高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质

1、线面垂直知识点1.直线和平面垂直定义.如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直2.线面垂直判定定理和性质定理.判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行3.三垂线定理和它的逆定理.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直

2、，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.题型示例【例 1】如图所示，已知点 S 是平面 ABC 外一点，ABC=90°，SA平面 ABC，点 A 在直线 SB 和 SC 上的射影分别为点 E、F，求证：EFSC.【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设EFSC 成立，结合 AFSC 可推证 SC平面 AEF，这样SCAE，结合 AESB，可推证 AE平面 SBC，因此证明

3、AE平面 SBC 是解决本题的关键环节.由题设 SA平面 ABC，ABC=90°，可以推证 BCAE，结合 AESB 完成 AE平面 SBC 的证明.【规范解答】例 1 题图【解后归纳】题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.a【例 2】已知：MN=AB,PQM 于 Q，PON 于 O，ORM 于 R，求证：QRAB.【解前点津】 由求证想判定，

4、欲证线线垂直，方法有（1） b,ac Þ bc;(2)a,b Ì  Þ ab;(3)三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.

5、【例 3】已知如图(1)所示，矩形纸片 AAA1A1,B、C、B1、C1 分别为 AA,A1A的三等分点，将矩形纸片沿 BB1,CC1 折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线 AB1BC1，求证:A1CAB1.例 3 题图解(1)【解前点津】题设主要条件是 AB 1BC ，而结论是 AB 1A 1C ，题设，题断有对答性，可在ABB 1A 1 上作文章，只要取 A 1B 1

6、 中点 D 1，就把异面直线 AB 1 与 BC 1 垂直关系转换到 ABB 1A 1 同一平面内 AB 1 与 BD 1 垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断 AB 1 与 A 1C 垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取 AB 中点 D 即可，只要证得 A 1D 

7、垂直于 AB 1，事实上 DBD 1A 1，为平行四边形，解题路子清楚了.【解后归纳】证线线垂直主要途径是：（1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化.利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务.证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.【例 4】空间三条线段 AB ,BC ,CD ,AB BC ,BC CD ,已

8、知 AB =3,BC =4,CD =6,则 AD 的取值范围是.【解前点津】如图，在直角梯形 ABCD 1 中,CD 1=6,AD 1 的长是 AD 的最小值,其中 AH CD 1,AH =BC =4,HD 1=3,AD =5;在直角AHD2 中,CD 2=6,AD 2 是 AD 的最大值为2   

9、 AHHD22     (6 3)2  4 2   97例 4 题图  a / b   ü【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论.对应训练分阶提升一、基础夯实1.设 M 表示平面，a、b 表示直线，给出下列四个命题：a  M 

10、;üa  M üa / M üý Þ b  Mý Þ a / bý Þ bMý Þ bM.a  M þb  M þa  b þa  b þ其中正确的命

11、题是()A.B.C.D.2.下列命题中正确的是()A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点.现在沿 DE、DF 及 EF 把ADE、CDF 和BEF 折起，使 A、B、C

12、 三点重合，重合后的点记为 P.那么，在四面体 PDEF 中，必有()第 3 题图A.DP平面 PEFB.DM平面 PEFC.PM平面 DEFD.PF平面 DEF4.设 a、b 是异面直线，下列命题正确的是()A.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a、b 都相交B.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a、b 都垂直C.过&#

13、160;a 一定可以作一个平面与 b 垂直D.过 a 一定可以作一个平面与 b 平行5.如果直线 l,m 与平面,满足:l=,l,m Ì 和 m,那么必有()A.且 lmB.且 mC.m且 lmD.且6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若 BC=1,AC=2,PC=1，则 P 到 AB的距离为()A.1   &

14、#160; B.2     C.  2  5其中真命题的序号是   (   )3 5D.557.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面的一条斜线 l 有且仅有一个平面与垂直；异面直线 a、b 不垂直，那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.38.d 是异面直线 a、b&#

15、160;的公垂线，平面、满足 a，b，则下面正确的结论是()A.与必相交且交线 md 或 m 与 d 重合B.与必相交且交线 md 但 m 与 d 不重合C.与必相交且交线 m 与 d 一定不平行D.与不一定相交9.设 l、m 为直线，为平面，且 l，给出下列命题 若 m，则 ml；若 ml，则 m；若 m，则 ml；若

16、0;ml，则 m，A.B.C.D.10.已知直线 l平面，直线 m 平面，给出下列四个命题：若，则 lm；若，则 lm；若 lm，则；若 lm，则.其中正确的命题是()A.与B.与C.与D.与二、思维激活11.如图所示，ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面的同侧，它们在内的射影分别为 A，B，C，如果BC是正三角形，且 AA3cm，BB5cm，CC4cm，则BC的面积是.第 11 题图第 13 题图第 12

