某一邻域内具

5、有连续的偏导数，且 F(xo,yo,z0) 0, Fz(xo,yo,zo) 0 ,则方程 F(x,y,z)=0 在点(x。，y。，z°)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z f(x,y),它满足条件z0 f(x0,y0),并有FxFzz Fy(4)这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.由于F (x,y, f (x,y)0,将上式两端分别对x和y求导，应用复合函数求导法则得Fx+Fzzz=0,Fy+Fz =0。xy因为Fz连续，且Fz(x。，y0,z。)0，所以存在点(x°, y0,z°)的一个邻域，在这个邻域内 FzW0

6、,于是得z Fxx Fz yFyoFz例2设x24z 0解设 F (x, y, z) =x2y2 z2 4z则Fx=2x, Fz=2z 4.应用公式(4),得再一次x对求偏导数，得2z2x(2 z)(2 z)z x一 x 2(2(2 z)2(2 z)2 x2(2 z)3二、方程组的情形卜面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且 增加方程的个数，例如，考虑方程组F(x,y,u,v) 0,(5)G(x,y,u,z) 0.这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。在这种情形下，我们可以由函数F、G的性质来断定由方程组(

7、5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。隐函数存在定理3设函数F(x, y,u,v)、G(x, y,u,v)在点P0 (x0, y0, u0 ,v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F(x0, y0,u0,v0) 0, G(x0,y0,u0,v0) 0,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):F F .(F,G)_ . T J (u,v) =£ Gu v在点 P0(x0, y0,u0,V0)不等于零，则方程组 F (x, y,u, v) 0 , G(x,y,u,v) 0 在点(x0,y0,u0,vO)的某一邻域内恒能唯一确 定一

8、组单值连续且具有 连续偏导数的函数u u(x, y),v v(x, y),它满足条件u0u(x0, y°), v°v(X0,u0),并有1 (F,G)J (x,v)FuGuFv GvFvGv1 (F,G)J (u,x)F,GFuFvGuGv(6)u1 (F,G)y J (y, v)FyFvGy GvFuFvGvGvv1 (F,G)yJ (u, y)FuFuyGuGyFuFvGuGv这个定理我们不证.与前两个定理类似，下面仅就公式（6）作如下推导。由于F x,y,u (x, y),v (x, y)三0,G x,y,u (x, y),v (x, y)三0,将恒等式两边分别对 x

9、求导，应用复合函数求导法则得u v c FxFuFv0,xxGxGu Gv -0.xx这是关于 ,-v的线性方程组，由假设可知在点P0（x0, y0,u0,v0）的一个邻域内，系数行 x x列式FuGuFvGv0,从而可解出,-v ,得 x xu1(F,G)v1(F,G),xJ(x,v)xJ(u, x)同理，可得1 (F,G)_v1 (F,G),J (y,v)yJ(u,y)例3 设xuuuvvyv 0, yu xv 1 ,求,和一.xyxy解此题可直接利用公式（6）,但也可依照推导公式（6）的方法来求解。下面我们利用后 一种方法来做。将所给方程的两边对x求导并移项，得u xxuy 一 xvy一

10、 xv xxu,v.0的条件下,xu yv 2 2 , x yyu xv将所给方程的两边对y求导，用同样方法在22x y 0的条件下可得例4 设函数xv yu vxuyvx(u, v), yy(u,v)在点(u,v)的某一邻域内连续且具有连续偏导数,0.(1)证明方程组x x(u,v),y (u,v)在点(x,y,u,v)的某一邻域内唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的反函数u u(x, y),v v(x, y)。(2)求反函数u u(x, y),v v(x, y)对x,y的偏导数。解(1)将方程组(7)改写成下面的形式F(x,y,u,x) x x(u,v) 0,G(x,y,u,v) y y(u, v) 0.则按假设J (F,G) x以 0.(u,v)(u,v)由隐函数存在定理 3,即得所要证的结论。(2)将方程组(7)所确定的反函数u u(x, y),v v(x, y)代入(7),即得x xu(x,y),v(x, y), y yu(x,y),v(x,y).将上述恒等式两边分别对 x求偏导数，得1 _x?_u _x_v u xv x0 B?二上 u xv x由于J W0,故可解得u