2012年北京市高考数学试卷(理科)

1、第1页（共 22页）2012 年北京市高考数学试卷(理科 )一、选择题共 8 小题.每小题分。共40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项。1已知集合320 ,130axxbxxxrr,则 b=（）a., 1 .21,3c.2,33d 3,2.设不等式组0202xy，表示的平面区域为 ,在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于的概率是（)4b22c 6.443设,a br “0a” 是“ 复数 abi 是纯虚数 的（）a.充分而不必要条件b必要而不充分条件c.充分必要条件 .既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（)a.b.c d5如图，,90acb

2、cdab于点,以 bd 为直径的圆与 bc交于点则 ( ）第2页（共 22页）a. ce cbad db ce cbad abc.2ad abcdd.2ce ebcd6.从 0,2中选一个数字 .从、 、中选两个数字，组成无重复数字的三位数其中奇数的个数为（） .c.7某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 ( )a286 5b306 5?5612 5.6012 5.某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高 ,则的值为（）abc二.填空题共小题每小题分 .共分.9.直线21xtyt（为参数）与曲线3cos3sinxy(为参数）的交点个数为第3页（共

3、 22页）1已知na是等差数列 ,为其前项和若1231,2asa ,则=.11在abc中,若12,7,cos4abcb,则=1在直角坐标系xoy中直线过抛物线24yx的焦点 .且与该抛物线相交于、两点.其中点在轴上方若直线的倾斜角为60则oaf 的面积为1己知正方形abcd的边长为 ,点是 ab边上的动点则 de cb 的值为1.已知23 , ( )22xfxm xmxmg x,若同时满足条件 :,( )0 xf xr或( )0g x；, 4 ,( ) ( )0 xf x g x.则的取值范围是 .三、解答题公 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.已知函数sinc

4、ossin2( )sinxxxf xx。（）求 fx 的定义域及最小正周期 ;（）求 fx 的单调递增区间 .16.如图,在 rt abc 中，90c,3,6bcac，,d e 分别是,ac ab 上的点 ,且de,2bc de,将ade沿de折起到1a de的位置 ,使1a ccd，如图 .（1)求证：1ac平面 bcde ;(2)若是1a d的中点，求 cm 与平面1a be所成角的大小；(3）线段 bc上是否存在点，使平面1a dp与平面1a be垂直?说明理由 .第4页（共 22页）1.近年来 ,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了

5、相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况 ,先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾 ,数据统计如下 (单位:吨)；“ 厨余垃圾 ” 箱“ 可回收物 ” 箱“ 其他垃圾 箱厨余垃圾400100100可回收物3020其他垃圾0(1）试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2）试估计生活垃圾投放错误的概率;(3）假设厨余垃圾在 “ 厨余垃圾 箱、 “ 可回收物 箱、 “ 其他垃圾 箱的投放量分别为, ,a b c,其中0,600aabc.当数据, ,a b c的方差最大时，写出, ,a b c 的值（结论不要求证明） ,并求此时的值(求：2222121nsxxxxxxn，其中为数据12,nx

6、xx的平均数）18.已知函数23( )10 ,f xaxag xxbx. （1）若曲线 yfx 与曲线 yg x 在它们的交点1,c 处具有公共切线 ,求 , a b的值；(2)当24ab时,求函数 fxg x 的单调区间 ,并求其在区间, 1 上的最大第5页（共 22页）值. 19已知曲线22: 528cm xmymr(1)若曲线是焦点在轴点上的椭圆,求的取值范围 ;（2)设4m，曲线与轴的交点为,a b(点位于点的上方 ),直线4ykx与曲线交于不同的两点,m n ,直线1y与直线 bm 交于点求证 :,a g n 三点共线0.设 a 是由 mn 个实数组成的 m 行 n 列的数表 ,满足

7、：每个数的绝对值不大于 1,且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合.对于 a（m,n）,记i(a)为 a 的第行各数之和（ m)，（a）为 a 的第 j 列各数之和 (1 n） ;记 k(a) 为| r1(） ,r2(a） , ， rm(a） ， | c1（a） ， c(a)，, c(a）中的最小值 .(1)如表 a,求 k(a)的值;110.0。1.31（2)设数表 as（2,3)形如1b求 k(a)的最大值；（3)给定正整数 t,对于所有的 as（2， +1)，求 (a)的最大值 .2012 年北京市高考数学试卷(理科 )参考答案与试题解析一、选择题共8 小题每小题 5

