线性代数课件-n维线性空间中的V中线性变换的矩阵

1、第二节第二节 n维线性空间维线性空间v中线性变换的矩阵中线性变换的矩阵一、线性变换的矩阵表示式阶矩阵阶矩阵设设n),(21212222111211 nnnnnnnaaaaaaaaaa .,taatvn个线性变换个线性变换也可唯一地确定一也可唯一地确定一由一个矩阵由一个矩阵确定一个矩阵确定一个矩阵可唯一地可唯一地由线性变换由线性变换中取定一个基后中取定一个基后在在.,一对应的一对应的线性变换与矩阵是一线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下在给定一个基的条件下结论结论., 1, , 4322313的矩阵的矩阵求微分运算求微分运算取基取基中中在在dpxpxpxpxp 例1例1解解 ,00000,10

2、001,02002,00303432144321343212432121pppppdpppppdppppxpdppppxpd在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为所以所以d.0100002000030000 a.,)(, 上的一个线性空间上的一个线性空间构成构成数与多项式的乘法数与多项式的乘法它对于多项式的加法和它对于多项式的加法和组成的集合记作组成的集合记作式式包括零多项包括零多项的所有一元多项式的所有一元多项式中次数小于中次数小于记作记作合合上所有一元多项式的集上所有一元多项式的集实数域实数域rxrnxrxrrn例2例2.,:)(),()( , 微分变换微分变换这个变换也称为这个变换也称为变

3、换变换上的一个线性上的一个线性是是则由导数性质可以证明则由导数性质可以证明定义变换定义变换中中在线性空间在线性空间xrxrxfxfdxdxfxrnnn 则有则有的基为的基为现取现取, 112xxxxrnn , 0)1( , 1)( x ,2)(2xx ,下的矩阵为下的矩阵为在基在基因此因此xxxn 12, 1, 0000100002000010naxnxnn21)1()( 即即变换变换平面的线性平面的线性表示将向量投影到表示将向量投影到中中在在, 3xoytr例3例3,)(j yi xkzj yi xt .,)2(;,) 1 (的矩阵求取基为的矩阵求取基为tkjijitkji解解 , 0, )

4、1(ktjjtiit.000010001),(),( kjikjit即即 , , , )2( jitjtit.000110101),(),( t即即此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵有不同的矩阵同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？那么这些矩阵之间有什么关系呢？三、线性变换在不同基下的矩阵上面的例子表明上面的例子表明,;,2121nn 定理定理设线性空间设线性空间 中取定两个基中取定两个基nv由基由基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 ， 中的线性变换中的线性变换

5、在这两个基下的矩阵依次为在这两个基下的矩阵依次为 和和 ，那末，那末 n ,21n ,21nv.1appb ptab于是于是 nntb ,2121 ,21ptn ptn ,21 证明证明 pnn ,2121 ,2121atnn btnn ,2121 apn ,21 appn121, 因为因为 线性无关，线性无关，n, 21所以所以.appb1 证毕证毕.定理表明：定理表明： 与与 相似，且两个基之间的过渡相似，且两个基之间的过渡矩阵矩阵 就是相似变换矩阵就是相似变换矩阵bap例例., , 1222211211212下的矩阵下的矩阵在基在基求求下的矩阵为下的矩阵为在基在基中的线性变换中的线性变换

6、设设 taaaaatv ,0110),(),(2112 解解,0110 p即即,0110 1 p求得求得下的矩阵为下的矩阵为在基在基于是于是),(12 t 0110011022211211aaaab.11122122 aaaa 011012112221aaaa).(,artta的秩就是的秩就是则则的矩阵的矩阵是是若若.,rnstrtt 的维数为的维数为的核的核则则的秩为的秩为若若.,)( 的秩的秩性变换性变换称为线称为线的维数的维数的象空间的象空间线性变换线性变换定义2定义2tvttn.,987654321 ,3 132321下的矩阵下的矩阵在基在基求求下的矩阵为下的矩阵为在基在基的线性变换的线性变换维线性空间维线性空间已知已知 av例5例5解解由条件知由条件知 987654321),(),(321321 321332123211963)(852)(74 )( 即即下的矩阵为下的矩阵为在基在基因此因此 132, 74)(396)(285)( 132113231322从而有从而有.174396285 b给定了线性空间给定了线性空间 的一组基以后，的一组基以后， 中的线中的线性变换与性变换与 中的矩阵形成一一对应因此，在中的矩阵形成一一