17、60;题图12.如图所示,在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件时,有 A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如图所示，在三棱锥 VABC 中，当三条侧棱 VA、VB、VC 之间满足条件时，有VCAB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如图所示,三棱锥 V-ABC 中,AH侧面 VBC,且 H 是VBC 的垂心，BE 是 VC&#

18、160;边上的高.(1)求证:VCAB;(2)若二面角 EABC 的大小为 30°,求 VC 与平面 ABC所成角的大小.第 14 题图15.如图所示，PA矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点.(1)求证：MN平面 PAD.(2)求证：MNCD.(3)若PDA45°，求证：MN平面 PCD.第 15 题图16.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 A

19、BCD 是平行四边形，BAD60°，AB4，AD2，侧棱 PB 15 ，PD 3 .(1)求证：BD平面 PAD.(2)若 PD 与底面 ABCD 成 60°的角，试求二面角 PBCA 的大小.第 16 题图17.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACB=90°,BAC=30°,BC=1，AA1= 6 ，M 是 CC1 的

20、中点，求证：AB1A1M18.如图所示，正方体 ABCDABCD的棱长为 a，M 是 AD 的中点，N 是 BD上一点，且 DNNB12，MC 与 BD 交于 P.(1)求证：NP平面 ABCD.(2)求平面 PNC 与平面 CCDD 所成的角.(3)求点 C 到平面 DMB 的距离.6.D  过 P 作 PDAB 于 

21、;D，连 CD，则 CDAB，AB=AC 2 + BC 2  =   5 ， CD =  AC × BCPD=   PC 2 + CD 2  =   1 +  4第 18 题图第 4 课线面垂直习题解答.1.A两平行中有

22、一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行2.C由线面垂直的性质定理可知.3.A折后 DPPE,DPPF，PEPF.4.D过 a 上任一点作直线 bb,则 a，b确定的平面与直线 b 平行.5.A依题意,m且 m Ì ,则必有,又因为 l=则有 l Ì ,而 m则 lm,故选 A.2=AB53 5=.557.D由定理及性质知三个命题均正确.8.A显然与不平行.9.D垂直于同

23、一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直10.B，l，lm，11.32cm2设正三角 ABC的边长为 a.AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4，又 AC2+BC2=AB2，a2=2× a 2 =S BC=3 34       2cm212.在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中当底面四边形 ABCD 满足条件 ACBD(或任何能推导出这个条件

24、的其它条件，例如 ABCD 是正方形，菱形等)时,有 A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).则有 ENCDABAM，EN  1点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VCVA，VCAB.由 VCVA，VCAB 知 VC平面 VAB.14.(1)证明:H 为VBC 的垂心,VCBE,又 AH平面 VBC,BE 为斜线 A

25、B 在平面 VBC 上的射影,ABVC.(2)解:由(1)知 VCAB,VCBE,VC平面 ABE,在平面 ABE 上,作 EDAB,又 ABVC,AB面 DEC.ABCD,EDC 为二面角 EABC 的平面角，EDC=30°,AB平面 VCD,VC 在底面 ABC 上的射影为 CD.VCD 为 VC 与底面 ABC 所成角,又 VCAB,VCBE

26、,VC面 ABE,VCDE,CED=90°,故ECD=60°,VC 与面 ABC 所成角为 60°.15.证明：(1)如图所示，取 PD 的中点 E，连结 AE，EN，1CDABAM，故 AMNE 为平行四边形.22MNAE.AE 平面 PAD，MN 平面 PAD，MN平面 PAD.(2)PA平面 ABCD，PAAB.又 ADAB，AB平面 PAD.ABAE，即 AB

27、MN.又 CDAB，MNCD.(3)PA平面 ABCD，PAAD.又PDA45°，E 为 PD 的中点.AEPD，即 MNPD.又 MNCD，MN平面 PCD.16.如图(1)证：由已知 AB4，AD，BAD60°，第 15 题图解故 BD2AD2+AB2-2AD·ABcos60°4+16-2×2×4×1212.又 AB2AD2+BD2，ABD 是直角三角形，ADB90°，即&

28、#160;ADBD在PDB 中，PD 3 ，PB 15 ，BD 12 ，PB2PD2+BD2，故得 PDBD.又 PDADD，第 16 题图解BD平面 PAD.(2)由 BD平面 PAD，BD 平面 ABCD.平面 PAD平面 ABCD.作 PEAD 于 E，又 PE 平面 PAD，PE平面 ABCD，PDE 是 PD 

29、;与底面 ABCD 所成的角.PDE60°，PEPDsin60° 3 ´作 EFBC 于 F，连 PF，则 PFBF，PFE 是二面角 PBCA 的平面角.又 EFBD 12 ，在 PEF 中，33  3=  .2   2=   2   =tanPFEPE         3EF  2 3  4.故二面角 PBCA 的大小为 arctan34.17.连结 AC1，   ACMC1=36= 2 =CC1 .C A1 12RtACC1MC1A1，AC1C=MA1C1，A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90°.A1MAC1,又 A