8、 分.共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项。第6页（共 22页）(2012?北京)已知集合a= rx+2,b= r(x+1）(x3）0 ，则 ab=（）a.(,1）b(,）c,3?.(3，+）【分析】 求出集合，然后直接求解ab【解答】 解:因为 x| ( )（x)0=x| x3，又集合 a=xr| x+20 | x ,所以 ab=xx xx3 = ,故选:d （02?北京）设不等式组,表示的平面区域为d,在区域 d 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2 的概率是 ()a?.cd.【分析】 本题属于几何概型，利用 “ 测度求概率，本例的测度即为区域的面积，故只

9、要求出题中两个区域:由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2 的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可.【解答】 解：其构成的区域如图所示的边长为2 的正方形 ,面积为1,满足到原点的距离大于2 所表示的平面区域是以原点为圆心,以 2 为半径的圆外部，面积为=4 ，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2 的概率 =故选： d.第7页（共 22页） （212?北京）设， br“a= ” 是“ 复数 bi 是纯虚数 的（)a充分而不必要条件 ?b.必要而不充分条件c充分必要条件 ?d.既不充分也不必要条件【分析】 利用前后两者的因果关系 ,即可判断充要条件 .【解答】 解：因为 a，

10、. “a=” 时“ 复数 a+b不一定是纯虚数 ”.“ 复数 +bi 是纯虚数 ” 则“a=0”一定成立所以 a,b “ =o ” 是“ 复数 ai 是纯虚数 ” 的必要而不充分条件故选 b.4(01?北京）执行如图所示的程序框图,输出的 s值为( )a?bc 8?d16【分析】 列出循环过程中 s与 k的数值 ,不满足判断框的条件即可结束循环.第8页（共 22页）【解答】 解:第 1 次判断后 =1, ,第次判断后 =2， 2,第 3 次判断后 =8， 3,第 4 次判断后 3,不满足判断框的条件 ,结束循环，输出结果：故选 c.5(012?北京)如图， c=90 ,cd b于点 d，以 b

11、d为直径的圆与 bc交于点 e则（).e?cb= d?d?b.ce?cb= d?ab ?ad?ab cd2?d.c ?eb cd2【分析】连接 d,以 bd为直径的圆与 bc交于点 e,dbe ，由acb= 0 ，cdab 于点， acd cbd, 由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出ce? b ?.【解答】 解:连接 de,以 bd为直径的圆与 bc交于点 e,dbe ，acb=90 ，cab于点 d，acd cbd ，cd2a?bd.cd2=?c,c ?cb= ?b，故选 .第9页（共 22页）6 （20?北京）从、 2 中选一个数字 .从 1、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位

12、数其中奇数的个数为（)2b.18 c.1 6【分析】 分类讨论 :从 0、2 中选一个数字 ,则只能排在十位 ;从、中选一个数字 2,则 2 排在十位或百位，由此可得结论.【解答】 解:从 0、2 中选一个数字 0，则只能排在十位，从1、3、5 中选两个数字排在个位与百位，共有=6种;从 0、2 中选一个数字 ,则排在十位，从 1、3、5 中选两个数字排在个位与百位，共有6 种;2 排在百位 ,从 1、 5 中选两个数字排在个位与十位，共有6 种；故共有 3种故选 b.(21?北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 ( )a.28+6 b.0+?c.5 +12?d0+2【分析】通过

13、三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可 .【解答】 解:三视图复原的几何体是底面为直角边长为和的三角形，第10页（共 22页）一个侧面垂直底面的等腰三角形,高为 4,底边长为 5,如图,所以 s底=10,后，s右1,s左=6几何体的表面积为 :底+s后+s右s左=0+6故选:b.8 (212?北京)某棵果树前 n 年的总产量n与 n 之间的关系如图所示 .从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高 ,则 m 的值为（)a.5?b.c9 d1【分析】由已知中图象表示某棵果树前n 年的总产量 s与之间的关系， 可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率,结合图象

14、可得答案【解答】 解:若果树前 n 年的总产量 s与 n 在图中对应 p（s,n）点则前年的年平均产量即为直线op的斜率由图易得当 n=9 时，直线 o的斜率最大第11页（共 22页）即前年的年平均产量最高，故选 c二。填空题共小题 .每小题 5 分.共 30 分.9.（201?北京)直线（t 为参数 )与曲线（为参数）的交点个数为 2【分析】将参数方程化为普通方程， 利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论 .【解答】 解:直线(t 为参数）化为普通方程为x+y1=曲线（为参数）化为普通方程为+y2=9圆心（ ,0）到直线 +y=0 的距离为 d=直线与圆有两个交点故答案为 :210.(

