(完整)同济大学高数上册知识点,推荐文档

1、高等数学(上)知识点第1页共12页高等数学上册知识点、函数与极限(一)函数1 1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)；2 2、反函数、复合函数、函数的运算；3 3、 初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函 数、反双曲函数；4 4、函数的连续性与间断点；函数f(x)在Xo连续二-:二lim f(x) f(x)X xo第一类：左右极限均存在. .间断点可去间断点、跳跃间断点.第二类：左右极限、至少有一个不存在. .无穷间断点、振荡间断点5 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. .(二)极限1 1、定义1)1

2、)数列极限lim x a0, N , n N, xnan2)2)函数极限lim f (x) A0,0, x,当 0 x x0时，f (x) Ax X。高等数学(上)知识点第2页共12页左极限：f(x) lim f(x)x Xo右极限：f(Xo) lim f(x)X Xolim f (x) A 存在f (x0) f (x0)x Xo2 2、 极限存在准则1)1)夹逼准则：1)ynXnZn( n n )=2)lim ynlim zna7nnlim xnan2)2)单调有界准则：单调有界数列必有极限. .3 3、无穷小(大)量1)1)定义：若lim0则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量2)2)无穷

3、小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th1Th10(); ;Th2Th2,lim一存在，则 lim lim一(无穷小代换)4 4、求极限的方法1)1)单调有界准则；2)2)夹逼准则；3)3)极限运算准则及函数连续性；4)4)两个重要极限：sin x彳a)a)Xim。丁1b)b)5)5)无穷小代换：(x x 0 0)a)a)x sin x tan xarcsinxarctanx1lim (1 x)Xx 0lim (1 -)xex高等数学（上）知识点第3页共12页高等数学(上)知识点第4页共12页12b)b)1 cosx-X2c)c)ex1x（ax1xlna)d)d)ln(1x)

4、Xx(lOga(1X)In ae)e)(1X)X导数与微分（一）导数函数f （x）在Xo点可导f （Xo） f （Xo）2 2、几何意义：f（xo）为曲线y f （x）在点xo,f（xo）处的切线的斜率. .3 3、可导与连续的关系：4 4、求导的方法1 1） 导数定义；2 2） 基本公式；3 3） 四则运算；4 4） 复合函数求导（链式法则）；5 5） 隐函数求导数；6 6） 参数方程求导；1 1、定义：f（xo）limXf(x) f(X。)左导数:f (Xo)XoXXolimf(X) f(xo)X Xo右导数:f (Xo)X Xolimf(X) f(Xo)X XoxXo高等数学（上）知识点

5、第5页共12页7 7)对数求导法. .5 5、高阶导数d2yddy1 1)定义：dx2dx dx2 2)LeibLeib nizniz 公式:uvn(n)C；u(k)v(n k)k 0(二)微分1)1)定义：y f(XoX)f(x。)A x o( x)，其中A与x无关. .2)2)可微与可导的关系：可微可导，且dy f(X。)x f(x)dx三、微分中值定理与导数的应用(一)中值定理1 1、 RolleRolle 罗尔定理：若函数f (x)满足：1 1)f(x) Ca,b； 2 2 )f(x) D(a,b)； 3 3 )f(a) f(b)；贝 S (a,b),使 f() 0. .2 2、 La

6、grangeLagrange 拉格朗日中值定理：若函数f (x)满足：1 1)f(x) Ca,b； 2 2 )f(x) D(a,b)；则(a,b),使f(b) f(a) f ( )(b a). .3 3、 CauchyCauchy 柯西中值定理：若函数f (x), F (x)满足：1 1)f(x),F(x) Ca,b； 2 2)f(x),F(x) D(a,b)；3 3)F(x) 0,x(a,b)(a使 g 冷高等数学(上)知识点第6页共12页(二)洛必达法则(三)TaylorTaylor 公式(四)单调性及极值1 1、 单调性判别法：f(x) Ca,b，f(x) D(a,b)，则若f (x)

7、0，则f(x)单调增加；则若f (x)0,则f (x)单调减少. .2 2、极值及其判定定理：a)a)必要条件：f (x)在X。可导，若X。为f (x)的极值点，贝 q q f f (x(xo) ) 0.0.b)b) 第一充分条件：f (x)在xo的邻域内可导，且f(X(X。) )0,则若当x xo时，f f(X)0(X)0，当x X。时，f(X)0，则X。为极大值点；若当x X。时，f(X)(X)0，当x X。时，f(X)0，则X。为极小值点；若在x0的 两侧f(X)不变号，则X。不是极值点. .c)c)第二充分条件：f (X)在X。处二阶可导，且 f f(X(X。)0)0 ,f (x) 0

8、，则若f(X。)0，则X。为极大值点；若f(X。)0，则X。为极小值点. .3 3、凹凸性及其判断，拐点1)1)f(x)f(x)在区间I上连续，若 X Xi,x,x2I,I, f(*2f(*2 翌)f(Xl)2f(X2)，则称 f(x)f(x)在 区间I上的图形是凹的；若 X X1,X,X2l,f(0l,f(0产)f(X1)2f(X2)，则称 f(x)f(x)在 区间I上的图形是凸的. .2)2)判定定理：f(x)f(x)在a,ba,b上连续，在(a,b)(a,b)上有一阶、二阶导数，则a)a)若x (a,b), f (x) 0, ,则 f(x)f(x)在a,ba,b上的图形是凹的；b)b)若