15、201?北京)已知 an是等差数列 ,sn为其前项和 若,s2=a3，则=1【分析】 由an是等差数列 ,a= ，s2=a，知=,解得 d=,由此能求出 a2【解答】 解： a是等差数列， a1=，s2a，=，解得 d=,2=1故答案为： 1第12页（共 22页）1.（201?北京)在abc中,若 a=，b+c=7，cosb ,则 b=4.【 分 析 】 根 据 2,b+c=7,cosb= , 利 用 余 弦 定 理 可 得,即可求得 b 的值.【解答】 解：由题意， a=2,b+c=7,cosb ，b=故答案为 :12 （0?北京）在直角坐标系 oy中.直线过抛物线 y2=4x的焦点 f.且

16、与该抛物线相交于 a、b两点.其中点 a 在 x 轴上方若直线 l 的倾斜角为 60 .则oaf的面积为 .【分析】 确定直线 l 的方程 ,代入抛物线方程 ,确定 a 的坐标 ,从而可求 a的面积【解答】 解：抛物线 y2=4x 的焦点的坐标为 (1,0)直线 l 过 f, 倾斜角为 60直线 l 的方程为 :，即代入抛物线方程 ,化简可得=2，或 y=在轴上方 af的面积为=故答案为：3 （01?北京)己知正方形 ac 的边长为 1，点 e是b 边上的动点则的值为 .【分析】 直接利用向量转化，求出数量积即可.【解答】 解:因为=.第13页（共 22页）故答案为： 114 （202?北京)

17、已知 f(x）=m（ 2m）(x+） ,g(x)2x2，若同时满足条件:? r,f（） 0 或 g(） ;? x（， 4)，(x)（x)0则 m 的取值范围是(4，2）【分析】 由于 g()=2时，x， 根据题意有 f （x） m(x2m)(x+m+3）在 x时成立，根据二次函数的性质可求由于 x（ ,4） ，f(x）（)0,而 g()=x20 在（ ,4）时成立 ,结合二次函数的性质可求【解答】 解:对于 g(x）=,当 x1 时,g()0,又 ? r，f（x）0 或()0(）=(x2m)（x+m+)0 在 x1 时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下,且二次函数与轴交点都在 （1,）的

18、左面则40 即成立的范围为 4m0又 (， 4)，f(x)（x）0此时 g（） =2在 (， 4）有成立的可能，则只要4 比 x1,x2中的较小的根大即可 ,（i)当 m4,不成立，(ii）当 40，+bc=00.当数据 ,b，c 的方差 s最大时，写出a,的值 (结论不要求证明 ),并求此时2的值.(求：s2=+ +,其中为数据x1,x2, ，xn的平均数）【分析】 （1)厨余垃圾 60 吨,投放到 “ 厨余垃圾 箱 400 吨,故可求厨余垃圾投放正确的概率；(2）生活垃圾投放错误有200+60+2020300,故可求生活垃圾投放错误的概率;（3)计算方差可得=，因此有当 a=600，b=0

19、,c=0时，有=0000【解答】 解:(1)由题意可知：厨余垃圾600 吨,投放到 “ 厨余垃圾 ” 箱 40吨，故厨余垃圾投放正确的概率为；(2）由题意可知 :生活垃圾投放错误有20+20+20=00,故生活垃圾投放错误的概率为；（)由题意可知： a+c=600， ,b,c的平均数为 20=,（a+b+c)2a2+b2+c2+2ab2b+2aca2+b22,因此有当 a=0,b=0，c=0时,有 s800018 （201?北京）已知函数 f(x）ax21(a0）,（x)3+x第18页（共 22页）（)若曲线 y=f(x）与曲线 g（)在它们的交点（， )处具有公共切线，求 a、b 的值;()

20、当 a2=4时，求函数 ()+g(x)的单调区间 ,并求其在区间（ ,1)上的最大值【分析】 （)根据曲线 f（x)与曲线 =g(x）在它们的交点 (1，c）处具有公共切线,可知切点处的函数值相等,切点处的斜率相等 ,故可求、的值；(2)根据 a2=b，构建函数,求导函数，利用导数的正负 ,可确定函数的单调区间 ,进而分类讨论， 确定函数在区间 (,1)上的最大值【解答】解： （1）f(）ax2+1(a0),则 f (x)=2x,=2a，g(x）x3+bx,则 g(）=32+，k2=3+b,由(1，c）为公共切点 ,可得： 2a3+又 f（)=+1，（ 1)=1+b，a 1+b,即 a=b,代入式可得：(2）由题设 a24b,设则,令 h(x ） ,解得:，;a0,x（ ,）)h （x）+（x）极大值极小值原函数在（ ,)单调递增，在单调递减，在）上单调递增若,即a2 时,最大值为；若，即 2a1,