9、x (a,b), f (x) 0, ,则 f(x)f(x)在a,ba,b上的图形是凸的. .3)3)拐点：设 y y f(x)f(x)在区间I上连续，X。是 f f (x)(x)的内点，如果曲线 y y f(x)f(x)经过点（X,f（X。）时，曲线的凹凸性改变了，则称点（X,f（X。）为曲线的拐点. .（五）不等式证明1 1、利用微分中值定理；高等数学（上）知识点第7页共12页2 2、利用函数单调性；3 3、利用极值（最值）. .（六）方程根的讨论1 1、连续函数的介值定理；2 2、RolleRolle 定理；3 3、函数的单调性；4 4、极值、最值；5 5、凹凸性. .（七）渐近线1 1、

10、铅直渐近线:lim f (x)x a，则xa为一条铅直渐近线；2 2、 水平渐近线:lim f(x)xb，则 y yb b 为一条水平渐近线；3 3、 斜渐近线：lim他xxk limf (x)xkx b存在，则 y y kxkx b b 为一条斜渐近线（八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质1 1、原函数：在区间I上，若函数F（x）可导，且F （x） f （x），则F（x）称为f （x）的一个原函数. .高等数学（上）知识点第8页共12页2 2、 不定积分：在区间I上，函数f（x）的带有任意常数的原函数称为f（x）在 区间I上的不定积分. .3 3、 基本积分表（P188,P188, 13

11、13 个公式）；4 4、性质（线性性）. .（二）换元积分法1 1、第一类换元法（凑微分）：f （x） （x）dx f （u）duu （x）2 2、第二类换元法（变量代换）：f（x）dxf （t） （t）dtti（x）（三） 分部积分法：udv uv vdu（四）有理函数积分1 1、“拆”；2 2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）概念与性质:nli叫f(i) xi0i 12 2、性质：（7 7 条）性质 7 7 （积分中值定理）函数f （x）在区间a,ba,b上连续，则a,ba,b，使五、定积分1 1、b定义：af (x)dx高等数学（上）知识点第9页共12页bf (x)dx f (

12、)(b a)a（平均值：bf(x)dxa_b a)高等数学（上）知识点第10页共12页微积分基本公式（N N L L 公式）1 1、 变上限积分：设（x）af (t)dt，则(x)f(x)d推广：，dx(x)(x)f (t)dtf (x) (x) f(x)(x)2 2、N N L L 公式：若F（x）为f（x）的一个原函数，则bf(x)dxa(三)换元法和分部积分1 1、b换元法：af (x)dxf (t) (t)dt2 2、分部积分法:budvabbuvavdua(四) 反常积分1 1、无穷积分：xtF(b)F(a)f(x)dxlimtf(x)dx2 2、f(x)dxf(x)dx瑕积分:f(

13、x)dxf(x)dxlimtlimt alimt bf(x)dxf(x)dxobtf(x)dxf (x)dx（a a 为瑕点）taf(x)dx(b b 为瑕点)a两个重要的反常积分:高等数学（上）知识点第11页共12页, p 1 dx1p1)1)axpa1X, p 1p 1bdxbdx2)2)a(x a)qa(b x)q六、定积分的应用（一）平面图形的面积1 1、直角坐标：Af2(x)f,x)dx12 22 2、极坐标：A2( )1( )d(b a)1q1 qba高等数学（上）知识点第12页共12页（二）体积1 1、旋转体体积:a a）曲边梯形yf (x), xa, xb, x轴，绕x轴旋转而

14、成的旋转体的体积:b2Vf2xa(x)dxb b）曲边梯形yf (x), xa, xb, x轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积:bVy2axf (x)dx（柱壳法）2 2、平行截面面积已知的立体:VbA(x)dxa（三）弧长1 1、直角坐标：s b 1 f （x）2dx/ 222 2、参数方程：s、(t)(t) dt2 23 3、极坐标：sv( )( ) d七、微分方程（一）概念1 1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数2 2、 解：使微分方程成为恒等式的函数. .通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的

15、阶数相同特解：确定了通解中的任意常数后得到的解. .高等数学（上）知识点第13页共12页（二）变量可分离的方程g(y)dy f(x)dx，两边积分g(y)dy f(x)dxdxP(x)y Q(x)（五）可降阶的高阶微分方程1 1、(n)y()f(x)， 两边积分n次；2 2、yf(x,y)（不显含有y），令yp，则yp；3 3、yf(y,y)（不显含有x），令yp，则ydp p -dy（六）线性微分方程解的结构1 1、yi, y2是齐次线性方程的解，则Ciyi也是;2 2、yi,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则G% 2是方程的通解；3 3、y c$iS2 y*为非齐次方程的通解，其中,丫2为对应齐次方程的 线性无关的解，y*非齐次方程的特解. .（七）常系数齐次线性微分方程dy(-)，设uydy则duu x；dxxx，dxdx dx（x），设Vxdxdvd?则Tv yy，设y， 则dydy或(三)齐次型方程(四)一阶线性微分方程P(x)dx用常数变易法或用公式:P(x)dxQ(x)e dx C高等数学（上）知识点第14页共12页二阶常系数齐次线性方程：y py qy 0高等数学（上）知识点第15页共12页2特征方程：r pr